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数学建模：模糊综合评价分析

综合评价分析

构成综合评价类问题的五个要素：

1. 被评价对象
2. 评价指标
3. 权重系数
4. 综合评价模型
5. 评价者

综合评价的一般步骤：

1. 确定综合评价的目的（分类？排序？实现程度）
2. 建立评价指标体系
3. 对指标数据进行预处理：一致化和无量纲化处理
4. 确定各个指标的权重
5. 求综合评价值

常用评价方法

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一级模糊综合评价

1. 评价对象为 $X$ ，其具有评价指标集: U = { u 1 , u 2 , . . . u m } U = \left \{u_1,u_2,...u_m \right \} U={u1​,u2​,...um​}, 具有评价等级集：V = { v 1 , v 2 , . . . v n } \left \{v_1,v_2 , ... v_n \right\} {v1​,v2​,...vn​}
   1. $m$ 表示指标（因素） $n$ 表示评语的总个数。
2. 对 U 中每一指标根据评判集中的等级指标进行模糊评判，得到相对偏差模糊矩阵 $R$ ， 其中 $i,j$ 表示第 $i$ 个指标处于 $j$ 评语的隶属度是 $R_{ij}$

$$R=\left[\begin{array}{c}{r}_{11},r_{12},\cdots ,r_{1n}\\ r_{21},r_{22},\cdots ,r_{2n}\\ r_{m1},r_{m2},\cdots ,r_{mn}\end{array}\right]$$

1. 自此 { U , V , R } \left \{ U,V,R \right \} {U,V,R} 构成一个模糊综合评价模型，然后确定各指标的权系数向量，记为 : $A$

A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } A=\{a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\} A={a1​,a2​,⋯,an​}

1. 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价结果，合成评价结果 $B$ ：

运算为模糊乘法,逻辑乘∧（取最小）和逻辑加∨（取最大）

$$B=A\cdot R$$

1. 归一化（标准化）后，得到：

B = { b 1 , b 2 , ⋯   , b m } B=\{b_{1},b_{2},\cdots,b_{m}\} B={b1​,b2​,⋯,bm​}

1. 因此便可以根据 $B$ 来判断评价结果。

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如何得到相对偏差模糊矩阵$R$ ？

1. 相对偏差评价法：

   1. 虚拟化理想方案 $u$

      u = ( u 1 , u 2 , ⋯   , u n ) u i = { max ⁡ j { a i j } , a i j 为效益型指标 min ⁡ j { a i j } , a i j 为成本型指标 u{=}(u_1,u_2,\cdots,u_n)\\\\{u_i=\begin{cases}\max_j\left\{a_{ij}\right\},&a_{ij}\text{为效益型指标}\\\min_j\left\{a_{ij}\right\},&a_{ij}\text{为成本型指标}&\end{cases}} u=(u1​,u2​,⋯,un​)ui​={maxj​{aij​},minj​{aij​},​aij​为效益型指标aij​为成本型指标​​

   2. 建立相对偏差模糊矩阵 $R$ ：

      R = ( r 11 r 12 ⋯ r 1 n r 21 r 22 ⋯ r 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ r m 1 r m 2 ⋯ r m n ) r i j = ∣ a i j − u i ∣ max ⁡ j { a i j } − min ⁡ j { a i j } \begin{gathered}\text{R} =\left(\begin{array}{cccc}r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\r_{21}&r_{22}&\cdots&r_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\\r_{m1}&r_{m2}&\cdots&r_{mn}\end{array}\right) \\\\\boldsymbol{r_{ij}} =\frac{\left|a_{ij}-u_i\right|}{\max_j\left\{a_{ij}\right\}-\min_j\left\{a_{ij}\right\}} \end{gathered} R= ​r11​r21​⋮rm1​​r12​r22​⋮rm2​​⋯⋯⋱⋯​r1n​r2n​⋮rmn​​ ​rij​=maxj​{aij​}−minj​{aij​}∣aij​−ui​∣​​

2. 相对优属度评价法：

   1. 使用如下公式来计算相对偏差模糊矩阵 $R$：

      r i j = { a i j / max ⁡ j { a i j } , a i j 为效益型 min ⁡ j { a i j } / a i j , a i j 为成本型 min ⁡ j ∣ a i j − α j ∣ / a i j − α j ∣ , a i j 为固定型 \begin{aligned}r_{ij}&=\begin{cases}a_{ij}\Big/\max_j\left\{a_{ij}\right\},a_{ij}\text{为效益型}\\\min_j\left\{a_{ij}\right\}\Big/a_{ij},a_{ij}\text{为成本型}\\\min_j\left|a_{ij}-\alpha_j\right|\Big/a_{ij}-\alpha_j\Big|,a_{ij}\text{为固定型}&\end{cases}\end{aligned} rij​​=⎩ ⎨ ⎧​aij​/maxj​{aij​},aij​为效益型minj​{aij​}/aij​,aij​为成本型minj​∣aij​−αj​∣/aij​−αj​ ​,aij​为固定型​​​

