机器学习|n元正态分布概率密度及性质|10mins入门|概统学习笔记（十一）

n元正态分布概率密度定义设X′=(X1,X2,...,Xn)X'=(X_1,X_2,...,X_n)X′=(X1,X2,...,Xn)是一个n维随机向量，若它的概率密度为f(x1,x2,...,xn)=1(2π)n/2∣C∣1/2exp{−12(X−μ)’C−1(X−μ)}f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}exp\...

Sany 何灿

1510人浏览 · 2020-03-29 20:56:16

Sany 何灿 · 2020-03-29 20:56:16 发布

n元正态分布概率密度

定义

设 $X'=(X_1,X_2,...,X_n)$ 是一个n维随机向量，若它的概率密度为
$f(x_1,x_2,...,x_n)=\frac{1}{(2\pi)^{n/2}|C|^{1/2}}exp\{-\frac{1}{2}(X-\mu)’C^{-1}(X-\mu)\}$
则称X服从n元正态分布，X和 $μ\mu$ 是n维列向量， $X^{'}$ 表示X的转置。

其中C是 $X_1,X_2,...,X_n)$ 的协方差矩阵, $∣ C ∣$ 是它的行列式， $C^{-1}$ 表示C的逆矩阵。

性质：

若 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$ 服从n元正态分布，则对一切不全为0的实数 $a_1，a_2,...,a_n$ , $a_1X_1+a_2X_2+...+a_nX_n$ 均服从正态分布。
若 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$ 服从n元正态分布， $Y_1,Y_2,...,Y_k$ 是 $X_j(j=1,2,...,n)$ 的线性函数，则 $Y_1,Y_2,...,Y_k)$ 也服从多元正态分布

这一性质称为正态变量的线性变换不变性
若 $X=(X_1,X_2,...,X_n)$ 服从n元正态分布，则” $X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立“等价于" $X_1,X_2,...,X_n$ “两两不相关