机器人学导论 斯坦福 Introduction to Robotics (CS223A)作业1

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自己的答案： Craig机器人学导论 斯坦福 Introduction.to.Robotics(CS223A).Mechanics.and.Control.3e 笔记

1、

参考

旋转矩阵的推导方式 - 知乎 (zhihu.com)，根据2d的旋转矩阵，可以得到3d的旋转矩阵，题目先是按照Y轴旋转θ角，然后绕变换以后的坐标系的Z轴旋转了Φ角。所以旋转矩阵依次是： $\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ ，根据 Z-Y-X欧拉角 的计算公式和计算过程，需要反着计算，按照运动轴Y-Z旋转，不妨令绕Y旋转以后的中间坐标系是M，可以知道： ${}_B^{A}R{=}_M^{A}R{}_B^{M}R$

最后的旋转矩阵就是两者的乘积： ${}_B^{A}R=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ ，就可以计算出在B内的点坐标对应坐标系A的坐标。

2、

根据X-Y-Z 固定角坐标系，可以看作旋转算子，或者坐标系，按照旋转顺序来计算就行，先是绕 $\widehat{Z_A}$ 旋转Φ，然后绕 $\widehat{Y_A}$ 旋转θ，所以变换矩阵就是： $R(\varphi ,\theta )=R_{\theta }{R}_{\varphi }=\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & 0& sin\theta \\ 0& 1& 0\\ -sin\theta & 0& cos\theta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}cos\varphi & -sin\varphi & 0\\ sin\varphi & cos\varphi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$ ，和上面的题目答案相同

3、

(a)

根据30多页的 逆变换 内容，可以知道求逆的计算过程，然后可以算出来：

${}_B^{A}T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& cos\theta & sin\theta & -2cos\theta -3sin\theta \\ 0& -sin\theta & cos\theta & 2sin\theta -3cos\theta \\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

(b)

带入角度可得：

${}_B^{A}T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{-5\sqrt{2}}{2}\\ 0& -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$ ，

${[}^{A}P,1{]}^T{=}_B^{A}T{[}^{B}P,1{]}^T=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -1\\ 0& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{-5\sqrt{2}}{2}\\ 0& -\frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& -\frac{\sqrt{2}}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\\ 1\end{array}\right]$

${}^{A}P=[3,3\sqrt{2},0{]}^T$

4、

（1）R是标准正交矩阵，也就是两两列正交，两两行正交，且行列式=1，所以R是旋转矩阵

（2）也就是 等效轴角坐标系表示法，旋转轴是一般方向，不一定是主轴方向

$\theta =Acos(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{4})$ $\hat{K}=\frac{1}{sin\theta }[-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2},-\frac{1}{2}{]}^T$

（3）欧拉参数，也就做四元数

${\epsilon }_1=k_x\sin \frac{\theta }{2},{\epsilon }_2=k_y\sin \frac{\theta }{2},{\epsilon }_3=k_x\sin \frac{\theta }{2},{\epsilon }_4=\cos \frac{\theta }{2}$

课本的答案：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/705721438