AI机器人的运动控制：高精度电机与控制算法融合

title: “AI机器人的运动控制：高精度电机与控制算法融合”
authors: “[DeepThink.ai]”
affiliations: “[AI Genius Institute]”
keywords: “[运动控制; 高精度电机; 阻抗控制; 全身控制; 执行器建模; 转矩脉动抑制]”

Abstract

AI 机器人的运动控制性能同时取决于高精度电机的伺服品质与上层控制算法的设计质量，二者分属不同工程学科，长期缺乏统一的设计闭环。现有控制算法多将关节力矩视为理想力矩源，忽略电流环带宽、转矩脉动、编码器量化与通信时延等电机侧非理想特性，导致算法在仿真中成立而在实机上性能退化。本文提出一种电机—算法协同的分层运动控制融合框架（Motor-Aware Control Fusion，MACF）：在伺服层建立包含转矩脉动与摩擦的执行器动态模型并设计转矩前馈线性化补偿，在算法层引入"执行器契约"接口，将电机环带宽与时延作为阻抗控制器与全身控制器的显式设计约束，再以学习型残差策略吸收未建模动态。本文给出完整的问题形式化、模块设计、辨识与推断流程及复杂度分析，并设计了可复现的对比实验方案与评价指标体系；实验数值待实测填充。该框架将"电机—算法"的串行调试转变为联合设计，为高精度 AI 机器人的运动控制提供可验证的工程路径。

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1 Introduction

1. 动机与重要性。 人形机器人、四足机器人与协作机械臂等 AI 机器人正从实验室走向工业与服务场景，其核心能力——行走、抓取、接触作业——最终都要由关节电机的输出力矩来实现。运动控制的精度、带宽与鲁棒性直接决定任务成功率与人机交互安全性。随着学习型策略（模仿学习、强化学习）进入控制栈，控制器对执行器的假设越来越强：策略往往期望关节能在毫秒级精确输出任意期望力矩。电机伺服能力与算法假设之间的差距，已成为制约实机性能的关键瓶颈。

2. 现有做法的具体局限。 现有工作存在三条割裂的技术路线。其一，电机驱动侧研究聚焦磁场定向控制（Field-Oriented Control，FOC）、转矩脉动抑制与伺服调参，通常把上层力矩指令视为理想的慢变输入，不考虑上层算法对带宽与相位裕度的真实需求。其二，控制算法侧（阻抗控制、全身控制、模型预测控制）通常假设关节为理想力矩源，执行器动态仅以简单一阶环节或纯时延近似，实机上出现跟踪滞后、接触力振荡与稳定性裕度不足。其三，学习型方法在仿真中训练策略后迁移到实机（sim-to-real），执行器非理想特性作为"域间隙"的一部分被随机化掩盖，而没有被显式建模和补偿，导致策略退化且难以诊断。三条路线各自闭环，缺乏统一的接口把电机侧的物理约束传递给算法设计。

3. 本文核心思路。 本文提出电机—算法协同的分层运动控制融合框架 MACF。核心思想是把"执行器不是理想力矩源"这一事实上升为一等公民：（a）在伺服层建立含转矩脉动、摩擦与量化效应的执行器动态模型，通过前馈线性化使实际输出力矩逼近期望力矩；（b）定义"执行器契约"（Actuator Contract）——带宽、时延、转矩纹波上限、量化步长——作为伺服层对算法层的正式承诺，上层阻抗/全身控制器在契约约束下设计，避免不可实现的控制指令；（c）对契约内无法消除的残差，用学习型残差策略在线补偿。三条机制构成从电机到任务的显式融合链路。

4. 贡献。

• 提出执行器契约接口，将电机伺服的带宽、时延、转矩纹波等物理约束形式化为上层控制器可消费的设计条件，打通电机侧与算法侧的设计闭环。
• 设计执行器动态辨识与转矩前馈线性化方法，显式补偿转矩脉动与摩擦，使力矩跟踪误差有界可测。
• 给出带宽感知的阻抗/全身控制器设计流程，保证控制环路频率分配满足稳定性所需的分层间隔，并分析闭环计算复杂度与实时性。
• 设计一套可复现的对比实验方案（基线、指标、消融项），用于验证融合框架各组件的贡献；实验数值待实测填充，本文不预先给出结论性数据。

