数学建模学习笔记（二）TOPSIS法

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前言

此系列文章主要记录在学习数学建模过程中的知识点和自己的理解，如果出错请多多指正。
学习的教材和资源主要来源与清风的讲解视频，想全面了解可移步清风：数学建模算法、编程和写作培训的视频课程以及Matlab等软件教学

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一、TOPSIS法

TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

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二、问题引入

1.为什么用TOPSIS法

在前面学习层次分析法时，我们构造判断矩阵是通过专家填写的（自己），但当我们本身指标就拥有数据时，我们再去两两比较时，构造判断矩阵就显得不准确，所以我们需要用TOPSIS法，依据数据去构造我们的判断矩阵。

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2.示例引入

在这里我们先引入一个简单的例子来说明TOPSIS法的应用（例子来源清风的课件）

姓名	成绩	与他人争吵次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
清风	99	3

请对这四名同学评分，评判出四名同学的排名

按照我们前面所说，当题目给出了数据，去评分时候，我们应该应用TOPSIS法来分析，但当我们来分析数据时，第一个要注意的就是各指标的正向化问题
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统一指标类型

最常见的指标类型有下面四种

所谓的正向化就是将其他指标类型转化为极大型指标，如前题所提到的与他人争吵次数（情商指数）就是极小型指标，我们需要将其正向化
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正向化方法

极小型指标 —— 极大型指标

指标中的最大值 - 指标中的元素

像上题经过正向化后表格为

姓名	与他人争吵次数
小明	1
小王	3
小张	2
清风	0

（如果表格中所有元素为正数，也可以用 1/X 来正向化）

中间型指标 —— 极大型指标

中间型指标：指标值既不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估 PH 值）

以下以PH值（中间指标为7）为例说明

区间型指标 —— 极大型指标

以下以人的体温来做为例子（人的体温最好落在36°~37°之间）

其中 a = 36 ， b = 37， M = max（36-35.2，38.4-37）= 1.4
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正向化矩阵标准化

当我们正向化完我们的指标数据，我们就可以对我们的数据进行处理了，但我们会发现，像例子中，成绩和与他人的争吵次数不属于一个量纲的数据，我们知道，不处于同一个量纲的数据进行分析比较是没有意义的，所以我们还需要对我们的数据进行标准化处理，消除量纲对我们的影响。

这里展示了我们其中一种常用的方法消除量纲，即将矩阵中的每个元素除以元素所在列的平方和开根。我们标准化的方式不是唯一的，应该根据具体问题具体分析。
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计算得分并归一化

当我们对数据标准化完后，我们就可以对所得到的矩阵进行得分计算，TOPSIS法的关键就是计算得分上。我们具体的计算步骤如下

按照上述步骤我们可计算得

至此我们的问题得以解决
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TOPSIS使用中的注意

1）比较的对象一般要远大于两个（比如一个班级的成绩）
2）比较的指标也往往不是一个方面——例如成绩，工时，课外竞赛得分
3）有的指标不存在理论上的最大值，如GDP增长

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总结

当我们遇到要我们去为带有数据指标的方案评分时，我们可以采用TOPSIS法进行分析

TOPSIS法的优缺点

优点：
1）避免了数据的主观性，不像层次分析法，判断矩阵是由自己填写的，而TOPSIS法则是利用数据去计算
2）对于样本数据的要求不高，不论是大样本还是小样本都可以使用，而层次分析法，当评价指标过大时则效果不好
3）可通过数据反应每个方案之间的差距（也是其主要思想和优点）

缺点：
1）必须要有两个及以上的数据对象才可以使用
2）不确定应该选择多少个指标去评价才能做到客观，比如评价班级同学的学习积极度，这时有些额外的因素数据，不好处理，不能盲目的将所有数据进行分析