离散点曲率计算

1. 单位切向量$\mathbf{T}$

对于一个参数化曲线$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$，其单位切向量$\mathbf{T}$定义为：

$\mathbf{T}=\frac{{\mathbf{r}}^{\prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }=\left(\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}},\frac{y^{\prime }(t)}{\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}}\right)$

这里，$x^{\prime }(t)$和$y^{\prime }(t)$分别是$x(t)$和$y(t)$对参数$t$的一阶导数。

2. 法向量$\mathbf{N}$

法向量$\mathbf{N}$是与$\mathbf{T}$垂直的单位向量，指向曲线凹侧。在二维情况下，可以通过旋转$\mathbf{T}$向量$90^{\circ }$来获得$\mathbf{N}$：

$\mathbf{N}=(-\sin (\theta ),\cos (\theta ))=\left(-\frac{y^{\prime }(t)}{\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}},\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}}\right)$

其中，$\theta$是$\mathbf{T}$与$x$-轴之间的夹角。

3. 曲率公式的推导

曲率$K$定义为单位切向量$\mathbf{T}$的变化率对弧长$s$的导数：

$K=\left|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right|$

由于我们通常使用参数$t$而不是弧长$s$，因此需要应用链式法则：

$K=\left|\frac{d\mathbf{T}}{dt}\frac{dt}{ds}\right|=\left|\frac{d\mathbf{T}/dt}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }\right|$

接下来，我们考虑$\mathbf{T}$的变化率$\frac{d\mathbf{T}}{dt}$。根据$\mathbf{T}$的定义，可以写出：

$\mathbf{T}=\left(\frac{x^{\prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert },\frac{y^{\prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }\right)$

对$\mathbf{T}$求导，利用商法则和链式法则，我们得到：

$\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\left(\frac{x^{\prime \prime }(t)\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert -x^{\prime }(t)\frac{d}{dt}\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^2},\frac{y^{\prime \prime }(t)\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert -y^{\prime }(t)\frac{d}{dt}\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^2}\right)$

注意到$\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert =\sqrt{(x^{\prime }(t){)}^2+(y^{\prime }(t){)}^2}$，则：

$\frac{d}{dt}\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert =\frac{x^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)+y^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }$

将上述结果代入$\frac{d\mathbf{T}}{dt}$中，并简化表达式，我们最终得到：

$\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\left(\frac{x^{\prime \prime }(t)\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^2-x^{\prime }(t)(x^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)+y^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t))}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^3},\frac{y^{\prime \prime }(t)\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^2-y^{\prime }(t)(x^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)+y^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t))}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^3}\right)$

这可以进一步简化为：

$\frac{d\mathbf{T}}{dt}=\frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^3}\left(x^{\prime \prime }(t)\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^2-x^{\prime }(t{)}^2{x}^{\prime \prime }(t)-x^{\prime }(t)y^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t),y^{\prime \prime }(t)\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^2-y^{\prime }(t{)}^2{y}^{\prime \prime }(t)-x^{\prime }(t)y^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)\right)$

$=\frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^3}\left(x^{\prime \prime }(t)(x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)-x^{\prime }(t{)}^2{x}^{\prime \prime }(t)-x^{\prime }(t)y^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t),y^{\prime \prime }(t)(x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2)-y^{\prime }(t{)}^2{y}^{\prime \prime }(t)-x^{\prime }(t)y^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)\right)$

$=\frac{1}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t){\Vert }^3}\left(x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t),-(x^{\prime }(t)x^{\prime \prime }(t)-y^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t))\right)$

可以看到，$\frac{d\mathbf{T}}{dt}$实际上是沿着法向量$\mathbf{N}$方向的变化，因为它是$\mathbf{T}$的正交补空间中的分量。因此，我们可以将其写成：

$\frac{d\mathbf{T}}{dt}=K\mathbf{N}$

这里的$K$就是我们要找的曲率，它表示单位切向量沿法向量方向的变化率。结合之前提到的链式法则，我们有：

$K=\left|\frac{d\mathbf{T}}{dt}\frac{dt}{ds}\right|=\left|\frac{d\mathbf{T}/dt}{\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }(t)\Vert }\right|$

将$\frac{d\mathbf{T}}{dt}$的表达式代入，并取模长，我们最终得到：

$K=\frac{|x^{\prime }{y}^{\prime \prime }-y^{\prime }{x}^{\prime \prime }|}{(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$

这就是为什么我们可以用$\frac{|dx\cdot ddy-dy\cdot ddx|}{(d{x}^2+d{y}^2{)}^{3/2}}$来计算曲率的原因。这种形式不仅简洁而且便于数值计算，尤其是在处理离散数据点时。

总结

通过上述推导，我们从单位切向量$\mathbf{T}$和法向量$\mathbf{N}$的关系出发，逐步构建了曲率的表达式。这个过程展示了如何从几何直观过渡到具体的数学公式，揭示了曲率作为描述曲线弯曲程度的关键概念。这种方法不仅适用于理论分析，也广泛应用于实际工程和技术领域中的曲线拟合和形状分析。