Python金融数据分析-资产波动率模型1

XIxi_0519

2125人浏览 · 2024-02-07 16:23:43

XIxi_0519 · 2024-02-07 16:23:43 发布

一、资产波动率模型

波动率模型简介

波动率是衡量金融资产价格变动幅度的指标，反映了市场的不确定性。波动率模型的目的是预测未来的波动率，帮助投资者评估风险和做出投资决策。在金融市场分析中，波动率模型是非常重要的工具。

波动率模型的种类

历史波动率模型：通过计算过去一段时间内资产价格的标准差来估计波动率。
隐含波动率模型：利用期权价格来推断市场对未来波动率的预期。
GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）：用于预测时间序列数据的波动率，考虑了波动率随时间变化的特性。

历史波动率和隐含波动率的相关内容在以往的文章中已有涉猎，在这里不展开。

通常来说，波动率模型的建立有以下四个步骤：

通过检验序列的自相关性建立均值的方程，必要时还可以引入适当的解释变量；
对均值方程的残差作白噪声检验，通过后，对残差检验ARCH效应；
如果ARCH效应检验结果显著，则指定一个波动率模型，对均值方程和波动率方程进行联合估计；
对得到的模型进行验证，需要时做改进。

需要注意的是，当序列均值显著不为0的时候需要进行去中心化处理，从而得到零均值序列。

ARCH效应的检验

金融时间序列通常具有以下四个特征：

波动率聚集：大的价格变动倾向于被后续的大的价格变动所跟随；
波动率不出现跳跃式波动；
平稳：波动率总在一定范围内变化；
杠杆效应：相较于大幅上升，大幅下降时波动率更大。

本节介绍的ARCH（自回归条件异方差）效应检验是金融计量经济学中的一个重要概念，用于检测金融时间序列（如股票收益率）中的波动聚集现象。在ARCH模型框架下，一个时间序列的当前波动率不仅取决于历史信息，还取决于其过去波动的大小。

检测ARCH效应的基本步骤包括：

模型设定：首先，设定一个基本的时间序列模型，如简单的自回归模型（AR模型）来描述变量的均值行为。
残差分析：从上一步中的模型中得到残差序列，进一步检验这些残差的平方是否具有自回归特性，这是检测ARCH效应的关键。
Lagrange乘子检验（LM检验）：这是最常用的检测ARCH效应的方法。通过对残差序列平方 $\left \{ {a_t}^2 \right \}$ 进行自回归（AR）模型进行最小二乘拟合，然后使用LM统计量来检验残差平方的自回归系数是否显著不为零。（或Ljung-Box白噪声检验）

import numpy as np
import pandas as pd
from statsmodels.stats.diagnostic import het_arch
from statsmodels.regression.linear_model import OLS
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取时间序列
file_path = 'm-intcsp7309.txt'
data_ts = pd.read_csv(file_path, header=None, squeeze=True)

# 进行Ljung-Box检验
# 这里的lags参数是你想要检验自相关性的滞后数
lags = 10
test_result = acorr_ljungbox(data_ts, lags=[lags], return_df=True)

# 使用OLS模型拟合时间序列，获取残差平方
model = OLS(data_ts, np.ones(n))
results = model.fit()
resid = results.resid

# 进行ARCH效应的LM检验
test_result = het_arch(resid)

print("LM Statistic:", test_result[0])
print("LM Test p-value:", test_result[1])
print("F-Statistic:", test_result[2])
print("F-Test p-value:", test_result[3])

二、ARCH模型

ARCH模型的基本思想是：

资产收益率的扰动序列 $a_t = r_t - E(r_t|F_{t-1})$ 是前后不相关的，但是前后不独立。
$\left \{ a_t \right \}$ 的不独立性，描述为 $Var(a_t|F_{t-1}) = Var(r_t|F_{t-1 })$ 可以用 ${a_t}^2$ 的滞后值的线性组合表示。

具体而言，ARCH（q）模型可以如下表达：

ARCH之所以可以满足资产收益波动聚集的现象是因为其系数 $\alpha_j$ 都是非负数，所以历史值 $\varepsilon _{i-j}$ 较大意味着条件方差较大，即大波动后面更倾向出现大波动。

ARCH模型的性质

以最简单的ARCH(1)为例讨论模型的性质。模型为 $\epsilon _t = \sigma _t z_t,\sigma^2_t = \alpha_0+\alpha_1\epsilon _{t-1}^2$ 。注意为了使方差有限，参数α需满足一定的条件。考虑其无条件期望为0和方差有限有： $E(\epsilon _t) = E(r_t - \mu) = E(r_t - E(r_t|F_{t-1})) = 0$