5. 结构说明。 第 2 节按技术流派回顾相关工作；第 3 节给出问题形式化与框架细节；第 4 节描述实验设计；第 5 节讨论适用边界；第 6 节总结并给出未来工作。

2 Related Work

电机伺服与高性能驱动。 永磁同步电机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）与无刷直流电机（Brushless DC Motor，BLDC）的高性能控制以 FOC 与直接转矩控制为主线。Khiabani 与 Heydari 针对未知负载扰动下的 PMSM 提出自适应动态规划转矩控制方法 [8]；Vedadi 研究了考虑转矩脉动的 BLDC 级联位置控制优化 [9]；Pernecker 等人在天文光纤机器人定位器中设计了紧凑型 FOC 控制电子系统，在微米级精度与功耗预算之间折中 [12]。这类工作停留在伺服层，不涉及任务级控制算法对执行器特性的依赖。本文继承其执行器级建模思路，但把模型输出封装为向上层传递的执行器契约。

阻抗/导纳与柔顺交互控制。 Hogan 提出的阻抗控制奠定了通过调节机械阻抗实现稳定接触的理论基础 [14]；Raibert 与 Craig 的混合位置/力控制是经典替代路线 [15]。近期 Lachner 等人指出曲空间中关节刚度矩阵的非对称性会破坏无源性，并给出物理一致的刚度表述 [2]；SpaceDREAM 机械臂软件工作展示了阻抗控制在在轨装配任务中的系统实现 [1]；Cufino 等人在柔顺推挤操作中显式设计被动交互行为 [3]。这些方法大多假设关节力矩可精确实现，未把执行器伺服特性纳入稳定性与性能分析。本文将执行器契约引入阻抗控制设计，使期望阻抗在电机带宽可实现的范围内选取。

全身控制与轨迹优化。 Kim 等人提出结合强化学习与新型全身控制器的动态步行方法 [6]；Rozzi 等人将采样规划与基于梯度的规划结合以处理接触丰富操作 [4]。全身控制通常以二次规划（Quadratic Programming，QP）分层求解关节力矩，其输出直接下发给电机。当电机侧存在带宽与时延限制时，QP 输出的高频力矩分量无法被执行，成为隐性失配源。本文的契约接口使全身控制器在生成力矩时就受限于可执行频带。

学习型运动控制与 sim-to-real。 Chen 与 Nguyen 提出 RL 增强模型预测控制实现敏捷运动 [5]；Sun 等人以中枢神经系统为灵感构建分层学习控制 [7]；Fuchioka 等人通过模仿优化轨迹实现四足动态行为 [10]；Qin 等人将扩散模型多任务学习与在线强化学习结合以提升四足鲁棒性 [11]。学习方法的域随机化通常把执行器参数作为随机变量处理，属于"被动容忍"。本文改为主动建模与补偿，把残差留给学习模块，缩小策略需要覆盖的不确定性范围。与上述各流派相比，本文的差异在于：以执行器契约为接口，把电机伺服与控制算法纳入同一设计与验证闭环。

3 Method

3.1 Problem Formulation

考虑 $n$ 关节的刚性机器人，其动力学为

$$M(q)\ddot{q}+C(q,\dot{q})\dot{q}+g(q)={\tau }_m+J(q{)}^{\top }{f}_{ext}$$

其中 $q,\dot{q},\ddot{q}\in {\mathbb{R}}^n$ 为关节位置、速度与加速度；$M(q)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 为惯性矩阵；$C(q,\dot{q})\dot{q}$ 为科氏与离心项；$g(q)$ 为重力项；${\tau }_m\in {\mathbb{R}}^n$ 为电机实际输出力矩；$J(q)$ 为雅可比矩阵；$f_{ext}$ 为末端接触力。

上层控制算法输出的是期望力矩 ${\tau }_d$，而电机实际输出 ${\tau }_m$ 受伺服动态影响。以 PMSM 为例，交轴电流 $i_q$ 的动态与输出力矩为

$$L_q\frac{d{i}_q}{dt}=v_q-R{i}_q-{\omega }_e{L}_d{i}_d-{\omega }_e{\psi }_f$$

$${\tau }_m=\frac{3}{2}p\left[{\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q\right]=K_t{i}_q+{\tau }_{rip}({\theta }_e)$$

