机器人学中的位置和姿态

刚体

刚体是一种特殊的质点系统,无论它在多大外力作用下,系统内任意两质点间的距离始终保持不变。

位置和姿态

在笛卡尔坐标系中，表示坐标系的移动和旋转。

右手定则：确定笛卡尔坐标系(大拇指指向z轴、食指x轴、中指y轴)；可以用来确定旋转方向的正负。

位置描述

在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
$${}^{A}P=\left[\begin{array}{c}{p}_x\\ p_y\\ p_z\end{array}\right]$$

在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
$${}^{A}P=p_{x}i+p_{y}j+p_{z}k$$

姿态描述

1. 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[x B ,y B ,z B ]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述。

$$\begin{gathered} {}_B^{A}R={[}^A{x}_B{}^A{y}_B{}^A{z}_B] \\ =\left[\begin{array}{ccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}\end{array}\right] \end{gathered}$$

2. 旋转矩阵中的各个分量是坐标系{B}的每个单位矢在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量。可用一对单位矢量的点积来表示,两个单位矢量的点积可得到二者之间夹角的余弦。

$$R=\left[\begin{array}{ccc}cos(x,x_h)& cos(x,y_h)& cos(x,z_h)\\ cos(y,x_h)& cos(y,y_h)& cos(y,z_h)\\ cos(z,x_h)& cos(z,y_h)& cos(z,z_h)\end{array}\right]$$

3. 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为
   

4. 意义：一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里

   旋转矩阵的几何意义:

   1. ${}_B^{A}R$ 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系{A}的.
   2. ${}_B^{A}R$ 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标${}^{B}p$变换成{A}中的点的坐标 ${}^{A}p$ .

姿态描述-正交矩阵

$$\begin{gathered} {}_B^{A}R={[}^A{x}_B{}^A{y}_B{}^A{z}_B] \\ =\left[\begin{array}{ccc}{n}_x& o_x& a_x\\ n_y& o_y& a_y\\ n_z& o_z& a_z\end{array}\right] \end{gathered}$$

旋转矩阵R的特点

1. 三个列向量两两相互垂直
2. 三个列向量模长为1
3. 三个列向量方向满足右手定则

欧拉定理

任意的三维空间旋转运动都可以表示为绕某一单位轴ω的转动, 设转动角度为θ ,则旋转矩阵可描述为矩阵指数的形式。

位姿描述

刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的和方位参考坐标的原点位置矢量表示

机器人学的变换

1. 研究对象为刚体，不能缩放
2. 基底为单位正交的三维空间的线性变换
3. 齐次变换