$Var(\epsilon _t) = E(r_t^2) = E(E(r_t^2|Ft-1)) = E(\sigma^2E(z_t|F_{t-1})) = \alpha_0 +\alpha_1E(\epsilon_{t-1})$

由于标准正态分布的高阶矩条件已知，我们可以借助此计算ARCH模型的高阶矩，在这里不赘述。高阶ARCH模型的性质和低阶的情况相似但是推导更为复杂。

总结来说，ARCH模型的核心是：资产的收益率误差项（或者说新信息的冲击）的波动性是随着时间变化的。过去的波动会影响当前的波动性，这使得模型能够描述和预测现实中常见的金融市场波动行为。通过对模型参数的估计，我们可以对未来的波动性进行预测，为风险管理和投资决策提供依据。但是ARCH模型仍有明显的不足：从表达式我们不难看出，无论正还是负的过往波动对现在的影响符号相同，这在现实中不太合理。

ARCH模型的建模

1、根据PACF图确定模型的阶数

绘制PACF图。
观察PACF图中的棒图（lag bars）。
找到棒图明显切入零线之后的点，这通常意味着该滞后阶数之后的数据点不再显著。
选择最后一个显著非零的棒图对应的滞后阶数作为模型的阶数。

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf

# 假设你的数据存储在CSV文件中，列名为'returns'，代表资产的收益率
# 你需要将'path_to_your_data.csv'替换为你数据文件的路径
data = pd.read_csv('path_to_your_data.csv')

# 提取收益率并计算平方，因为我们关心的是波动性（即误差项的平方）
returns_squared = data['returns'] ** 2

# 绘制PACF图
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
plot_pacf(returns_squared, ax=ax, lags=40)

# 显示图形
plt.show()

以上图为例，在29阶后图形大致位于置信区间内，因此应该取29阶模型

2、模型估计

当假定 $z_t$ 为独立同标准正态分布分布随机变量列时，在已知 $\alpha_0,...,\alpha_{t-1}$ 条件下， $\sigma_t^2 = \alpha_0 +\alpha_1\epsilon _{t-1}^2+...+\alpha_m\epsilon _{t-m}^2$ 看成已知数， $\epsilon _t$ 的条件分布为 $N(0,\sigma_t^2)$ ，于是似然函数为

在金融领域中，厚尾特性对于理解和预测金融市场中的极端事件，如市场崩溃或者大规模价格波动，至关重要，下述是厚尾现象的定义。

厚尾现象的定义：在统计学中，如果一个概率分布的尾部比正态分布的尾部更“厚”或更“重”，则称该分布具有厚尾特性，这意味着极端值出现的概率比正态分布预期的要高。这种分布能更好地捕捉到数据中的极端变化，特别是在金融市场中的极端损失或收益。

因此在实际情况中可能会将 $z_t$ 看作自由度为 $\nu$ 的标准t分布。其分布密度为：据此可得条件似然函数并求得在t分布下的最大似然估计。注意：先验地 $\nu$ 通常取3至6之间。

特别地，对于有偏的资产收益率分布，可以进入有偏化t分布，其密度为：

3、模型估计

import numpy as np
import pandas as pd
from arch import arch_model
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox
from scipy.stats import shapiro

# 建立并拟合ARCH模型
model = arch_model(returns, vol='Arch', p=1)
model_fit = model.fit(disp='off')

# 输出模型拟合摘要
print(model_fit.summary())

# 检验残差的自相关性
ljung_box_results = acorr_ljungbox(model_fit.resid, lags=[10], return_df=True)
print(ljung_box_results)

# 检验残差的正态性
shapiro_results = shapiro(model_fit.resid)
print('Shapiro-Wilk Test statistics =', shapiro_results[0], ', p-value =', shapiro_results[1])

# 打印出AIC和BIC
print('AIC:', model_fit.aic)
print('BIC:', model_fit.bic)

# 预测未来的波动率
forecasts = model_fit.forecast(horizon=5)
print(forecasts.variance[-1:])

当赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）取值较小时说明模型拟合的效果较好。

4、模型预测

# 假设 ARCH_model 是已经拟合好的模型实例
# 假设想要预测的时间范围是5个时间点的波动率

# 预测未来5个时间点的波动率
forecasts = ARCH_model.forecast(horizon=5)

# 打印预测的波动率
predicted_var = forecasts.variance[-1:].values
print('预测的波动率为：', predicted_var)

三、小结和声明

本文主要介绍了笼统的波动率模型和ARCH模型的相关内容，是笔者学习李东风老师金融序列分析讲义所得内容。框架借鉴了李老师的讲义，但内容上进行了补充，并且提供python代码实现。若有不足有误之处，还望温和批评指正。

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