开篇

当机器人位姿已知而地图 $m$ 未知时，我们要如何从带噪声的测距观测中逐步还原出可靠的环境地图 $m$？占据栅格地图正是解决这一问题最经典、工程上应用最广的表示。沿着本章的推导走一遍，你会发现建图可以逐格递推、简单到只用加法，你会掌握它背后的二值贝叶斯滤波原理与完整算法，并理解它与 gmapping 等 ROS 建图包的关系。

前置依赖：需要第二章的贝叶斯滤波，以及第六章的测距仪模型。
后继联系：到第 11~13 章 SLAM，建图将与定位耦合；占据栅格也是后端地图常见的输出格式。

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核心知识点

9.1 占据栅格的表示

我们先把连续二维空间切分为方格 ${\mathbf{m}}_i$（cell），于是地图可以写成集合 m={mi}m=\{\mathbf{m}_i\}m={mi​}。每个栅格独立维护一个占据概率：

$$p({\mathbf{m}}_i\mid z_{1:t},x_{1:t})\in [0,1]$$

• $1$：确定被占据（障碍物）。
• $0$：确定空闲。
• $0.5$：未知。

独立性假设：这里假定栅格之间彼此独立，从而建图可以逐格计算，工程实现非常友好；代价则是丢失了空间结构相关性（比如墙体的连续性）。

9.2 占据栅格建图的概率公式

接下来我们把"占据"看作二值状态，用二值贝叶斯滤波逐格递推：

记 $l_{t,i}=\log \frac{p({\mathbf{m}}_i\mid z_{1:t},x_{1:t})}{1-p({\mathbf{m}}_i\mid z_{1:t},x_{1:t})}$ 为对数占据比（log-odds），则有

$$l_{t,i}=l_{t-1,i}+\log \frac{p({\mathbf{m}}_i\mid z_t,x_t)}{1-p({\mathbf{m}}_i\mid z_t,x_t)}-l_0$$

• $l_0$ 是先验对数比（通常对应 $p=0.5$，即 $l_0=0$）。
• 第二项 $l_{\text{meas}}$ 是当前观测贡献的对数比增量。
• 概率从对数比还原：$p=\sigma (l)=1/(1+e^{-l})$。

直觉：可以把每个栅格的占据度理解为"投票"——激光穿过它就投"空闲"，激光打在它上就投"占据"，多次观测不断累加，最终每个栅格都被推到 0 或 1。

9.3 反射地图 / 逆传感器模型

$p({\mathbf{m}}_i\mid z_t,x_t)$ 称为逆传感器模型（inverse measurement model），由几何关系直接给出：

• 沿激光从机器人位姿 $x_t$ 到端点的栅格：高概率空闲。
• 端点处栅格：高概率占据（假设是障碍表面）。
• 射线未覆盖的远处栅格：保持先验 $0.5$。

栅格位置	$p({\mathbf{m}}_i\mid z,x)$
射线经过处	接近 0（空闲）
射线端点	接近 1（占据）
射线范围外	0.5（未知）

算法

算法: Occupancy_grid_mapping({x_{1:t}, z_{1:t}}, m)
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输入: 位姿序列 x_{1:t}, 观测序列 z_{1:t}, 栅格地图 m
1. 对所有栅格 m_i: l_{0,i} = log-odds(p_0)   // 通常 0
2. 对 t = 1..T:
     对每条激光射线 z_t:
       对射线穿过/打中的每个栅格 m_i:
         b = inverse_sensor_model(m_i, x_t, z_t)
         l_{t,i} = l_{t-1,i} + log(b/(1-b)) - l_0
3. 输出 m_i = σ(l_{t,i}) = 1/(1+e^{-l_{t,i}})
─────────────────────────────────────────────

9.4 逆传感器模型细节

具体到单条激光 $z_t=(\text{range},\text{beam})$，只需考察给定栅格 ${\mathbf{m}}_i$ 距机器人的距离 $r_i$ 与角度差 $|{\varphi }_i-\text{beam}|$：

$$p({\mathbf{m}}_i\mid z_t,x_t)=\{\begin{array}{ll}{p}_{\text{occ}}& |r_i-z_t|<ϵ\text{（端点附近）}\\ p_{\text{free}}& r_i<z_t-ϵ\text{（射线经过）}\\ p_0& \text{其它}\end{array}$$

典型取值 $p_{\text{occ}}\approx 0.85$，$p_{\text{free}}\approx 0.35$，$p_0=0.5$。

9.5 位姿已知假设的局限

值得注意的是，本章算法假设位姿 $x_{1:t}$ 完全已知。但实际中位姿总有误差，因此：

• 里程计漂移会导致地图扭曲。
• 必须与定位（第 7、8 章）耦合解决：SLAM（第 11~13 章）做的就是同时求解位姿与地图。

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章节小结

• 占据栅格将空间离散化，每个栅格存放"占据概率"，各自独立递推。
• 借助对数占据比实现二值贝叶斯滤波：每条激光射线为沿途栅格投票更新。
• 逆传感器模型依据射线几何直接给出投票值（空闲/占据/未知）。
• 本章假设位姿已知；位姿未知的情形留待后续 SLAM 章节处理。

后续联系：第 10 章会介绍其它建图表示；第 11~13 章的 SLAM 把本章建图与 MCL/EKF 定位联合求解；占据栅格也是 ROS gmapping/cartographer 的标准地图输出。

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思考与延伸

• 栅格分辨率权衡：5cm 栅格精度高，但内存占用大、计算慢；20cm 栅格则相反。实践中常折中取 5~10cm。
• 动态障碍：本章假设环境是静态的；行人等动态物体会留下"鬼影"，可以用时间滤波或最近 N 帧滑动窗口来缓解。
• 对数比表示的好处：规避了概率连乘带来的数值下溢问题，且每次更新只需做加法。
• 未知区域表达：占据栅格天然区分"空闲/占据/未知"，非常适合导航规划；拓扑地图（第 10 章）则更适合大范围路径规划。
• 与神经地图融合：现代方法（如 Neural Radiance Field、隐式表示）尝试学习连续地图，但在工程实践中占据栅格仍是基线选择。

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结语

回顾本章，我们以二值贝叶斯滤波为核心，用对数占据比把占据栅格建图化为逐格的加法更新，再借助逆传感器模型从射线几何直接得到每次观测的投票值。你会发现，这套方法以极低的计算代价换来了区分空闲、占据与未知的高质量地图，至今仍是 gmapping、cartographer 等主流建图系统的基石，在机器人导航中有着不可替代的工程价值。