0. 姿态变换与坐标变换

• 机器人中的坐标系，它是一组基，表示为一个其次变换矩阵，一般为4阶，包含了当前坐标系与其他坐标系的旋转、平移关系，所以一般而言机器人的姿态变换就是坐标系变换，与之相关的是过渡矩阵、右乘
• 另外一个分支是，各个坐标系下的坐标变换，即不同坐标系下的坐标如何转换，与之相关的是变换矩阵、左乘

1. 坐标系变换
   空间中研究向量，首先确定的就是基与基之间关系、坐标系与坐标系之间关系，基其实就是坐标系，这是最核心的问题
   （1）基变换
   基变换涉及到多个基，因此研究向量、变换都需要说明在什么基向量下进行的
   空间坐标系下的一组基$({\alpha }_1,{\alpha }_2...{\alpha }_n)$, 另外一组基 $({\beta }_1,{\beta }_2...{\beta }_n)$， 满足 $\alpha$基 到 $\beta$基的转换关系
   $$({\beta }_1,{\beta }_2...{\beta }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2...{\alpha }_n)\cdot A$$
   则称 $A$ 为 $\alpha$基 到 $\beta$基的过渡矩阵
   （2）姿态变换
   空间坐标系下的一坐标系$\alpha$, 另外一组坐标系 $\beta$， 满足 $\alpha$坐标系 到 $\beta$坐标系的转换关系
   $$\beta =\alpha A$$
   则称 $A$ 为 $\alpha$坐标系 到 $\beta$坐标系的过渡矩阵
   （3）注意：空间中同一个点，在不同基/不同坐标系下的坐标是不一样的

2. 空间变换
   空间变换就是坐标变换，矩阵左乘是一种空间变换，核心是其中的M的作用，对应着左乘
   $$Q=MP$$
   （1）M把P所在的空间进行了变换，因此向量P也进行了变换，结果为Q
   （2）M把P所在的基$\alpha$映射成了 $\beta$基，即向量Q为向量P在基 $\beta$下的相对位置，具体是由两组基之间的关系确定的
   （3）如果M是A的坐标系到B的坐标系的过渡矩阵的逆，则M代表A坐标系下坐标到B坐标系下坐标的齐次坐标变换

3. 总结：坐标系之间变换使用过渡矩阵，不同坐标系下坐标的变换使用变换矩阵（过渡矩阵的逆），看上面的(3)

4. 参考文章：
   （1） https://zhuanlan.zhihu.com/p/69069183.
   （2）https://zhuanlan.zhihu.com/p/295576029
   （3）刚体运动中变换矩阵的逆

1. 机器人齐次变换

1. 坐标系变换
   前提: 现在可以用n阶矩阵描述机器人当前位置作为参考系$T_1$，当前位置所观察目标为$P_1$(仅坐标)

   题目:机器人$T_1$位置(3阶矩阵)观察到目标$P_1$(坐标)，现在机器人运动到$T_2$位置，试问目标$P_1$在$T_2$位置的坐标为多少。
   step1：设基$T_1$到基$T_2$的过渡矩阵为M，即满足$T_2=T_1\ast M$，由此计算得出过渡矩阵$M=T_1^{-1}\ast T_2$
   setp2：已知目标在 $T_1$ 下为 $P_1$，再由基的过渡矩阵与坐标之间变换关系得出，此时T2坐标系下目标为:
   $$P_2=M^{-1}\ast P_1$$
   最终得到
   $$P_2=T_2^{-1}\ast T_1\ast P_1$$

2. 贝叶斯概率模型

1. 问题来源
   假设现在要计算$P(B|A)$的概率，然而一般情况下这样是很难计算的，但是贝叶斯告诉我们，可以通过逆事件概率$P(A|B)$和先验概率$P(A)$来间接计算，即
   $$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$$
   一般而言，分母$P(A)$是不需要紧张的，可以通过全概率公式得出，计算它的过程其实包含了计算当前分子的过程