2 量子力学基础

2.1 线性代数

2.1.1 基和线性无关性

定义1：生成集

向量空间的生成集是向量集$|v_1⟩,...,|v_n⟩$，则该向量空间中任意一个向量$|v⟩$都可以写成该向量集中向量的线性组合$|v⟩={\sum }_i{a}_i|v_i⟩$。

exp. 向量空间${\mathbb{C}}^2$的生成集是
$$|v_1⟩\equiv \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right];|v_2⟩\equiv \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right](2.5)$$
那么向量空间${\mathbb{C}}^2$中的任意向量
$$|v⟩\equiv \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right](2.6)$$
都可以写成向量$|v_1⟩$和$|v_2⟩$的线性组合$|v⟩=a_1|v_1⟩+a_2|v_2⟩$。称向量$|v_1⟩$和$|v_2⟩$张成了向量空间${\mathbb{C}}^2$。

定义2：线性无关

对于非零向量集$|v_1⟩,...,|v_n⟩$，若存在一个复数集合$a_1,...,a_n$，其中至少一个$a_i\ne 0$，使得
$$a_1|v_1⟩+a_2|v_2⟩+...+a_n|v_n⟩=0(2.9)$$
则称其是线性相关的，否则是线性无关的。

2.1.2 线性算子和矩阵

定义1：线性算子

向量空间$V$和$W$之间的线性算子定义为对输入具有线性性质的映射$A:V\to W$：
$$A\left(\sum _i{a}_i|v_i⟩\right)=\sum _i{a}_{i}A\left(|v_i⟩\right)(2.10)$$
定义在线性空间$V$上的线性算子$A$，意味着$A$是一个从$V$到$V$的线性算子。

• 恒等算子$I_V$：对任意的向量$|v⟩$，$I_V(|v⟩)=|v⟩$
• 零算子$0$：零算子把所有向量映射为零向量，即$0(|v⟩)=0$
• 复合算子$BA$：$B$和$A$的复合，定义为$(BA)(|v⟩)\equiv B(A(|v⟩))$

定义2：矩阵表示

线性算子和矩阵完全等价。假设$A:V\to W$是向量空间$V$和$W$之间的线性算子。$|v_1⟩,...,|v_m⟩$是$V$的一组基，$|w_1⟩,...,|w_n⟩$是$W$的一组基。则对$1,...,m$中任意的$j$存在复数$A_{1j}$到$A_{nj}$，使得
$$A|v_j⟩=\sum _i{A}_{ij}|w_i⟩(2.12)$$
称元素为$A_{ij}$的矩阵形成了算子$A$的一个矩阵表示。

2.1.3 泡利矩阵

四个泡利矩阵如图2.2

2.1.4 内积

定义1：内积的符号表示

$|v⟩$和$|w⟩$的内积记为$(|v⟩,|w⟩)$，标准量子力学记号是$⟨v|w⟩$，其中$⟨v|$是$|v⟩$的对偶向量。

定义2：内积

一个从$V\times V$到复数空间$\mathbb{C}$的函数$(\cdot ,\cdot )$，如果满足下面的要求

1. $(\cdot ,\cdot )$对于第二个参数是线性的：
   $$\left(|v⟩,\sum _i{\lambda }_i|w_i⟩\right)=\sum _i{\lambda }_i\left(|v⟩,|w_i⟩\right)(2.13)$$

2. $(|v⟩,|w⟩)=(|w⟩,|v⟩{)}^{\ast }$

3. $(|v⟩,|v⟩)\ge 0$，当且仅当$|v⟩=0$时等式成立

则称函数$(\cdot ,\cdot )$是一个内积。${\mathbb{C}}^n$中的内积定义为
$$\left(\left(y_1,\dots ,y_n\right),\left(z_1,\dots ,z_n\right)\right)\equiv \sum _i{y}_i^{\ast }{z}_i=\left[y_1^{\ast }\dots y_n^{\ast }\right]\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right]$$
称定义了内积的向量空间为内积空间=希尔伯特空间。

