0.引言

• 搬运自此博客

1.基础

• 单位向量：模等于1的向量，一个非零向量除以它的模，可得所需单位向量。
• 向量的加减法：

• 向量的投影：设两个非零向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$, 则将 $|\mathbf{b}|\cdot \cos \theta$ 叫做向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 方向上的投影
• 向量的点乘:
  $$\vec{a}\bullet \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$
• 向量的叉乘:
  • 模长： $|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\bullet |\vec{b}|\bullet \sin \theta$ ，即长度在数值上等于以向量a、b、夹角 $\theta$ 组成的平行四边形的面积。
  • 方向：与这两个向量所在的平面垂直, 且脍守右手定则（或左手定则）。

2.点到线的距离

红色的点为鼠标位置, 蓝色的点 $(x_0,y_0),(x_1,y_1)$ 为直线上的两个点, 求红色的点到直线的距离。

将问题进行一下转化：如下图所示

• 点乘法:
  • 向量 c 为向量 a 在向量 b 上的投影向量, 求得向量 e 的模即可求得最终结果。
  • 向量 a 已知, 并且 $\mathrm{e}=\mathrm{a}-\mathrm{c}$, 则问题转化为求向量 $\mathrm{c}$
  • 向量c的方向很容易确定, 即 $\mathbf{b}$ normalized; 而向量c的模 $|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}|\cdot \cos \theta$, 则求出 $\cos \theta$ 即可。
  • 由向量的点乘很容易知道 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\mathbf{b}\mid \cos \theta$, 则最终问题得以解决。
• 叉乘法:
  $|\mathbf{axb}|$ 等于它们所张开的平行四边形的面积 s 。 s 除以 $|\mathbf{b}|$ 即等于点到直线的距离。

根据平行四边形公式, 很显然我们要求的d就是这个平行四边形的高, 也就是:
$$d=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{AB}|}$$