数学建模--TOPSIS法（评价决策类）

shenghaide_jiahu

1377人浏览 · 2025-07-25 16:44:27

shenghaide_jiahu · 2025-07-25 16:44:27 发布

1.概念

TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种多属性决策分析方法，中文常译为“逼近理想解排序法”。其核心思想是：通过计算各方案与“正理想解”（最优解）和“负理想解”（最劣解）的相对距离，对方案进行排序。距离正理想解越近且距离负理想解越远的方案越好。

说白了就是要离最优解最近，离最劣解最远

最优解就是在各个指标都达到了备选方案中的最佳值，比如原神有的角色有数值但不好看，有的角色好看但是数值不高，最优解就是又有数值又好看，最劣解就相反

eg:评选原神最佳主C

角色	数值	手感	颜值	人气
那维莱特	9.3	8.8	8.5	427.9
斯柯克	9	8.6	9	419.8
阿蕾奇诺	9	8.9	8.7	503.1
玛薇卡	9.1	8	8	459.9

（前三个为小程序值，最后为角色pv播放量，单位w，均为正向值）

2.基本步骤

1.将原始矩阵正向化

把所有指标都转化成极大型指标（也就是越大越好）

比如抽取一个角色所用的抽数肯定是越少越好，因此要把这种指标正向化

指标	特点	例子
极大型指标	越大越好	成绩，颜值
极小型指标	越小越好	抽卡抽数，坏品率
中间型指标	越接近某个值越好
区间型指标	在某个区间范围内比较好	体温，BMI

指标	转化公式
极大型指标	/
极小型指标	$\tilde{x}=max-x$ ,其中 $\tilde{x }$ 是转化后指标，max是指标最大值，x是指标值
中间型指标	$\left \{ x_{i} \right \}$ 是一组中间型序列，最优值是 $x_{best}$ ， $M=max\left \{ \|x_{i}-x_{best}\| \right \},\tilde{x}_{i}=1-\frac{\|x_{i}-x_{best}\|}{M}$
区间型指标	$\left \{ x_{i} \right \}$ 是一组区间型序列，最佳区间是[a,b], $M=max\left \{ a-min\left \{ x_{i} \right \} ,max\left \{ x_{i} \right \}-b \right \}$ $\tilde{x}_{i}=\left\{\begin{matrix}1-\frac{a-x_{i}}{M},x_{i}<a \\1,a\leq x_{i}\leq b \\ 1-\frac{x_{i}-b}{M},x_{i}>b \end{matrix}\right.$

2.正向矩阵标准化

保证不同指标都在一个数量级

标准化公式 $z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x^{2}_{ij}}}$ (每一个元素/其所在列平方和开方)

标准化后还要加上权重，权重确定方法有层次分析法等，这里默认四种指标权重相同

3.计算得分并且归一化

找到标准化矩阵Z

1.定义每一列（每一种指标）

最大值 $Z^{+}=(Z_{1}^{+},Z_{2}^{+},...,Z_{m}^{+})$

最小值 $Z^{-}=(Z_{1}^{-},Z_{2}^{-},...,Z_{m}^{-})$

2.定义第i个评价对象与

最大值的距离 $D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left (Z_{j}^{+}-z_{ij} \right )^{2}}$

最小值的距离 $D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\left (Z_{j}^{-}-z_{ij} \right )^{2}}$

3.计算未归一化的得分

$S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{-}}$ (显然Si在0到1之间，且Di+越小Si越大，表示接近最大值)

4.得分归一化并百分制

$\tilde{S}_{i}=\frac{S_{i}}{\sum_{i=1}^{n}S_{i}}\times100$

3.代码

%判断是否需要正向化
X=input('指标矩阵A=');
[n,m]=size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象',num2str(m) '个评价指标']);
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要正向化处理，需要输入1，不需要输入0:']);
if Judge==1
    Position=input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2,3,6列现需要处理，那么输入[2,3,6]:');
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）');
    Type=input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，需要输入[1,3,2]');
    for i=1:size(position,2)
        X(:,Position(i))=Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
    end
    disp('正向化后矩阵X=');
    disp(X);
end
%正向化
Z=X ./ repmat(sum(X .* X) .^ 0.5,n,1);%repmat默认是每一行相加，最终是一个行向量，然后复制n行1列
disp('标准化矩阵 Z = ');
disp(Z)
D_P = sum([( Z - repmat(max(Z),n,1) ).^2],2).^0.5;
D_N = sum([( Z - repmat(min(Z),n,1) ).^2],2).^0.5;
S=D_N ./ (D_P+D_N);
disp('最终得分');
stand_S=100*S/sum(S)
%[sorted_S,index]=sort(stand_S,'descend');%排序函数，默认升序，加descent是降序

function [posit_x]=Positivization(x,type,i)
    if type==1
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] );
        posit_x=Min2Max(x);
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] );
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~');
    elseif type==2
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型，正在正向化'] );
        best=input('请输入最佳值');
        posit_x=Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] );
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~');
    elseif type==3
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型，正在正向化'] );
        up=input('请输入区间上界');
        low=input('请输入区间下界');
        posit_x=Inter2Max(x,up,low);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] );
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~');   
    else
        disp('type不存在除1，2，3外的类型');
    end
end

function [posit_x]=Min2Max(x)
    posit_x = max(x)-x;
end
function [posit_x]=Mid2Max(x,best)
    M=max(abs(x-best));
    posit_x=1-abs(x-best)/M;
end
function [posit_x]=Inter2Max(x,a,b)
    M=max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x=zeros(size(x,1),1);
    for i =1:size(x,1)
        if x(i)<a
            posit_x(i)=1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i)>b
            posit_x(i)=1-(x(i)-b)/M;
        else
            posit_x(i)=1;
        end
    end
end

附加权重代码

disp('标准化矩阵 Z = ');
disp(Z)

% ===== 新增权重部分 =====
Weights = input('请输入各指标的权重（如[0.3,0.4,0.3]）: ');
if abs(sum(Weights) - 1) > 1e-6
    error('权重之和必须为1！');
end
Z = Z .* Weights;  % 加权标准化矩阵
disp('加权标准化矩阵 Z_weighted = ');
disp(Z);
% =========================

D_P = sum([( Z - repmat(max(Z),n,1) ).^2],2).^0.5;

最终结果：（牢玛输麻了）

角色	数值	手感	颜值	人气	评分	加权后评分
那维莱特	9.3	8.8	8.5	427.9	20.23	26.73
斯柯克	9	8.6	9	419.8	21.26	30.23
阿蕾奇诺	9	8.9	8.7	503.1	41.97	33.82
玛薇卡	9.1	8	8	459.9	16.53	9.20