定义3：内积的性质

1. 如果向量$|w⟩$和$|v⟩$的内积为0，则它们是正交的。
2. 向量$|v⟩$的范数为$\Vert |v⟩\Vert \equiv \sqrt{⟨v|v⟩}$
3. 向量$|v⟩$若满足$\Vert |v⟩\Vert =1$，则$|v⟩$是正规化的。对任意非零向量$|v⟩$，$|v⟩/\Vert |v⟩\Vert$是$|v⟩$的正规化。
4. 对于一个向量集$|i⟩$，其中$i$是指标，如果集合中的每一个向量都是单位向量，且不同向量之间是正交的，即$⟨i|j⟩={\delta }_{ij}$，那么称该向量集为标准正交的
5. $⟨\Phi |\Psi ⟩=\overline{⟨\Psi |\Phi ⟩}$，量子态用复数表示的情况。

考虑两个量子态 $|\Psi ⟩$ 和 $|\Phi ⟩$，它们位于二维复 Hilbert 空间。假设这两个态用列向量表示如下：
$$|\Psi ⟩=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right),|\Phi ⟩=\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$$
其中 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2$ 是复数。

计算 $⟨\Psi |\Phi ⟩$：根据内积的定义，$⟨\Psi |\Phi ⟩$ 是 $|\Psi ⟩$ 和 $|\Phi ⟩$ 的内积，它是 $|\Psi ⟩$ 的共轭转置与 $|\Phi ⟩$ 的矩阵乘积。具体表示为：
$$⟨\Psi |\Phi ⟩=\left(\begin{array}{cc}\overline{{\alpha }_1}& \overline{{\alpha }_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right)$$
得到：
$$⟨\Psi |\Phi ⟩=\overline{{\alpha }_1}{\beta }_1+\overline{{\alpha }_2}{\beta }_2$$
其中，$\overline{{\alpha }_1}$ 和 $\overline{{\alpha }_2}$ 表示 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 的复共轭。

计算 $⟨\Phi |\Psi ⟩$：同样地，$⟨\Phi |\Psi ⟩$ 是 $|\Phi ⟩$ 和 $|\Psi ⟩$ 的内积，它是 $|\Phi ⟩$ 的共轭转置与 $|\Psi ⟩$ 的矩阵乘积。具体表示为：
$$⟨\Phi |\Psi ⟩=\left(\begin{array}{cc}\overline{{\beta }_1}& \overline{{\beta }_2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right)$$
展开矩阵乘法后，我们得到：
$$⟨\Phi |\Psi ⟩=\overline{{\beta }_1}{\alpha }_1+\overline{{\beta }_2}{\alpha }_2$$

验证共轭对称性：

现在我们分别得到了 $⟨\Psi |\Phi ⟩$ 和 $⟨\Phi |\Psi ⟩$：

• $⟨\Psi |\Phi ⟩=\overline{{\alpha }_1}{\beta }_1+\overline{{\alpha }_2}{\beta }_2$
• $⟨\Phi |\Psi ⟩=\overline{{\beta }_1}{\alpha }_1+\overline{{\beta }_2}{\alpha }_2$

注意到这两个表达式之间的关系：$⟨\Phi |\Psi ⟩$ 实际上是 $⟨\Psi |\Phi ⟩$ 的复共轭，因为根据复数的乘法规则：

$$\overline{(\overline{{\alpha }_1}{\beta }_1+\overline{{\alpha }_2}{\beta }_2)}=\overline{{\beta }_1}{\alpha }_1+\overline{{\beta }_2}{\alpha }_2$$
因此：
$$⟨\Phi |\Psi ⟩=\overline{⟨\Psi |\Phi ⟩}$$

