t分布

假设一个情境：我们想知道糖球的典型重量。但由于只有一家糖果店提出要求，因此只抽取了包含10颗具有代表性的样本，然后称了每一粒糖球的重量。这个样本的$\overline{x}=0.5盎司,s^2=0.09$。

老样子：

第1步：选择总体统计量

我们需要为糖球重量均值构建一个置信区间，也就是要为总体均值$\mu$构建置信区间。由于需要求$\mu$的置信区间，于是下一步就是求$\mu$的抽样分布——$\overline{X}$的分布。

第2步：求$\overline{X}$的概率分布

这里我们碰到问题，从上面的快捷运算表可以得知，当总体分布$X$本身符合正态分布时，我们未知总体方差${\sigma }^2$，需要用点估计量$s^2$代替，但是条件是n很大（至少30），这条路走不通了❌

另一个问题是，样本太小了，估计值很可能出现较大误差——比使用大样本的误差要大得多。这些潜在的误差意味着使用正态分布无法得出足够精确的$\overline{X}$的概率，那样就无法得出精确的置信区间。

那么，$\overline{X}$符合哪种分布呢？实际上，它符合t分布。

当样本很小时，$\overline{X}$符合t分布

当总体分布符合正态分布，${\sigma }^2$未知，且可供支配的样本很小时，$\overline{X}$符合t分布。

t分布是外形光滑、对称的曲线，确切形状取决于样本大小。当样本很大时，t分布外形很像正态分布；当样本很小时，曲线较为扁平，有两条粗粗的尾巴。它只有一个参数——v，v=n-1。n为样本的大小，v被称为自由度。

下面这张图，对应了各种v对应的t分布。

“T符合t分布且自由度为v”的简明表示方法为：
$$T\sim t(v)$$
（T为检验统计量，计算方法见下；t(v)表示：我们正在使用自由度为v的t分布；v=n-1）

t分布的使用方法与正态分布相似——先将概率区间的上下限转化为标准分，然后用概率表求出所需要的结果。

求t分布的标准分

t分布的标准分的计算方法与正态分布的标准分的计算方法相同。像处理正态分布一样，我们先减去抽样分布的期望，然后用所得到的差除以标准差。唯一的差别是，我们用T而不是Z代表结果，这是为了配合t分布的使用。

我们需要求出$\overline{X}$的分布（详细见：上章，样本均值的概率），于是要用到$\overline{X}$的期望和标准差。$\overline{X}$的期望为$\mu$，标准差为$\sigma /\sqrt{n}$。由于需要用s估计$\sigma$的数值，于是t分布的标准分的算式如下：

我们只要代入$\overline{X},\hat{\sigma }$和n就行了。

已知v=n-1=9，$s^2=0.09$，则
$$\begin{gathered} T=\frac{\overline{X}-\mu }{s/\sqrt{n}} \\ =\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{0.09/10}} \\ =\frac{\overline{X}-\mu }{0.0949} \end{gathered}$$
第3步：决定置信水平

置信水平指的是你希望自己对“置信区间包含总体统计量”这个说法有多大信心。像上面一样，让我们用95%作为总体均值的置信水平，于是总体均值位于置信区间之中的概率为0.95。

第4步：求出置信上下限

t分布的置信上下限的算法类似于正态分布的算法，即可通过下式进行计算：

我们可以通过t分布概率表求出t值。

使用t分布概率表

通过t分布概率表可求出P(T>t)中的t值。在我们的实例中，p=0.025。

为了求出t值，先从概率表中查找第一列的v值，再查找第一行的p值，二者的交点处即为t值。例如，查找v=7和p=0.05，可得t=1.895。

求出t值后，就能求置信区间了。

t分布与正态分布比较

在用小样本估计总体方差时，t分布更精确。

基于小样本估计${\sigma }^2$有一个问题，即可能无法精确地反映总体方差的真实值。也就是说，我们需要让区间变宽，以便在置信区间中留出一些误差空间。

t分布的形状随着v值发生变化，由于考虑了样本的大小，即使${\sigma }^2$的估计精度存在各种足以让人有所察觉的不确定性，t分布也能忽略不计。当n很小时，t分布给出的置信区间比正态分布的置信区间更宽，这使它更适合用于小样本。

置信区间简明算法——t分布

下面是有关t分布的使用时机以及$\mu$的置信区间的简单提示。

为了求出t(v)，需要查找t分布概率表。为此，用v=n-1和你确定下来的置信水平求出置信区间。

例题解答

另一道例题

问：如果样本大小n发生改变，对置信区间会有何影响？

答：如果n减小，则置信区间变宽；如果n增大，则置信区间变窄。

置信区间的表达式为：
$$统计量\pm 误差范围$$
其中，误差范围 = c * 统计量的标准差

统计量的标准差取决于样本的大小——n越大，统计量的标准差越小；这就是说，n越大误差范围越小，n越小误差范围越大。

一般说来，较小的样本形成较宽的置信区间，较大的样本形成较窄的置信区间。

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总结

我们现在学会了两种估计总体统计量的方法了。

• 上一章，我们学会使用点估计量，点估计量方法可用于估计总体统计量的精确数值，是根据样本数据又可能做出的最好预测。
• 这一章，我们学会使用总体统计量的置信区间。这个方法得到的并非总体统计量的精确估计，而是求出总体统计量的一个有较高可信度的数值范围。