本篇笔记课程来源：王道计算机考研 数据结构

一、数据结构的基本概念

1. 数据

• 数据是信息的载体，是描述客观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。数据是计算机程序加工的原料。
• 早期计算机：只用于处理纯数值型问题
• 现代计算机：经常处理非数值型问题

2. 数据元素、数据项

• 数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。
• 一个数据元素可由若干数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。

3. 数据对象、数据结构

• 数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。
• 数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
• 相同的数据元素，可以组成不同的数据结构；
  不同的数据元素，可以组成相同的数据结构。
  • 线性数据结构
  • 网状数据结构

4. 数据类型、抽象数据类型

• 数据类型是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称。
  1. 原子类型。其值不可再分的数据类型。
  2. 结构类型。其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型。
• 抽象数据类型（Abstract Date Type，ADT）是抽象数据组织及与之相关的操作。定义一个 ADT，就是在定义一种数据结构。确定了 ADT 的物理结构，才能实现这种数据结构。

二、数据结构的三要素

1. 逻辑结构

1. 集合：各个元素同属一个集合，并无其他关系。
2. 线性结构：数据元素之间是一对一的关系。
   • 除了第一个元素，所有元素都有唯一前驱
   • 除了最后一个元素，所有元素都有唯一后继
3. 树形结构：数据元素之间是一对多的关系。
4. 图结构：数据元素之间是多对多的关系。

2. 数据的运算

• 数据的运算：针对于某种逻辑结构，结合实际需求，定义基本运算
  1. 查找第 $i$ 个数据元素
  2. 在第 $i$ 个位置插入新的数据元素
  3. 删除第 $i$ 个位置的数据元素
• 运算的定义是针对逻辑结构的，指出运算的功能；
  运算的功能是针对物理结构的，指出运算的具体操作步骤。

3. 物理结构（存储结构）

1. 顺序存储
   • 把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中，元素之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。
2. 链式存储
   • 逻辑上相邻的元素在物理位置上可以不相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
3. 索引存储
   • 在存储元素信息的同时，还建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是（关键字，地址）。
4. 散列存储
   • 根据元素的关键字直接计算出该元素的存储地址，又称哈希（Hash）存储

• 除了顺序存储外，其他都是非顺序（离散）存储。
• 若采用顺序存储，则各个数据元素在物理上必须是连续的；
  若采用非顺序存储，则各个数据元素在物理上可以是离散的。
• 数据的存储结构会影响存储空间分配的方便程度，也会影响对数据运算的速度

三、算法的基本概念

1. 算法的定义

• 算法（Algorithm）是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中的每条指令表示一个或多个操作。
• 程序 = 数据结构 + 算法
  • 数据结构是要处理的信息
  • 算法是处理信息的步骤

2. 算法的特性

1. 有穷性：一个算法必须总在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。
   • 算法必须是有穷的，而程序可以是无穷的
2. 确定性：算法中每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得出相同的输出。
3. 可行性：算法中描述的操作都可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现。
4. 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定的对象的集合。
5. 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有着某种特定关系的量。

3. 算法的目标

1. 正确性：算法应能够正确地解决求解问题。
2. 可读性：算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。
3. 健壮性：输入非法数据时，算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。
4. 高效率和低存储量需求：花的时间少，时间复杂度低；不费内存，空间复杂度低。

四、时间复杂度

• 算法时间复杂度：事前预估算法时间开销 T(n) 与问题规模 n 的关系（T 表示 time）
• 当问题规模 n 足够大时，可只考虑阶数高的部分

$$T_1(n)=3n+3\approx 3n\underrightarrow{简化}{T}_1(n)=O(n)$$$$T_2(n)=n^2+3n+1000\approx n^2\underrightarrow{简化}{T}_2(n)=O(n^2)$$
O 表示“同阶”，同等数量级。即：当 $n\to \infty$ 时，二者之比为常数。
$$T(n)=O(f(n))⟺\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{T(n)}{f(n)}=k$$

• 对时间复杂度的度量，遵循以下规则：
  1. 加法规则：
     • 多项相加，只保留最高阶的项，且系数变为 1
     • $T(n)=T_1(n)+T_2(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))$
  2. 乘法规则：
     • 多项相乘，都保留
     • $T(n)=T_1(n)\times T_2(n)=O(f(n))\times O(g(n))=O(f(n)\times g(n))$
• 如何计算：
  1. 顺序执行的代码只会影响常数项，可以忽略
  2. 只需挑循环中的一个基本操作分析它的执行次数与 n 的关系即可
  3. 如果有多层嵌套循环，只需关注最深层循环了几次

• 数量级大小对比：常对幂指阶
  $$O(1)<O({\log }_{2}n)<O(n)<O(n{\log }_{2}n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$$

• 三种复杂度：
  1. 最坏时间复杂度：最坏情况下算法的时间复杂度
  2. 最好时间复杂度：最好情况下算法的时间复杂度
  3. 平均时间复杂度：所有输入示例等概率出现的情况下，算法的期望运行时间

五、空间复杂度

• 算法空间复杂度：事前预估算法空间开销（内存开销） S(n) 与问题规模 n 的关系（S 表示 Space）
• 若算法所需内存空间为常量，则称算法可原地工作
• 普通程序如何计算：
  1. 找到所占空间大小与问题规模相关的变量
  2. 分析所占空间 x 与问题规模 n 的关系 $x=f(n)$
  3. x 的数量级 O(x) 就是算法空间复杂度 S(n)
• 递归程序如何计算：
  1. 找到递归调用的深度 x 与问题规模 n 的关系 $x=f(n)$
  2. x 的数量级 O(x) 就是算法空间复杂度 S(n)
• 加法规则、乘法规则、数量级大小对比在空间复杂度的问题中同样适用。