《熵权法》在数学建模中实际运用

基于潜水器位置预测模型所反映的环境特征，我们建立了基于熵权法 - Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution（EWM-TOPSIS）的搜寻设备评价模型，选取采购成本、维护与使用成本、可用性概率、搜救效率、环境因素感知能力作为评价指标，最终确定母船应配备的搜寻设备为遥控潜水器（ROV）、声呐系统和自主水下航行器（AUV），救援船应配备自动救生衣和雷达反射器以提供协助。

论文在 4.3提到：（提供伪代码--小模型使用）

总问题

这篇论文要解决的是：潜水器失联后的搜救问题—— 也就是潜水器在海里跟母船失联了，怎么预测它漂到哪了、该用什么设备找、怎么找最快。（本题EWM-TOPSIS 解决的是问题 2）

子问题	具体内容	用的模型
问题 1	预测潜水器随时间变化的位置，分析不确定性	微分方程动力学模型（洋流扰动 + 水阻力）
问题 2	母船该带哪些搜寻设备？救援船该带什么？	EWM-TOPSIS（熵权法 - 理想解法）
问题 3	设备初始布放点放哪？用什么搜索模式？找到的概率随时间怎么变？	改进圆形搜索 + 蒙特卡洛模拟
问题 4	模型能不能推广到加勒比海？能不能推广到多潜水器场景？	参数修正 + 拉格朗日多体动力学

具体就是：从 8 种备选设备（声呐、无人机、红外相机、直升机、救生艇、ROV、GPS、AUV）里，选出最适合母船配备的搜寻设备。

数据来源

编号	文献	提供了什么数据 / 理论
[9]	3 弧秒全球 DEM 超分辨率重建	海底地形数据—— 就是论文里用 ArcGIS 加载的数字高程模型，爱奥尼亚海的海底长啥样全靠它
[2]	爱琴海与爱奥尼亚海海面高度协变行为	爱奥尼亚海的海洋动力学特征—— 海面高度、环流模式，用来验证洋流模型的合理性
[3]	北爱奥尼亚海十年振荡与盐度分布	盐度分布数据—— 爱奥尼亚海的盐度变化规律，和海水密度直接相关
[6]	SMOS 海表盐度多维插值	卫星遥感盐度数据——SMOS 卫星测的海表盐度，用来做数据插值
[7]	地中海海表盐度卫星与现场数据	地中海盐度数据集—— 多传感器融合的盐度分布
[8]	全球 Argo 网格数据集	全球海洋温盐剖面数据——Argo 浮标测的海水温度、盐度随深度的变化，用来算密度
[1]	爱奥尼亚海海底地磁	海底地磁数据—— 辅助说明爱奥尼亚海的地质特征，背景资料

详细解释：

一、整体思路

8种备选设备 → 5个评价指标 → 熵权法算权重 → TOPSIS排序 → 选前3名

二、第一步：确定评价对象和指标

评价对象（8 种备选设备）

声呐、无人机 (UAV)、红外相机、直升机、救生艇、遥控潜水器 (ROV)、GPS 定位设备、自主水下航行器 (AUV)

评价指标：

指标	含义	类型
C₁ 采购成本	买设备花多少钱	负向（越低越好）
C₂ 维护与使用成本	日常维护和使用成本	负向（越低越好）
C₃ 可用性概率	设备待命时能否正常使用	正向（越高越好）
C₄ 搜救效率	找到潜水器的速度和概率	正向（越高越好）
C₅ 环境因素感知能力	测量流速、水温等环境参数的能力	正向（越高越好）

为什么选这 5 个指标？

论文里说，因为前面位置预测模型发现流速对潜水器位置影响最大，所以设备的 "环境感知能力" 很重要；同时成本和效率也是必选项。

三、第二步：构建判断矩阵

把 8 个设备 × 5 个指标的数据整理成一个矩阵 C：

$C=\left[\begin{array}{ccccc} c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_{14} & c_{15} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} & c_{24} & c_{25} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{81} & c_{82} & c_{83} & c_{84} & c_{85} \end{array}\right]$

其中 $c_{ij}$ 表示第 i 种设备的第 j 项指标值。

论文里给了最终结果表，可以反推出标准化后的数据大概是这样：

设备	采购成本	维护成本	可用性概率	搜救效率	环境感知
声呐系统	0.0074	0.0074	0.3333	0.3019	0.34
ROV	0.2481	0.2481	0.3333	0.3396	0.32
AUV	0.7444	0.7444	0.3333	0.3585	0.34

四、第三步：熵权法算权重（核心步骤）

4.1 数据标准化

因为指标有正向和负向，量纲也不一样，先标准化到 [0,1] 区间：

正向指标（越大越好）：

$x_{ij}=\frac{c_{ij}-\min{\left(c_j\right)}}{\max{\left(c_j\right)}-\min{\left(c_j\right)}}$