定义4：格拉姆-施密特正交化方法

假设$|w_1⟩,...,|w_n⟩$是某个内积向量空间$V$的一组基，首先定义$|v_1⟩\equiv |w_1⟩/\Vert |w_1⟩\Vert$，并且对于$1\le k\le d-1$，定义
$$|v_{k+1}⟩\equiv \frac{|w_{k+1}⟩-{\sum }_{i=1}^k⟨v_i\mid w_{k+1}⟩|v_i⟩}{\Vert |w_{k+1}⟩-{\sum }_{i=1}^k⟨v_i\mid w_{k+1}⟩|v_i⟩\Vert }(2.17)$$
可以得到$|v_1⟩,...,|v_n⟩$是一组标准正交集，是向量空间$V$的一组基。

定义5：内积的矩阵表示

令$|w⟩={\sum }_i{w}_i|i⟩,|v⟩={\sum }_j{v}_j|j⟩$是$|w⟩$和$|v⟩$在某组标准正交基下的表示，则由于$⟨i|j⟩={\delta }_{ij}$，
$$\begin{array}{rl}⟨v\mid w⟩& =\left(\sum _i{v}_i|i⟩,\sum _j{w}_j|j⟩\right)=\sum _{ij}{v}_i^{\ast }{w}_j{\delta }_{ij}=\sum _i{v}_i^{\ast }{w}_i(2.18)\\ & =\left[v_1^{\ast }\dots v_n^{\ast }\right]\left[\begin{array}{c}{w}_1\\ ⋮\\ w_n\end{array}\right](2.19)\end{array}$$

• 只要向量的矩阵表示按同一组标准正交基给出，两个向量的内积就等于向量矩阵表示的内积。

定义6：外积

假设$|v⟩$是内积空间$V$的一个向量，$|w⟩$是内积空间$W$的一个向量。定义$|w⟩⟨v|$为从$V$到$W$的一个线性算子，作用为
$$(|w⟩⟨v|)(|v^{\prime }⟩)\equiv |w⟩⟨v|v^{\prime }⟩\equiv ⟨v|v^{\prime }⟩|w⟩(2.20)$$

• 完备性关系：${\sum }_i|i⟩⟨i|=I$

• 完备性关系应用：给出任意算子的表示方式。假设$A:V\to W$是一个线性算子，$|v_i⟩$是$V$的一组标准正交基，$|w_i⟩$是$W$的一组标准正交基，运用两次完备性关系可以得到
  $$\begin{array}{l}A=I_{W}A{I}_V(2.23)\\ ={\sum }_{ij}|w_j⟩⟨w_j|A|v_i⟩⟨v_i|(2.24)\\ ={\sum }_{ij}⟨w_j|A|v_i⟩|w_j⟩⟨v_i|(2.25)\end{array}$$

定义7：柯西-施瓦茨不等式

对于任意两个向量$|v⟩$和$|w⟩$，${\left|⟨v|w⟩\right|}^2\le ⟨v|v⟩⟨w|w⟩$。当且仅当$|v⟩$和$|w⟩$是线性相关的，即对于某个标量$z$，$|v⟩=z|w⟩$。

2.1.5 特征向量和特征值

定义1：特征向量（本征向量）

向量空间中线性算子$A$的特征向量是一个非零向量$|v⟩$，使得$A|v⟩=v|v⟩$。

定义2：特征值（本征值）

其中$v$是一个复数，称为与$A$的特征向量$|v⟩$对应的特征值。

• 特征函数定义为$c(\lambda )\equiv \det \left|A-\lambda I\right|$，其中$\det$是矩阵的行列式函数，特征函数仅依赖于算子$A$，而不依赖于$A$的特殊矩阵表示
• 本征方程$c(\lambda )=0$的解是算子$A$的特征值，任意算子$A$至少有一个特征值和一个对应的特征向量
• 特征空间是以$v$为特征值的向量的集合。它是$A$作用的向量空间的子空间

