本文我们讨论矩阵向量求导链式法则，使用该法则很多时候可以帮我们快速求出导数结果。

本文的标量对向量的求导，标量对矩阵的求导使用分母布局， 向量对向量的求导使用分子布局。如果遇到其他资料求导结果不同，请先确认布局是否一样。

1. 向量对向量求导的链式法则

首先我们来看看向量对向量求导的链式法则。假设多个向量存在依赖关系，比如三个向量$x\to y\to z$存在依赖关系，则我们有下面的链式求导法则：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}$$
该法则也可以推广到更多的向量依赖关系。但是要注意的是要求所有有依赖关系的变量都是向量，如果有一个$Y$是矩阵，比如是$x\to Y\to z$， 则上式并不成立。

从矩阵维度相容的角度也很容易理解上面的链式法则，假设$x,y,z$分别是$m,n,p$维向量，则求导结果$\frac{\partial z}{\partial x}$是一个$p\times m$的雅克比矩阵，而右边$\frac{\partial z}{\partial y}$是一个$p\times n$的雅克比矩阵，$\frac{\partial y}{\partial x}$是一个n×m的矩阵，两个雅克比矩阵的乘积维度刚好是$p\times m$，和左边相容。

2. 标量对多个向量的链式求导法则

在我们的机器学习算法中，最终要优化的一般是一个标量损失函数，因此最后求导的目标是标量，无法使用上一节的链式求导法则，比如2向量，最后到1标量的依赖关系：x→y→z，此时很容易发现维度不相容。

假设$x,y$分别是$m,n$维向量, 那么$\frac{\partial z}{\partial x}$的求导结果是一个$m\times 1$的向量, 而$\frac{\partial z}{\partial y}$是一个$n\times 1$的向量，$\frac{\partial y}{\partial x}$是一个$n\times m$的雅克比矩阵,右边的向量和矩阵是没法直接乘的。

但是假如我们把标量求导的部分都做一个转置，那么维度就可以相容了，也就是：
$$(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^T=(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^T\frac{\partial y}{\partial x}$$
但是毕竟我们要求导的是$\frac{\partial z}{\partial x}$,而不是它的转置，因此两边转置我们可以得到标量对多个向量求导的链式法则：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=(\frac{\partial y}{\partial x}{)}^T\frac{\partial z}{\partial y}$$
如果是标量对更多的向量求导,比如$y1\to y2\to ...\to yn\to z$，则其链式求导表达式可以表示为：
$$\frac{\partial z}{\partial y_1}=(\frac{\partial y_n}{\partial y_{n-1}}\frac{\partial y_{n-1}}{\partial y_{n-2}}...\frac{\partial y_2}{\partial y_1}{)}^T\frac{\partial z}{\partial y_n}$$
这里我们给一个最常见的最小二乘法求导的例子。最小二乘法优化的目标是最小化如下损失函数:
$$l=(X\theta -y{)}^T(X\theta -y)$$
我们优化的损失函数l是一个标量，而模型参数θ是一个向量，期望L对θ求导，并求出导数等于0时候的极值点。我们假设向量$z=X\theta -y$, 则$l=z^{T}z$，$\theta \to z\to l$存在链式求导的关系，因此：
$$\frac{\partial l}{\partial \theta }=(\frac{\partial z}{\partial \theta }{)}^T\frac{\partial l}{\partial z}=X^T(2z)=2X^T(X\theta -y)$$
其中最后一步转换使用了如下求导公式：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial X\theta -y}{\partial \theta }& =X\\ \frac{\partial z^{T}z}{\partial z}& =2z\end{array}$$
这两个式子我们在前几篇里已有求解过，现在可以直接拿来使用了，非常方便。

