一、计算机存储浮点数的算法

在计算机中，浮点数通常采用IEEE 754标准进行存储，该标准定义了两种主要的浮点数格式：单精度浮点数（32位）和双精度浮点数（64位）。

（一）单精度浮点数

• 占用32位存储空间。
• 格式分为三个部分：
  • 符号位（1位）：0表示正数，1表示负数。
  • 指数位（8位）：用于表示浮点数的指数大小。
  • 尾数位（23位）：表示浮点数的小数部分。
    其存储的值计算公式为$(-1{)}^{sign}\times 1.fraction\times 2^{exponent-bias}$（其中$sign$是符号位，$fraction$是尾数位表示的小数部分，$exponent$是指数位的值，对于单精度浮点数，$bias$为127）。

（二）双精度浮点数

• 占用64位存储空间。
• 格式同样分为符号位（1位）、指数位（11位）和尾数位（52位）。

二、为什么浮点数不能精确存储

（一）有限的位数

无论是单精度还是双精度浮点数，位数有限。在表示一些无限小数或者非常大/非常小的数时，必然存在精度损失。例如，十进制的$0.1$在二进制中是无限循环小数$0.00011001100110011\dots \dots$，由于浮点数位数有限，无法精确表示，只能近似存储。

（二）舍入误差

在将十进制数转换为二进制浮点数存储以及进行浮点数运算时，都可能发生舍入误差。例如，$0.2$和$0.3$相加，十进制结果为$0.5$，但在计算机中，因浮点数精度限制，$0.2$和$0.3$不能精确表示，相加结果与$0.5$有微小差异。

三、如何判断两个浮点数相等

由于浮点数存在精度问题，不能直接用==判断。通常采用以下方法：

（一）设置误差范围

1. 定义一个非常小的数作为误差范围，如$ϵ=1e-6$。
2. 判断两个浮点数之差的绝对值是否小于$ϵ$，若是，则认为两浮点数相等。例如：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 设置误差范围判断两个浮点数是否相等
void compareFloatsWithEpsilon() {
    double epsilon = 1e-6;
    double a = 0.1 + 0.2;
    double b = 0.3;

    if (fabs(a - b) < epsilon) {
        printf("a 和 b 相等\n");
    } else {
        printf("a 和 b 不相等\n");
    }
}

（二）相对误差判断

1. 计算两个浮点数的相对误差，即两数之差除以其中一个数的绝对值。
2. 如果相对误差小于给定阈值，则认为两浮点数相等。例如：

// 通过相对误差判断两个浮点数是否相等
void compareFloatsWithRelativeError() {
    double threshold = 1e-6;
    double a = 0.1 + 0.2;
    double b = 0.3;
    double relative_error = fabs(a - b) / (fabs(a) > fabs(b)? fabs(a) : fabs(b));

    if (relative_error < threshold) {
        printf("a 和 b 相等\n");
    } else {
        printf("a 和 b 不相等\n");
    }
}