其中 $v_q$ 为交轴电压；$R$ 为定子电阻；$L_d,L_q$ 为直轴/交轴电感；${\omega }_e$ 为电角速度；${\psi }_f$ 为永磁磁链；$p$ 为极对数；$K_t$ 为力矩常数；${\theta }_e$ 为电角度；${\tau }_{rip}({\theta }_e)$ 聚合转矩脉动、齿槽效应与磁链谐波。此外还有摩擦力矩 ${\tau }_f(\dot{q})$、编码器量化步长 $\Delta \theta$ 与总线通信时延 $T_d$。

问题定义。 给定期望运动/接触任务，设计控制律使实际输出 ${\tau }_m$ 逼近算法所需 ${\tau }_d$，并使任务级误差（轨迹误差、接触力误差）满足指标，同时闭环稳定且满足实时性约束。该问题的核心困难在于：算法层以 ${\tau }_m={\tau }_d$ 为隐含假设，而实际上 ${\tau }_m=\mathcal{A}[{\tau }_d]$，$\mathcal{A}[\cdot ]$ 为受带宽、时延、纹波、量化污染的执行器算子。本文目标是显式建模 $\mathcal{A}[\cdot ]$，补偿其中可补偿部分，并将剩余部分作为约束传递给算法层。

符号表。

符号	含义	单位
$q,\dot{q}$	关节位置、速度	rad, rad/s
${\tau }_d,{\tau }_m$	期望力矩、电机实际力矩	N·m
$K_t$	力矩常数	N·m/A
$i_q,i_d$	交轴、直轴电流	A
${\psi }_f,p$	永磁磁链、极对数	Wb, —
${\tau }_{rip}({\theta }_e)$	转矩脉动分量	N·m
${\tau }_f(\dot{q})$	摩擦力矩	N·m
${\omega }_c,{\omega }_p$	电流环、位置环带宽	rad/s
$T_d$	感知—执行总时延	s
$M_d,D_d,K_d$	期望惯性、阻尼、刚度	—
$\Delta \theta$	编码器角分辨率	rad

3.2 Framework Overview

MACF 为四层结构，层间以明确接口连接，其中第 2 层的执行器契约是本文核心。

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 第 4 层  任务层：运动规划 / 学习型策略（模仿学习、强化学习）   │
│          输出：任务空间期望轨迹 x_d(t)、期望阻抗参数          │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 第 3 层  算法层：带宽感知阻抗控制 / 全身控制器（QP）          │
│          输出：期望力矩 τ_d（频带受限，契约内可执行）         │
│          约束来源：执行器契约（带宽、时延、纹波上限）         │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 第 2 层  执行器契约层：τ_d → i_q^ff + Δi_q                   │
│   · 力矩前馈线性化：i_q^ff = (τ_d + τ̂_rip + τ̂_f) / K_t      │
│   · 契约发布：{ω_c, T_d, |τ_rip|≤ε, Δθ}                      │
│   · 残差策略 Δi_q：补偿契约内未建模动态                       │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 第 1 层  伺服层：FOC 电流环 + 逆变器 + PMSM + 编码器          │
│          实际输出：τ_m = A[τ_d]                               │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
        ▲ 状态/电流/角度反馈（q, q̇, i_abc, θ_e）

图 1：MACF 分层框架。第 2 层为执行器契约层，将伺服层的物理能力封装为算法层可消费的设计约束。

数据流闭环为：任务层给出 $x_d(t)$ → 算法层在契约约束下解算 ${\tau }_d$ → 契约层计算电流指令 $i_q^{cmd}$ → 伺服层 FOC 执行 → 电机输出 ${\tau }_m$ 驱动负载 → 状态反馈回各层。

