一个样本的似然、一组同类样本的似然、整个数据集上的似然
对数似然（对数边际似然）：通过求期望（求和或求积分）来减少概率中的变量称为边际化。

再谈极大似然

回顾极大似然估计MLE，我们先讨论关键概念“似然”。

（1）当关注分类时，参数视为与类别标识直接相关的，即${\Theta }_c$，这时为7.3 极大似然法篇的内容，即

• 一个样本的似然：$P(\mathbf{x}|c)$，更一般为： $P(\mathbf{x}|{\Theta }_c)$，可依属性进行分解，如，朴素贝叶斯和半朴素贝叶斯假设。
• 一组同类样本的似然：数据集$D$的$c$类构成子集$D_c$，则该子集的似然为$P(D_c|{\Theta }_c)$，可依样本进行分解，得【西瓜书式(7.9)】。

（2）当并不是关注分类（如，无监督学习）时，上述参数中的下标$c$即可去掉，特别地，这时可以在整个数据集$D$上（$D$中可以含有重复的样本）考察“似然”
$$\begin{array}{r}P(D|\Theta )=\prod _{\mathbf{x}\in D}P(\mathbf{x}|\Theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.50)}$$
其中， D = { x i } i = 1 m D=\{\boldsymbol{x}_i\}_{i=1}^m D={xi​}i=1m​。

似然分解成积后，易想到用对数来进行运算处理，这就是“对数似然”。

类似于上节中将$\mathbf{x}$分解为证据变量集$\mathbf{E}$和待查询变量集$\mathbf{Q}$，这里改一下名称：设$\mathbf{x}=(\mathbf{E},\mathbf{Q})$，其中，$\mathbf{E}$是观测变量集，而$\mathbf{Q}$是未观测变量集（未观测变量称为“隐变量”）。

将$D$视为一个矩阵（称为设计矩阵）：每行为一个样本，每列为一个属性，则该矩阵大小为$m\times d$。 现在将矩阵$D$依观测变量集$\mathbf{E}$和未观测变量集$\mathbf{Q}$分裂成左右两个子矩阵，即$D=(\mathbf{X},\mathbf{Z})$，则式(7.50)变为
$$\begin{array}{r}P(\mathbf{X},\mathbf{Z}|\Theta )=\prod _{\mathbf{x}\in (\mathbf{X},\mathbf{Z})}P(\mathbf{x}|\Theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.51)}$$
其中，$\mathbf{x}\in (\mathbf{X},\mathbf{Z})$表示$\mathbf{x}$是矩阵$(\mathbf{X},\mathbf{Z})$的一行。

使用对数似然公式，则式(7.51)变为
$$\begin{array}{rl}\mathrm{LL}(\Theta |\mathbf{X},\mathbf{Z})& =\ln P(\mathbf{X},\mathbf{Z}|\Theta )\\ & =\ln \prod _{\mathbf{x}\in (\mathbf{X},\mathbf{Z})}P(\mathbf{x}|\Theta )\\ & =\sum _{\mathbf{x}\in (\mathbf{X},\mathbf{Z})}\ln P(\mathbf{x}|\Theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.52)(7.53)}$$

我们知道，对变量求期望可以消去该变量，如，消去隐变量
$$\begin{array}{rl}\underset{\mathbf{Z}}{\mathbb{E}}P(\mathbf{X},\mathbf{Z}|\Theta )& =P(\mathbf{X}|\Theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.54)}$$

由此，我们得到已观测数据$\mathbf{X}$的对数似然（对数边际似然）。注：通过求期望（求和或求积分）来减少概率中的变量称为边际化。
$$\begin{array}{rl}\mathrm{LL}(\Theta |\mathbf{X})& =\ln P(\mathbf{X}|\Theta )\\ & =\ln \underset{\mathbf{Z}}{\mathbb{E}}P(\mathbf{X},\mathbf{Z}|\Theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.55)(7.56)}$$
将$\mathbb{E}$改为离散的$\sum$即为【西瓜书式(7.35)】。

极大似然的朴素观念：事件既然发生了，我就“猜”它是概率最大时发生的。 “事件发生”是指产生了已有的数据集，在有隐变量时，已有的数据集就是“证据”$\mathbf{X}$，极大（对数）似然法这时应考虑的是“证据”$\mathbf{X}$已发生，即采用极大（对数）边际似然，式(7.56)即

$$\begin{array}{r}{\Theta }^{\ast }=\underset{\Theta }{\mathrm{argmax}}\mathrm{LL}(\Theta |\mathbf{X})\end{array}\text{\hspace{1em}(7.57)}$$

然而，式(7.56)中，$\ln$由于隔着$\underset{\mathbf{Z}}{\mathbb{E}}$（如$\sum$）不能作用于$P(\mathbf{X},\mathbf{Z}|\Theta )$的分解式，故直接用式(7.57)碰到了困难，这就导致了对“强制”交换后的式子
$$\begin{array}{r}\underset{\mathbf{Z}}{\mathbb{E}}\ln P(\mathbf{X},\mathbf{Z}|\Theta )\end{array}\text{\hspace{1em}(7.58)}$$
的研究，从而产生了EM算法。

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