本章概述

上一篇的高斯滤波虽然优雅，却只会画“一团云”，画不出“好几团云”：全局定位、绑架问题里置信度天然多峰，高斯假设就此失灵。本篇换一条路，不再假设分布形状，用格子或粒子把分布直接“撒”出来。你会看到直方图滤波的直观与维度灾难，以及粒子滤波“运动采样、似然赋权、重采样”的三步循环，为 MCL 与 FastSLAM 打下算法地基。

前置依赖：第二章贝叶斯滤波。后继联系：第 8 章 MCL、第 13 章 FastSLAM 都建立在粒子滤波之上。

---

核心知识点

4.1 非参数化的动机

高斯滤波的两大限制：

1. 单峰假设：无法表达"机器人可能在 A 或 B"这类多模态置信度。

2. 线性化/高斯噪声假设：强非线性系统近似误差大。

非参数滤波器的思路是用一组离散元素显式表示置信度，对分布形状不做先验约束：

• 直方图滤波：把状态空间切成格子，每个格子存一个概率。

• 粒子滤波：用带权重的随机样本（粒子）表示分布。

直觉：高斯滤波像"用椭圆画一团云"，非参数滤波像"撒一把沙子来描出云的形状"——后者能描出任意外形，但样本越多越准。

---

4.2 离散贝叶斯滤波 / 直方图滤波

把连续状态空间离散化为有限个区域（bin），每个区域 上置信度用一个标量表示，满足​。

贝叶斯滤波的两步直接写成离散形式：

性质

• 简单、直观，可以表达多峰分布。

• 维度灾难：状态维数 ​d 增加时，格子数按 ​指数增长，三维以上状态空间几乎不可用。

• 适合低维状态（如 1D 走廊定位）。

---

4.3 粒子滤波（Particle Filter）

格子法困在维度上，那把固定格子换成可以自由移动的样本呢？核心思想：用 ​M 个带权样本 近似置信度：​

样本越多，近似越精确；粒子可以聚集在高概率区域，从而自适应地分配表达力。

---

4.4 重要性采样与序贯重要性重采样（SIR）

直接从后验采样通常困难。粒子滤波借助提议分布 ​（proposal）来采样本，再通过权重修正：

最常用的提议分布就是运动模型本身：​，此时权重简化为

直觉：粒子先按运动模型"撒出去"，再用观测似然给每颗粒子打分——观测匹配好的粒子权重大，差的粒子权重小。

权重退化与重采样

权重经多步后会退化（少数粒子占绝大部分权重），浪费计算。重采样（resampling）从当前粒子集中按权重有放回地抽 ​M 个新粒子，使权重重新均匀。

常用的低方差重采样（low-variance sampling）：用一个随机起点 + 等距步长抽取，比独立有放回采样方差更小。

---

4.5 标准粒子滤波算法（SIR 形式）

算法: Particle_filter(X_{t-1}, u_t, z_t, M)
─────────────────────────────────────────────
输入: X_{t-1}={x_{t-1}^{[m]}, w_{t-1}^{[m]}}, 控制 u_t, 观测 z_t
1. 对 m = 1..M:
     x_t^{[m]} = sample_motion_model(u_t, x_{t-1}^{[m]})   // 从运动模型采样
     w_t^{[m]} = measurement_prob(z_t, x_t^{[m]})          // 按观测似然赋权
2. X_t = X̄_t = {(x_t^{[m]}, w_t^{[m]})}
3. 重采样:
     构造累积权重，按权重抽 M 个粒子（低方差法），权重重置为 1/M
4. 返回 X_t
─────────────────────────────────────────────

性质

• 收敛性：随 ​，粒子分布收敛到真实后验。

• 能表达多峰后验：粒子自然聚集到多个高概率模式。

• 维度敏感但比直方图温和：粒子会自适应集中到高概率区，所需粒子数随维度增长比格子法缓慢。

• 退化-重采样权衡：重采样太频繁会损失多样性（粒子 impoverishment），太稀疏又退化。

---

关键公式速查

---

章节小结

• 非参数滤波放弃高斯假设，能表达任意（含多峰）后验。

• 直方图滤波简单直观但受维度灾难限制，适合低维。

• 粒子滤波用带权样本表示置信度，由"运动采样 → 似然赋权 → 重采样"三步循环；收敛性有理论保证，是后续 MCL、FastSLAM 的算法基石。

• 两类滤波器本质上都是第二章贝叶斯滤波的具体实现，只是置信度的表示方式不同。

后续联系：第 8 章把粒子滤波直接套到定位问题上得到 MCL；第 13 章用粒子滤波同时估计轨迹与地图得到 FastSLAM。

---

思考与延伸

算法跑起来只是开始，落地时还有几个绕不开的坑：

• 粒子匮乏（particle deprivation）：重采样后高概率区粒子集中、多样性丢失，可能丢掉真实位姿。缓解方法：自适应重采样（只在有效样本数低于阈值时重采样）、注入随机粒子。

• 提议分布选择：用观测引导的提议分布（如基于最近观测的高斯）可大幅减少所需粒子数，是 AMCL、FastSLAM 2.0 的改进点。

• 粒子数 vs 精度：粒子数与状态维数、置信度峰宽相关；工程上需通过实验确定。盲目增加粒子会拖慢实时性。

• 与高斯滤波的混合：Rao-Blackwellized 粒子滤波（第 13 章 FastSLAM）对部分状态用粒子、其余用解析高斯，兼顾表达力与效率。

---

写在最后

核心观点一句话：非参数滤波用表达自由度换取计算代价。直方图滤波直观，却困在维度灾难里；粒子滤波让样本自适应聚集到高概率区，配合重采样拿到收敛保证，成为 MCL、FastSLAM 等经典系统的地基。从机器人定位到目标跟踪，这套“撒粒子”的思想始终活跃在工程一线。下一步把它套到定位问题上，就是经典的蒙特卡洛定位。