3.3 Module Details

模块 A：执行器动态辨识。 采用频域与时域结合的离线辨识。步骤为：（a）锁定转子，注入扫频电流信号，辨识电流环闭环传递函数，得到带宽 ${\omega }_c$ 与等效时延 $T_d$；（b）匀速空载运行，采集 ${\tau }_m$ 估计值随 ${\theta }_e$ 的变化，以傅里叶级数拟合转矩脉动模型

$${\hat{\tau }}_{rip}({\theta }_e)=\sum _{k=1}^K\left[a_k\sin (kp{\theta }_e)+b_k\cos (kp{\theta }_e)\right]$$

其中 $K$ 为谐波阶次，$a_k,b_k$ 为拟合系数；（c）以 Stribeck 型模型拟合摩擦 ${\hat{\tau }}_f(\dot{q})=(F_c+F_v|\dot{q}|)\mathrm{sign}(\dot{q})+F_s\dot{q}$，其中 $F_c,F_v,F_s$ 分别为库仑、粘性与 Stribeck 系数。辨识结果误差以留出数据验证，残差进入模块 D。

模块 B：转矩前馈线性化。 由期望力矩直接计算电流前馈

$$i_q^{ff}=\frac{{\tau }_d+{\hat{\tau }}_{rip}({\theta }_e)+{\hat{\tau }}_f(\dot{q})}{K_t}$$

使 ${\tau }_m\approx K_t{i}_q^{ff}+{\tau }_{rip}({\theta }_e)={\tau }_d+({\tau }_{rip}-{\hat{\tau }}_{rip})+({\tau }_f-{\hat{\tau }}_f)$，即输出力矩与期望力矩之差收敛到辨识残差。编码器量化引起的前馈抖动以 ${\theta }_e$ 的低通估计抑制，滤波器截止频率按 ${\omega }_c$ 的十分之一选取以避免相位损失。

模块 C：执行器契约与带宽感知控制器设计。 契约定义为五元组

$$\mathcal{C}=\left({\omega }_c,T_d,{\epsilon }_{rip},\Delta \theta ,{\tau }_{max}\right)$$

分别约束电流环带宽、总时延、转矩纹波上限、角分辨率与峰值力矩。算法层在契约下分配环路带宽，满足分层间隔

$${\omega }_{task}<{\omega }_{pos}<{\omega }_{vel}<\frac{{\omega }_c}{5},{\omega }_{pos}\cdot T_d<\frac{\pi }{6}$$

其中 ${\omega }_{task}$ 为任务层轨迹带宽；第一个不等式保证内环快于外环，第二个约束时延引起的相位损失不超过 $30^{\circ }$。阻抗控制目标

$$M_d\ddot{x}+D_d\dot{x}+K_d(x-x_d)=f_{ext}$$

中 $M_d,D_d,K_d$ 的选取需满足：期望阻抗带宽 $\sqrt{{\lambda }_{max}(M_d^{-1}{K}_d)}$ 位于 $({\omega }_{pos}/3,{\omega }_{pos})$ 区间内，且 $D_d$ 临界阻尼设计。若任务要求的刚度 $K_d$ 超出契约可实现范围，控制器输出限幅并向上层报告契约违反，而不是静默失稳。

模块 D：学习型残差策略。 对契约内无法消除的残差 $\tilde{\tau }={\tau }_d-{\tau }_m^{nom}$，训练残差电流 $\Delta i_q={\pi }_{res}(s)$，其中状态 $s=(q,\dot{q},{\tau }_d,{\theta }_e)$。训练在包含辨识模型的仿真中进行，奖励为力矩跟踪误差与能耗加权和；部署时残差以限幅 $|\Delta i_q|\le 0.1\cdot |{\tau }_d|/K_t$ 注入，防止学习模块破坏前馈主通路的稳定性。残差策略仅在前馈线性化之后工作，其学习目标由"全局补偿"缩小为"局部残差"，样本效率与安全性均提高。

3.4 Training / Inference

辨识阶段（离线）。 依次执行模块 A 的三项辨识实验，每次实验采集电流、角度、速度信号，采样率不低于电流环带宽的 20 倍；辨识结果写入执行器契约文件并随机器人标定保存。

训练阶段（离线，可选）。 若启用模块 D，在含辨识模型的仿真中以无模型强化学习训练残差策略，训练环境对 $K_t$、$F_c$、$T_d$ 在辨识置信区间内随机化；训练收敛判据为验证集上力矩跟踪均方误差连续 100 个 epoch 不再下降。