定义3：算子的对角表示

算子$A$在向量空间$V$的对角表示为$A={\sum }_i{\lambda }_i|i⟩⟨i|$，其中对应特征值${\lambda }_i$的向量$|i⟩$组成$A$的特征向量的标准正交基。如果一个算子有对角表示，则称其为可对角化的。

定义4：泡利矩阵的对角表示

$$Z=\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=|0⟩⟨0|-|1⟩⟨1|$$

$$X=\left[\begin{array}{rr}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩)(⟨0|+⟨1|)-\frac{1}{2}(|0⟩-|1⟩)(⟨0|-⟨1|)$$

$$Y=\left[\begin{array}{rr}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]=\frac{1}{2}(|0⟩+i|1⟩)(⟨0|-i⟨1|)-\frac{1}{2}(|0⟩-i|1⟩)(⟨0|+i⟨1|)$$

2.1.6 伴随和厄米算子

定义1：伴随

假设$A$是希尔伯特空间$V$上的任意一个线性算子。在$V$上存在一个唯一的线性算子$A^{†}$，满足对所有向量$|v⟩,|w⟩\in V$都有
$$(|v⟩,A|w⟩)=\left(A^{†}|v⟩,|w⟩\right)(2.32)$$
这个线性算子称为$A$算子的伴随或厄米共轭。

性质：

• $(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$
• 如果$|v⟩$是一个向量，定义$|v{⟩}^{†}\equiv ⟨v|$，可以得出$(A|v⟩{)}^{†}=⟨v|A^{†}$
• 如果$|v⟩$和$|w⟩$是两个任意的向量，则$(|w⟩⟨v|{)}^{†}=|v⟩⟨w|$
• 伴随算子是反线性的，满足${\left({\sum }_i{a}_i{A}_i\right)}^{†}={\sum }_i{a}_i^{\ast }{A}_i^{†}$
• ${\left(A^{†}\right)}^{†}=A$

定义2：伴随的矩阵表示

在算子$A$的矩阵表示中，厄米共轭运算是将矩阵$A$取共轭转置，$A^{†}\equiv {\left(A^{\ast }\right)}^T$，其中$\ast$是复共轭，$T$是转置操作。

性质：

• 如果算子$A$的伴随矩阵还是$A$，那么算子$A$为厄米的或自伴算子。

定义3：投影算子

假设$W$是$d$维向量空间$V$的一个$k$维向量子空间。根据格拉姆-施密特方法可以构造出一组$V$的标准正交基$|1⟩,\dots ,|d⟩$，使得$|1⟩,\dots ,|k⟩$是$W$的一组标准正交基。定义
$$P\equiv \sum _{i=1}^k|i⟩⟨i|(2.35)$$
是在子空间$W$上的投影。

性质：

• $P$是厄米的，$P^{†}=P$
• $P$的正交补时算子$Q\equiv I-P$。$Q$是$|k+1⟩,\dots ,|d⟩$张成的向量空间上的投影。
• $P^2=P$

定义4：谱分解

如果$A{A}^{†}=A^{†}A$，那么算子$A$是正规的。如果一个算子是厄米的，那么它一定是正规的。谱分解表明如果一个算子是正规的，当且仅当它可对角化。

定义5：酉矩阵

如果一个矩阵$U$满足$U^{†}U=I$，那么称它是酉的。一个算子是酉的当且仅当它的每一个矩阵表示都是酉的。酉算子满足$U{U}^{†}=I$，$U$是正规的且可以谱分解。

定义6：正算子（半正定算子）

对任意的向量$|v⟩$都有$(|v⟩,A|v⟩)$是一个非负实数。如果对所有的$|v⟩\ne 0$，$(|v⟩,A|v⟩)$都严格大于0，则称$A$为正定的。

2.1.7 张量积

定义1：张量积

设$V$和$W$分别是m维和n维的希尔伯特向量空间，那么$V\otimes W$是一个mn维的向量空间。$V\otimes W$里的元素是$V$空间中的元素$|v⟩$和$W$空间中的元素$|w⟩$的张量积$|v⟩\otimes |w⟩$的线性组合。

