**萌新自用** 

1.概念

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种将定性与定量分析相结合的多准则决策方法，由美国运筹学家萨蒂（T.L. Saaty）于1970年代提出，广泛应用于数学建模竞赛中的评价类问题（如方案优选、人员评估等）。例如：选择最优景点，规划最佳路线，选最优人选等

AHP通过建立递阶层次结构模型（目标层、准则层、方案层），结合专家打分或经验判断构造两两比较矩阵（判断矩阵），计算各因素的相对权重，并进行一致性检验（CR<0.1时通过），最终得出各方案的总权重，以辅助决策。

说简单一点就是在主观基础上使用客观的评价方法，使结果更加具有说服力

eg：绝地求生有很多步枪，现在要选择步枪里面最好用的枪

步枪	子弹伤害	稳定性（满配）	射速（m/s）	子弹速度
Aug	40	55	700	890
M762	44	50	720	740
M416	40	65	700	880
ACE32	43	65	680	720

 2.引入

1.直接相加法

如何给四把枪打分，直接相加肯定不行，因为子弹伤害非常重要但是他们的差距非常小，而最不重要的子弹速度差距却非常大

2.归一化处理

比如一个指标有三个数据a，b，c。

归一化处理就得到

其中三个数相加应该等于1，这样的话消除了数据差异过大的问题，但是每一个数据的重要程度不一样，比如稳定性和伤害比较重要，而射速和子弹速度相对没那么重要

3.加权处理

因此要给每一个指标加上权重

这里权重是随意设置的，不够科学，因此要用更科学的方法给出合理的权重

3.层次分析法 

1.基本步骤

建立递阶层次结构模型

构造判断矩阵

判断矩阵的一致性检验

求权重后评价 

2.三种层次 --目标层、准则层、方案层

 

目标层：最佳步枪

准则层：

子弹伤害

稳定性（满配）

射速（m/s）

子弹速度

方案层：

Aug

M762

M416

ACE32

3.构造判断矩阵

对指标的重要性两两比较，构造判断矩阵，其中的意义是第i个指标相对第j个指标的重要程度

 判断矩阵重要程度参考表：

 

4.一致性检验

1.一致性检验原理

主观填完表格可能会产生矛盾，比如：

我认为稳定性   和射速相比  稳定性更重要，稳定性>射速

           射速      与伤害相比  射速更重要，稳定性>射速>伤害 

           稳定性  与伤害相比  伤害更重要，伤害>稳定性

这里就有矛盾，所以需要检验这种矛盾，方法称作一致性检验 

• 完全一致需满足：

  aij​⋅ajk​=aik​(∀i,j,k)

  例如：若“苹果比香蕉重要2倍，香蕉比橘子重要3倍”，则必须“苹果比橘子重要6倍”。

 eg：（也叫做正互反矩阵）

当元素很多时难免产生矛盾，只要我们构造的矩阵与一致矩阵没有太大差别也是可以认可的，这也叫做通过一致性检验

 

 这里解释一下，因为秩=1，且只有一个特征值其余为0，因此这个特征值应该等于原矩阵对角线元素之和，而原矩阵对角线元素恰好是1，因此对角线元素之和就是元素个数n，因此tr(A)=n；

**补充特征向量**：

特征向量是这样一个特殊的非零向量：

它被矩阵乘了之后，方向不变，只是长度被拉伸（或压缩）了，这个拉伸倍数就是特征值。

所以这里应该就是通解，k任意值，特征向量里面每一个值都是原来第一行对应位置的倒数

  2.一致性检验步骤                                                             

 1.计算一致性指标CI

2.查找对应的平均随机一致性指标RI

3.计算一致比例CR

5.求权重

1.算术平均法

2.几何平均法

3.特征值法

（原理比较复杂，人打分时很难保证 a_{ik}=a_{ij}·a_{jk}，然后λ_max 与 n 的差距给出 CI、CR，直接量化“打分有多不一致”，从而知道权重可靠性。）

6.代码

1.eig函数

eig 是 线性代数里求矩阵特征值和特征向量 的“万能按钮”。

A = [4 1; 2 3];          % 你的判断矩阵
[V, D] = eig(A);         % V 的每一列是一个特征向量
                         % D 的对角元是特征值
% 最大特征值对应哪一列？
[~, idx] = max(diag(D));
w  = V(:,idx);           % 取出这一列
w  = w ./ sum(w);        % 归一化 → 权重向量

注意由于D是个对角矩阵，要找最大特征值就要先找每一列最大值化成一组向量，再在这一组向量里面找最大值，要用两次max

2.一致性检验

A=input('判断矩阵A=');%输入判断矩阵
%调用eig函数，找最大特征值和对应的特征向量
[n,n]=size(A);
[V,D]=eig(A);
Max_eig=max(max(D));
%计算CI和CR
CI = max((Max_eig - n)/(n - 1), 0);   % 避免负值
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('一致性检验通过！');
else
     disp('一致性检验不通过！');
end

相关问题：

为什么会输出负数？

解决方法：

 3.计算权重

 1.算数平均法

%1.算数平均法
A=input('判断矩阵A：');
B=input('元素矩阵B：');
ASum=sum(A,1);%每一列求和
[n,n]=size(A);
Ar=repmat(ASum,n,1);%复制：行维度n次，列维度1次
Stand_A=A./Ar;
ASumr=sum(Stand_A,2);
disp('权重向量：');
disp(ASumr/n);
disp('最终评分：');
C=B*ASumr

2.几何平均法

%几何平均法
A=input('判断矩阵A：');
B=input('元素矩阵B：');
[n,n]=size(A);
prod_A=prod(A,2);%每一行的函数全部乘起来得到一个列向量
prod_n_A=prod_A.^(1/n);%给每一个数开n次方
re_prod_A=prod_n_A./sum(prod_n_A);%归一化处理
disp('权重向量：');
disp(re_prod_A);
disp('最终评分：');
C=B*re_prod_A

由于这里就是一致矩阵所以答案同上

3.特征值法

补充：find函数

[row, col] = find(条件, k)

用法：在矩阵中根据要找的数生成逻辑矩阵（找到对应位置是1，没找到是0），然后找前k个的横纵坐标

%特征值法
A=input('判断矩阵A：');
B=input('元素矩阵B：');
[n,n]=size(A);
[V,D]=eig(A);
Max_eig=max(max(D));
[r,c]=find(Max_eig==D,1);
Ans=V(:,c)./sum(V(:,c));
disp('权重向量：');
disp(Ans);
disp('最终评分：');
C=B*Ans

由于这里就是一致矩阵所以答案同上