一、前言

在计算机图形学中，NDC（Normalized Device Coordinates） 是一种标准化的坐标表示方式，通常用于 3D 图形渲染管线中的投影变换和深度测试。

NDC坐标范围通常归一化到固定的区间。X和Y轴范围：$[-1,1]$，表示屏幕的水平和垂直方向。Z轴范围通常是$[-1,1]$（OpenGL）或$[0,1]$（DirectX），表示深度信息。
NDC 在计算机视觉中作用：

• 适应不同分辨率和设备
• 透视除法，实现透视投影
• 方便深度计算和裁剪
• 方便视口映射到屏幕坐标

二、概念

个人理解，投影就是将可视空间内的模型转化为NDC坐标系的过程，因此涉及到平移、缩放变换。
基本变换过程如下图所示：

如下图所示，透视投影还多了一个步骤，要先“透视除法”（使得物体看起来近大远小），然后再按上面的步骤处理。

三、正交投影

下面推导过程中，坐标系采用右手系，相机位于原点，看向 -Z 方向。

3.1. 正交投影定义

在右手坐标系*中，设一个可视空间（视锥）：

• 左、右边界：$(l,r)$
• 下、上边界：$(b,t)$
• 近平面和远平面：$(z_{\text{near}},z_{\text{far}})$（注意：在右手系中，$(z_{\text{near}})$ 和 $(z_{\text{far}})$ 都是负值）

将视锥内模型坐标转换为标准化设备坐标（NDC）。

3.2. 推导

将$[l,r]\times [b,t]\times [z_{\text{near}},z_{\text{far}}]$变换到 $[-1,1]$的标准坐标系。

• X 轴变换
  $$x^{\prime }=\frac{2x}{r-l}-\frac{r+l}{r-l}$$

• Y 轴变换
  $$y^{\prime }=\frac{2y}{t-b}-\frac{t+b}{t-b}$$

• Z 轴变换
  $$z^{\prime }=\frac{2z}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}-\frac{z_{\text{near}}+z_{\text{far}}}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}$$

最终正交投影矩阵：
$$P_{\text{ortho}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}& -\frac{z_{\text{near}}+z_{\text{far}}}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

四、透视投影

4.1、 透视投影定义

在右手坐标系*中，设一个可视空间（锥体）：

• 视场角（Field of View，FOV）：$(\theta )$
• 纵横比（Aspect Ratio）：$(a=\frac{\text{width}}{\text{height}})$
• 近平面和远平面：$(z_{\text{near}},z_{\text{far}})$

透视除法（根据远近，按规则缩放）。

变换成标准化设备坐标（NDC）中的立方体。

4.2、 透视投影矩阵推导

• X 轴和 Y 轴变换
  近平面高度：
  $$h=2\cdot z_{\text{near}}\cdot \tan (\theta /2)$$
  近平面宽度：
  $$w=a\cdot h$$
  因此，X 轴和 Y 轴的变换为：
  $$x^{\prime }=\frac{2x}{w}=\frac{x}{z_{\text{near}}\tan (\theta /2)}$$
  $$y^{\prime }=\frac{2y}{h}=\frac{y}{z_{\text{near}}\tan (\theta /2)}$$
• Z 轴变换
  Z 轴的变换需要将 $([z_{\text{near}},z_{\text{far}}])$ 映射到 $([-1,1])$：
  $$z^{\prime }=\frac{z_{\text{near}}+z_{\text{far}}}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}+\frac{2z_{\text{near}}{z}_{\text{far}}}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}\cdot \frac{1}{z}$$

最终透视投影矩阵：
$$P_{\text{persp}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{a\tan (\theta /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\theta /2)}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{z_{\text{near}}+z_{\text{far}}}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}& \frac{2z_{\text{near}}{z}_{\text{far}}}{z_{\text{near}}-z_{\text{far}}}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

透视投影矩阵引入了w 分量，确保透视除法能够正确执行，使远处物体变小。