推断阶段（在线）。 实时运行按频率分层调度：电流环以 ${\omega }_c$ 对应的采样周期运行（典型为数十 kHz 量级）；伺服外环以 ${\omega }_c/5$ 以内运行；算法层以 ${\omega }_{pos}$ 对应频率运行（典型为数百 Hz 至 1 kHz 量级）；任务层按需运行。每周期执行顺序为：读取状态 → 算法层解算 ${\tau }_d$ → 前馈线性化 + 残差注入 → 电流环执行 → 发布契约监控量（纹波、时延、饱和次数）。契约监控量超阈值时触发降级策略（降低期望刚度或进入安全阻抗模式）。

3.5 Complexity or Theoretical Properties

计算复杂度。 前馈线性化为 $O(n)$ 逐关节运算，含一次傅里叶求和（$K$ 阶），单周期开销可忽略。残差策略为固定结构前馈网络，复杂度 $O(n\cdot h)$，$h$ 为隐层宽度。全身控制 QP 含 $n$ 个力矩变量与 $m$ 个约束，内点法单次迭代 $O(n^3)$，典型 $n\le 40$ 时在嵌入式平台上可行。整体实时性由最慢环决定，调度裕度要求 CPU 占用率不超过 70%。

稳定性性质。 命题 1（带宽分离下的串级稳定性，非形式化表述）：若电流环闭环稳定，且满足 ${\omega }_{pos}<{\omega }_c/5$ 与 ${\omega }_{pos}{T}_d<\pi /6$，则把电流环近似为带宽 ${\omega }_c$ 的一阶环节时，位置环的相位裕度不低于 $45^{\circ }$。该结论依赖于一阶近似，对强非线性（深度饱和、大纹波）情形不成立，此时需诉诸模块 D 的残差有界性假设 $|\tilde{\tau }|\le \overline{ϵ}$，其严格证明超出本文范围，此处无法核实，留待后续工作。

误差界。 前馈线性化后力矩跟踪误差满足 $|{\tau }_d-{\tau }_m|\le |{\tau }_{rip}-{\hat{\tau }}_{rip}|+|{\tau }_f-{\hat{\tau }}_f|+K_t|\Delta i_q^{max}|+{ϵ}_{quant}$，其中 ${ϵ}_{quant}$ 为量化引起的等效力矩误差。该界为各残差项绝对值之和，属保守上界。

4 Experiments

4.1 Experimental Setup

实验平台。 两类平台用于交叉验证：（a）7 自由度（Degree of Freedom，DoF）串联机械臂，关节为 PMSM + 谐波减速器，17 位以上绝对值编码器，FOC 伺服驱动；（b）12-DoF 四足机器人，关节为准直驱（Quasi-Direct Drive，QDD）BLDC 电机。平台具体型号与硬件参数以实测标定为准，本文不预先给出。

对比基线。（1）级联 PID 位置控制（工业默认）；（2）标准阻抗控制（假设理想力矩源，无执行器补偿）；（3）全身 QP 控制（无执行器契约约束）；（4）本文 MACF 完整方案。

评价指标。

指标	定义	关注点
轨迹跟踪 RMSE	任务空间位置均方根误差	精度
力矩跟踪带宽	输出力矩幅值衰减至 $-3$ dB 的频率	伺服品质
接触力误差	期望与实测接触力之差的均方根	交互性能
抗扰恢复时间	受脉冲扰动后误差回到 $\pm 5\%$ 带内的时间	鲁棒性
转矩纹波比	稳态力矩波动幅值与均值之比	平顺性
计算占用率	控制周期 CPU 占用	实时性

实现细节与超参。 前馈谐波阶次 $K=6$；残差策略隐层宽度 $h=64$，限幅系数 0.1；带宽分配满足 ${\omega }_{pos}<{\omega }_c/5$；所有实验每组重复 10 次取均值与标准差；对比实验在相同任务轨迹与相同扰动序列下进行。

4.2 Main Results

主结果按四类任务设计：（a）无接触高速轨迹跟踪；（b）恒力接触作业（打磨、抛光类）；（c）动态抗扰（脉冲推力、突发负载）；（d）四足动态行走。表格数值待实测填充。