当然上面的问题使用微分法求导数也是非常简单的，这里只是给出链式求导法的思路。

3. 标量对多个矩阵的链式求导法则

下面我们再来看看标量对多个矩阵的链式求导法则，假设有这样的依赖关系：X→Y→z,那么我们有：
$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}}=\sum _{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}}\frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}}=tr((\frac{\partial z}{\partial Y}{)}^T\frac{\partial Y}{\partial X_{ij}})$$
这里大家会发现我们没有给出基于矩阵整体的链式求导法则，主要原因是矩阵对矩阵的求导是比较复杂的定义，我们目前也未涉及。因此只能给出对矩阵中一个标量的链式求导方法。这个方法并不实用，因为我们并不想每次都基于定义法来求导最后再去排列求导结果。

虽然我们没有全局的标量对矩阵的链式求导法则，但是对于一些线性关系的链式求导，我们还是可以得到一些有用的结论的。

我们来看这个常见问题：$A,X,B,Y$都是矩阵，$z$是标量，其中$z=f(Y),Y=AX+B$,我们要求出$\frac{\partial z}{\partial X}$，这个问题在机器学习中是很常见的。此时，我们并不能直接整体使用矩阵的链式求导法则，因为矩阵对矩阵的求导结果不好处理。

这里我们回归初心，使用定义法试一试,先使用上面的标量链式求导公式：
$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}}=\sum _{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}}\frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}}$$
我们再来看看后半部分的导数：
$$\frac{\partial Y_{kl}}{\partial X_{ij}}=\frac{\partial {\sum }_s(A_{ks}{X}_{sl})}{\partial X_{ij}}=\frac{\partial A_{ki}{X}_{il}}{\partial X_{ij}}=A_{ki}{\delta }_{lj}$$
其中${\delta }_{lj}$在$l=j$时为1，否则为0.

那么最终的标签链式求导公式转化为：
$$\frac{\partial z}{\partial x_{ij}}=\sum _{k,l}\frac{\partial z}{\partial Y_{kl}}{A}_{ki}{\delta }_{lj}=\sum _k\frac{\partial z}{\partial Y_{kj}}{A}_{ki}$$
即矩阵$A^T$的第$i$行和$\frac{\partial z}{\partial Y}$的第$j$列的内积。排列成矩阵即为：
$$\frac{\partial z}{\partial X}=A^T\frac{\partial z}{\partial Y}$$
总结下就是：
$$z=f(Y),Y=AX+B\to \frac{\partial z}{\partial X}=A^T\frac{\partial z}{\partial Y}$$
这结论在$x$是一个向量的时候也成立，即：
$$z=f(y),y=Ax+b\to \frac{\partial z}{\partial x}=A^T\frac{\partial z}{\partial y}$$
如果要求导的自变量在左边，线性变换在右边，也有类似稍有不同的结论如下，证明方法是类似的，这里直接给出结论：
$$\begin{array}{rl}z=f(Y),Y& =XA+B\to \frac{\partial z}{\partial X}=\frac{\partial z}{\partial Y}{A}^T\\ z=f(y),y& =Xa+b\to \frac{\partial z}{\partial X}=\frac{\partial z}{\partial y}{a}^T\end{array}$$
使用好上述四个结论，对于机器学习尤其是深度学习里的求导问题可以非常快的解决,大家可以试一试。

4. 矩阵向量求导小结

矩阵向量求导在前面我们讨论三种方法，定义法，微分法和链式求导法。在同等情况下，优先考虑链式求导法，尤其是第三节的四个结论。其次选择微分法、在没有好的求导方法的时候使用定义法是最后的保底方案。

基本上大家看了系列里这四篇后对矩阵向量求导就已经很熟悉了，对于机器学习中出现的矩阵向量求导问题已足够。这里还没有讲到的是矩阵对矩阵的求导，还有矩阵对向量，向量对矩阵求导这三种形式，这个我们在系列的下一篇，也是最后一篇简单讨论一下，如果大家只是关注机器学习的优化问题，不涉及其他应用数学问题的，可以不关注。

转载自：

机器学习中的矩阵向量求导(四) 矩阵向量求导链式法则