• 如果$|i⟩$和$|j⟩$是空间$V$和$W$中的标准正交基，那么$|i⟩\otimes |j⟩$是$|v⟩\otimes |w⟩$的 一组基
• $|v⟩|w⟩,|v,w⟩,|vw⟩$都可以表示张量积$v⟩\otimes |w⟩$

定义2：张量积的性质

1. 对于任意的标量$z$，$V$中元素$|v⟩$和$W$中元素$|w⟩$​，有
   $$z(|v⟩\otimes |w⟩)=(z|v⟩)\otimes |w⟩=|v⟩\otimes (z|w⟩)(2.42)$$

2. 对$V$中的任意向量$|v_1⟩$和$\left|v_{2}\right\rangle $，以及$W$中任意向量$|w\rangle $，有
   $$\left(|v_1⟩+|v_2⟩\right)\otimes |w⟩=|v_1⟩\otimes |w⟩+|v_2⟩\otimes |w⟩(2.43)$$

3. 对$V$中的任意向量$|v⟩$和$W$中任意向量$|w_1⟩,|w_2⟩$，有
   $$|v⟩\otimes \left(|w_1⟩+|w_2⟩\right)=|v⟩\otimes |w_1⟩+|v⟩\otimes |w_2⟩(2.44)$$

4. 假设$A$和$B$分别是$V$和$W$中的线性算子，则$V\otimes W$上的线性算子$A\otimes B$：
   $$(A\otimes B)(|v⟩\otimes |w⟩)\equiv A|v⟩\otimes B|w⟩(2.45)$$
   拓展到$V\otimes W$上的所有元素，即
   $$(A\otimes B)\left(\sum _i{a}_i|v_i⟩\otimes |w_i⟩\right)\equiv \sum _i{a}_{i}A|v_i⟩\otimes B|w_i⟩(2.46)$$

5. $A:V\to V^{\prime }$，$B:W\to W^{\prime }$，任意一个从$V\otimes W$到$V^{\prime }\otimes W^{\prime }$上的线性算子$C$都可以写成映射$V$到$V^{\prime }$的算子和$W$到$W^{\prime }$的算子的张量积的线性组合
   $$C=\sum _i{c}_i{A}_i\otimes B_i(2.47)$$
   可以得到$\left({\sum }_i{c}_i{A}_i\otimes B_i\right)|v⟩\otimes |w⟩\equiv {\sum }_i{c}_i{A}_i|v⟩\otimes B_i|w⟩$(2.48)

6. $V\otimes W$空间上的内积定义为
   $$\left(\sum _i{a}_i|v_i⟩\otimes |w_i⟩,\sum _j{b}_j|v_j^{\prime }⟩\otimes |w_j^{\prime }⟩\right)\equiv \sum _{ij}{a}_i^{\ast }{b}_j⟨v_i\mid v_j^{\prime }⟩⟨w_i\mid w_j^{\prime }⟩(2.49)$$
   空间$V\otimes W$同样满足伴随性、酉性、正规性和厄米性

定义3：张量积的矩阵表示

假设$A$是一个$m\times n$矩阵，$B$是$p\times q$矩阵，则
$$A\otimes B\equiv \stackrel{nq}{\overbrace{\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}B& A_{12}B& \dots & A_{1n}B\\ A_{21}B& A_{22}B& \dots & A_{2n}B\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ A_{m1}B& A_{m2}B& \dots & A_{mn}B\end{array}\right]}}(2.50)$$
exp. 向量$(1,2)$和$(2,3)$的张量积是向量
$$\left[\begin{array}{l}1\\ 2\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\times 2\\ 1\times 3\\ 2\times 2\\ 2\times 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2\\ 3\\ 4\\ 6\end{array}\right](2.51)$$
泡利矩阵$X$和$Y$的张量积是
$$X\otimes Y=\left[\begin{array}{ll}0\cdot Y& 1\cdot Y\\ 1\cdot Y& 0\cdot Y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& -i& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\end{array}\right](2.52)$$
$|\psi {⟩}^{\otimes k}$表示$|\psi ⟩$与它自身的$k$次张量积。