方法	轨迹 RMSE (mm)	力矩带宽 (Hz)	接触力误差 (N)	恢复时间 (s)	纹波比 (%)	CPU (%)
级联 PID	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
标准阻抗控制	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
全身 QP	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
MACF（本文）	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]

表 1：主结果对比（数据待实测填充，本文不预设结论）。

4.3 Ablation Study

消融项与 MACF 完整方案对比，用于分离各模块贡献：

消融配置	轨迹 RMSE	接触力误差	恢复时间
MACF 完整	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
− 转矩前馈线性化	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
− 执行器契约（带宽约束）	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
− 残差策略	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]
− 全部（退化为标准阻抗）	[实验数据待填]	[实验数据待填]	[实验数据待填]

表 2：消融实验设计（数据待实测填充）。预期可验证的假设是：去除前馈线化后力矩跟踪误差增大；去除契约约束后高频指令引发饱和或振荡；去除残差策略后未建模动态暴露。以上为待检验假设，非本文结论。

4.4 Analysis

定性分析。 计划采集示波器级电流—力矩曲线与 Bode 图，展示前馈补偿前后力矩跟踪的相位滞后变化；采集接触任务中末端力的时间序列，对比有无契约约束时的振荡现象。

效率分析。 统计各层单周期计算时间与 CPU 占用率，验证 3.5 节的复杂度判断；评估残差策略相对全局学习策略的训练样本数差异。

失败案例分析。 记录契约违反事件（饱和、纹波超阈值、时延抖动）及其触发的降级动作，形成失败模式清单，作为框架改进输入。

4.5 Limitations

本文方案有三项已识别局限：（a）辨识模型假设电机参数慢时变，温度漂移与磨损导致的参数变化需在线再辨识，本文未实现；（b）命题 1 的稳定性论证基于电流环一阶近似，对深度饱和等强非线性不适用；（c）残差策略的安全性依赖限幅设计，缺乏形式化安全证明。此外，本文提供的是方法与实验设计，结论性数值需实测后方可支撑。

5 Discussion

成因解释。 电机—算法割裂的根源在于两个学科的抽象层次不同：驱动工程以电压、电流、磁链为对象，控制工程以力矩、阻抗、任务误差为对象。执行器契约的实质是在两个抽象之间建立可检查的接口，使"电机做不到的事"在算法设计时就可见，而不是在实机调试时才暴露。

适用边界。 本框架适用于以旋转电机 + 减速器为主驱动的刚性/半刚性机器人。对液压、气动人工肌肉等驱动方式，执行器算子 $\mathcal{A}[\cdot ]$ 形式不同，契约需重新定义。对软体机器人，关节动力学本身分布参数化，本文的集中参数假设不成立。对减速比极大（>100:1）的场景，反射惯量与传动间隙主导动态，需在契约中增加传动模型项。

伦理与安全影响。 高精度运动控制提升人机协作安全性（接触力可控），但也提高机器人的物理作业能力。建议部署时保留契约监控与降级机制作为安全底线；接触力上限应依据人机协作安全标准设定，而非仅由硬件能力决定。学习型残差模块应限制其权限范围并保留可关闭开关，以便审计与回退。

6 Conclusion

本文针对 AI 机器人运动控制中高精度电机与控制算法相互割裂的问题，提出电机—算法协同的分层融合框架 MACF。框架以执行器契约为核心接口，向上为阻抗/全身控制器提供带宽、时延、纹波等可消费的设计约束，向下通过辨识建模与前馈线性化压缩执行器非理想特性，残差部分由受限的学习策略补偿。本文完成了问题形式化、模块设计、辨识与推断流程、复杂度与稳定性性质分析，并给出可复现的实验方案、基线与指标体系。由于实测数据尚未填充，本文不对性能优劣作结论性声明。

未来工作具体包括：（1）在 7-DoF 机械臂与 12-DoF 四足平台上完成表 1、表 2 的实测并回填数据；（2）设计温度漂移下的在线参数再辨识机制，扩展契约的自适应能力；（3）在强非线性工况下给出不依赖一阶近似的稳定性证明，或采用无源性理论刻画执行器算子；（4）为残差策略设计形式化安全滤波器（如控制屏障函数），替代纯限幅方案；（5）将契约接口推广到多机器人协同作业场景。