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如何得到指标权系数向量 $A$ ？

变异系数法。

数学建模：变异系数法 | HugeYlh

1. 得到第$i$ 项指标的均值与方差

$$\begin{gathered} \overline{x_i}=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{a}_{ij},s_i^2=\frac{1}{n-1}\sum _{j=1}^n{\left(a_{ij}-\overline{x_i}\right)}^2 \\ {\mathbf{\nu }}_{\mathbf{i}}={\mathbf{s}}_{\mathbf{i}}/\left|\overline{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}\right| \end{gathered}$$

1. 得到权重值$a_i$

$$a_i={\nu }_i/\sum {\nu }_i$$

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熵权法

数学建模：熵权法 | HugeYlh

1. 计算每一个指标所占全部指标的比例，得到变异值矩阵

$$p_{ij}=\frac{Y_{\ddot{y}}}{{\sum }_{i=1}^m{Y}_{ij}},i=1,\cdots ,m,j=1,\cdots ,n$$

1. 计算信息熵

   $$E_j=-\ln (m{)}^{-1}\sum _{i=1}^m{p}_{ij}\ln p_{ij}$$

2. 获取各个指标的权重

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综合代码

1. 使用相对偏差评价法求得模糊矩阵 $R$ ：

clc;clear;
% 5行 7列 表示5个评价对象，6项指标
X=[1000	120	5000	1	50	1.5	1
700	60	4000	2	40	2	2
900	60	7000	1	70	1	4
800	70	8000	1.5	40	0.5	6
800	80	4000	2	30	2	5];
% 其中第一列与最后一列指标为效益性（越大越好），其他指标为成本型（越小越好）
[m,n]=size(X);

%% 计算相对偏差模糊矩阵R
maxA=max(X); 
minA=min(X);
G=maxA-min(X);%最大值减去最小值
A1=max(X(:,1));%A1为效益型
A2=min(X(:,2:n-1));%A2~A6为成本型
A3=max(X(:,7));%A7为效益型
u=[A1,A2,A3]; %得到u然后带入到求 每个r_{ij} 的公式
%% 
R = X;
R = (abs(X-repmat(u,m,1)))./G;

%% 利用变异系数计算权向量A
x=mean(X);
s=std(X);
v=s./x;
vsum=sum(v);
A = v./vsum;

%% B为m个评价结果
B=R*(A');

1. 使用相对优属度来求得模糊矩阵 $R$

$$R_{ij}=\frac{a_{ij}}{ma{x}_j(a_{ij})}$$

%%
clc;clear;close all;
A=[58 38 14 8 57 10
50 45 11 9 52 12
42 47 8 12 50 15
45 42 12 15 46 16
47 44 13 10 49 13];
[m,n]=size(A);
h=max(A);%最大值
H=repmat(h,m,1);
Mij=A./H;% 得到模糊关系矩阵Mij 相对优属度 

%% 熵权法
% 得到变异值矩阵
Qij = Mij./repmat(sum(Mij),m,1);

% 计算各指标的信息熵
for j=1:n
   % 计算每个指标的信息熵
   fj(j)=-1/log(m)*sum(Qij(:,j).*log(Qij(:,j)));
end

% 计算各指标权重
v=(1-fj)./sum((1-fj));

B=Qij*v';%最终评价结果
disp(B)%显示结果

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多级模糊综合评价

评价模型：

$$C=A\text{B}=A\left(\begin{array}{c}{A}_1{R}_1\\ A_2{R}_2\\ \cdots \\ A_n{R}_n\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ \cdots \\ B_n\end{array}\right)$$

即计算出各个二级指标的模糊综合评价的归一化后的评价结果 $B$ 后，然后分别进行一级指标的模糊综合评价，并且得到结果：$C$

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总结

1. 灰色关联分析法、相对偏差法和相对优属度法对同一问题的评价、排序结果不尽相同.
2. 当各指标在评价体系重要性相当时，用变异系数法确定指标权重，可提高上述方法排序的分辨率；
3. 当各指标在评价体系重要性差异较大时，可考虑用层次分析法确定指标权重；
4. 在实际中, 对于评价类问题，应同时应用上述几种方法进行综合评价，以提高评价的可靠性。

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31 老哥带你学数模：模糊综合评价算法.pdf