负向指标（越小越好）：

$x_{ij}=\frac{\max{\left(c_j\right)}-c_{ij}}{\max{\left(c_j\right)}-\min{\left(c_j\right)}}$

4.2 计算第 j 项指标下第 i 个设备的比重

$p_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sum_{i=1}^{n}x_{ij}}$

就是把每个指标列加起来等于 1，变成概率分布的形式。

4.3 计算第 j 项指标的熵值

$e_j=-k\sum_{i=1}^{n}p_{ij}\ln{\left(p_{ij}\right)}$

其中 $k = \frac{1}{\ln n}$ ， $n=8$ （设备数量）。

熵的含义：某个指标下所有设备的数值越接近，熵值越大，说明这个指标区分度越低，权重就应该越小；反之差异越大，熵值越小，权重越大。

4.4 计算差异系数

$g_j = 1 - e_j$

4.5 计算权重

$w_j = \frac{g_j}{\sum_{j=1}^{m} g_j}$

这样就得到了 5 个指标的权重向量 $W = [w_1, w_2, w_3, w_4, w_5]$ 。

五、第四步：TOPSIS 排序

熵权法算出权重后，用 TOPSIS 给设备打分排序：

5.1 构建加权标准化矩阵

$V = X \cdot \text{diag}(W)$

即每个元素 $v_{ij} = x_{ij} \times w_j$ 。

5.2 确定正理想解和负理想解

$V^+ = (\max v_{i1}, \max v_{i2}, \dots, \max v_{i5})$

$V^- = (\min v_{i1}, \min v_{i2}, \dots, \min v_{i5})$

正理想解 = 每个指标都取最好的值；负理想解 = 每个指标都取最差的值。

5.3 计算每个设备到正负理想解的距离

$D_i^+ = \sqrt{\sum_{j=1}^{5} (v_{ij} - v_j^+)^2}$

$D_i^- = \sqrt{\sum_{j=1}^{5} (v_{ij} - v_j^-)^2}$

5.4 计算相对贴近度

$C_i = \frac{D_i^-}{D_i^+ + D_i^-}$

$C_i$ 越接近 1，说明设备越优。

六、最终结果

按 $C_i$ 从大到小排序，选前 3 名：

表格

排名	设备	特点
1	声呐系统	成本极低，搜救和感知能力不错，性价比之王
2	遥控潜水器 (ROV)	搜救和感知能力突出，但成本较高
3	自主水下航行器 (AUV)	搜救效率最高，环境感知最强，但最贵

结论：母船配这三样 —— 声呐多配几个（便宜好用），ROV 和 AUV 各配少量（高端主力）。

七、这篇论文的亮点

指标选得有依据：不是随便拍脑袋选的，而是基于前面位置预测模型的结论（流速影响大 → 环境感知能力重要）
方法组合合理：熵权法客观赋权 + TOPSIS 排序，经典组合，评委看着顺眼
结果有解释性：不是光给个排名就完事，还解释了为什么选这三个、各配多少

维度	普通 M 奖	这篇 O 奖
问题拆解	四个问题各做各的	四个问题形成闭环，逻辑递进
核心模型	套模板算法	有物理基础的微分方程动力学模型
数据	编数据 / 用题目给的	真实地理数据 + 工程参数
创新性	直接用现成方法	改进算法、结合问题特点调整
敏感性分析	走形式	有分析有结论
写作	结构松散	结构完整、图表专业、memo 规范
推广	简单说两句	有具体修正公式、有多体动力学模型

【数模美赛】2024 B题 O奖论文翻译 2411570 中国地质大学 From Lost to Found: Roam in the Ionian Sea 从失联到寻回：爱在奥尼亚海的搜寻之旅_searching for submersibles (搜寻潜水器)o奖-CSDN博客文章浏览阅读905次，点赞21次，收藏23次。摘要：本研究针对潜水器安全运行问题，开发了潜水器位置预测模型（SPP Model），通过微分方程整合洋流扰动和水阻力因素，预测潜水器三维位移。基于模型结果，采用熵权法-TOPSIS方法评估搜寻设备性能，确定母船应配备遥控潜水器（ROV）、声呐系统和自主水下航行器（AUV）。通过蒙特卡洛模拟和改进圆形搜索算法建立高效定位模型（ESP Model），计算发现概率随时间变化函数。模型经敏感性分析验证后，推广至加勒比海等多潜水器场景。研究结果为潜水器安全运营提供了完整解决方案，包括预测、搜寻和救援全流程优化建议。_searching for submersibles (搜寻潜水器)o奖https://blog.csdn.net/Harrytutu_ZuiYue/article/details/157331594?fromshare=blogdetail&sharetype=blogdetail&sharerId=157331594&sharerefer=PC&sharesource=lidinghu&sharefrom=from_link

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