2.1.8 算子函数

函数可以通过算子和矩阵来定义，给定一个从复数域映射到复数域的函数$f$，就可以定义正规矩阵或其子类上的相应矩阵函数。

定义1：如何定义算子函数

设$A={\sum }_{a}a|a⟩⟨a|$是正规算子$A$的一个谱分解。定义$f(A)={\sum }_{a}f(a)|a⟩⟨a|$。

定义2：矩阵的迹

$A$的迹定义为其对角元素的和：
$$\mathrm{tr}(A)=\sum _i{A}_{ii}(2.59)$$
性质：

• $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$
• $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$
• $\mathrm{tr}(zA)=z\mathrm{tr}(A)$
• 矩阵的迹在酉相似变换$A\to UA{U}^{†}$下是不变的，$\mathrm{tr}(UA{U}^{†})=\mathrm{tr}(U^{†}UA)=\mathrm{tr}(A)$
  • $A$的迹为$A$的任意矩阵表示的迹
  • 迹在酉相似变换下的不变性确保了算子的迹是定义良好的

常用

设$|\psi ⟩$是单位向量，$A$是一个任意的算子。利用格拉姆-施密特方法将$|\psi ⟩$扩展到一组标准正交基$|i⟩$上，其中$|\psi ⟩$是它第一个元素，则有
$$\begin{array}{rl}\mathrm{tr}(A|\psi ⟩⟨\psi |)& =\sum _i⟨i|A|\psi ⟩⟨\psi |i⟩(2.60)\\ & =⟨\psi |A|\psi ⟩(2.61)\end{array}$$

2.1.9 对易式和反对易式

定义1：对易commute和反对易

两个算子$A$和$B$的对易式定义为
$$[A,B]\equiv AB-BA(2.66)$$
如果$[A,B]=0$，也就是$AB=BA$，那么$A$和$B$是对易的。

两个算子$A$和$B$的反对易式定义为
{A,B}≡AB+BA \{A,B\}\equiv AB+BA {A,B}≡AB+BA
如果{A,B}=0\{A,B\}=0{A,B}=0，那么$A$和$B$是反对易的。

定理2.2 可同时对角化定理

假设$A$和$B$是厄米算子。那么$[A,B]=0$成立当且仅当存在一组标准正交基使得$A$和$B$可同时对角化，也就是$A$和$B$是可同时对角化的。

exp. 判断泡利矩阵$X$和$Y$的关系
$$\begin{array}{rl}[X,Y]& =\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\\ & =2i\left[\begin{array}{rr}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\\ & =2iZ\end{array}$$
所以$X$和$Y$不是对易的。

2.1.10 极式分解和奇异值分解

极式分解和奇异值分解是将线性算子分解得更简单有用得方法，可将一般的线性算子分解为酉算子和正算子的乘积。

定理2.3 极式分解

设$A$是向量空间$V$上的一个线性算子。那么存在酉算子$U$和正算子$J,K$使得
$$A=UJ=KU(2.79)$$
其中$J\equiv \sqrt{A^{†}A},K\equiv \sqrt{A{A}^{†}}$，并且$J$和$K$是唯一满足这些等式的正算子。如果$A$是可逆的，那么$U$是唯一的。

• $A=UJ$是$A$的左极式分解，$A=KU$是$A$的右极式分解

推论2.4 奇异值分解

奇异值分解将极式分解和谱分解定理结合了起来。设$A$是一个方阵，那么存在酉矩阵$U$和$V$，以及非负对角阵$D$，使得
$$A=UDV(2.80)$$
$D$的对角元素称为$A$​的奇异值。