References

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[8] Khiabani A G, Heydari A. Optimal Torque Control of Permanent Magnet Synchronous Motors Using Adaptive Dynamic Programming. arXiv:1911.03534, 2019. https://arxiv.org/abs/1911.03534

[9] Vedadi M. Optimized Cascaded Position Control of BLDC Motors Considering Torque Ripple. arXiv:2505.01740, 2025. https://arxiv.org/abs/2505.01740

[10] Fuchioka Y, Xie Z, van de Panne M. OPT-Mimic: Imitation of Optimized Trajectories for Dynamic Quadruped Behaviors. arXiv:2210.01247, 2022. https://arxiv.org/abs/2210.01247

[11] Qin X, Ma X, Qi Y, Liu Q, Xue C, et al. Integrating Diffusion-based Multi-task Learning with Online Reinforcement Learning for Robust Quadruped Robot Control. arXiv:2507.05674, 2025. https://arxiv.org/abs/2507.05674

[12] Pernecker S, Wei J, Rombach M, Pineda Suarez O, Ibrahimovic T, et al. Advancing Control Electronics for Next-Generation Astronomical Fiber Robotic Positioners. arXiv:2606.18928, 2026. https://arxiv.org/abs/2606.18928

[13] Chi Y, Liao Q, Long J, Huang X, Shao S, et al. Demonstrating Berkeley Humanoid Lite: An Open-source, Accessible, and Customizable 3D-printed Humanoid Robot. arXiv:2504.17249, 2025. https://arxiv.org/abs/2504.17249

[14] Hogan N. Impedance Control: An Approach to Manipulation: Part I—Theory. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1985, 107(1): 1–7.

[15] Raibert M H, Craig J J. Hybrid Position/Force Control of Manipulators. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1981, 103(2): 126–133.

[16] Siciliano B, Khatib O (eds). Springer Handbook of Robotics. 2nd ed. Springer, 2016.

[17] Slotine J J E, Li W. Applied Nonlinear Control. Prentice Hall, 1991.

[18] Murray R M, Li Z, Sastry S S. A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press, 1994.

[19] Åström K J, Murray R M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Princeton University Press, 2008.

[20] Boyd S, Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004.

Appendix

A.1 傅里叶转矩脉动拟合流程

1. 以恒定电流 $i_q$ 拖动电机匀速旋转，采集力矩估计值 $\hat{\tau }$ 与电角度 ${\theta }_e$；
2. 将数据按电角度分箱，计算每箱均值，消除随机噪声；
3. 以最小二乘拟合 ${\hat{\tau }}_{rip}({\theta }_e)$ 的 $K$ 阶傅里叶系数 $a_k,b_k$；
4. 在留出转速/电流条件下验证，若纹波预测相对误差超过阈值则提高 $K$ 或分电流工况建模。

A.2 残差策略训练伪代码

初始化：辨识模型 A_hat（含 τ̂_rip, τ̂_f, K_t, T_d）
for episode = 1 ... N do
    随机化参数 θ ~ 置信区间（K_t, F_c, T_d）
    for step = 1 ... T do
        s ← (q, q̇, τ_d, θ_e)
        Δi_q ← π_res(s)（限幅 0.1·|τ_d|/K_t）
        执行 i_q_cmd = i_q_ff + Δi_q
        观测 τ_m，计算奖励 r = -‖τ_d - τ_m‖² - λ·Δi_q²
        存储转移 (s, Δi_q, r, s')
    更新 π_res（PPO 或等价算法）

A.3 契约监控阈值建议（工程经验值，需实测校准）

监控量	建议阈值	触发动作
转矩纹波比	> 5%	降期望刚度 20%
总时延抖动	> 2× 标称 $T_d$	切换安全阻抗模式
电流饱和占比	> 1% 周期	力矩限幅并上报
温升（绕组）	> 额定值 80%	降功率运行

注：上表为工程经验建议值，缺乏统一文献标准，此处无法核实其普适性，仅作为实验起点。