上一篇讲了最小化Jerk轨迹——用多项式保证运动平滑。今天讲另一种表示平滑轨迹的数学工具：B样条曲线。

B样条在计算机图形学中用了几十年（CAD、动画路径），近几年在机器人轨迹规划中也火了起来。原因在于B样条有几个特别适合轨迹优化的性质：局部控制性（移动一个控制点只影响局部曲线形状）、凸包性（曲线一定在控制点构成的凸包内）、任意阶连续性。

说白了，B样条让你用少量控制点就能表示一条任意平滑度的曲线，而且调一个控制点不会让整条曲线变形——这是贝塞尔曲线做不到的。

一、B样条的数学定义

一条k阶B样条曲线由三要素定义：控制点序列{P0, P1, ..., Pn}、节点向量{knot vector}、阶数k。

曲线上的点P(u)是控制点的加权和：P(u) = Σ Ni,k(u) * Pi，其中Ni,k(u)是B样条基函数——由Cox-de Boor递推公式计算。

# B样条基函数的Cox-de Boor递推
def basis_function(i, k, u, knots):
    if k == 1:
        return 1.0 if knots[i] <= u < knots[i+1] else 0.0
    # k阶基函数由两个k-1阶基函数组合
    left = (u - knots[i]) / (knots[i+k-1] - knots[i]) * basis(i, k-1, u)
    right = (knots[i+k] - u) / (knots[i+k] - knots[i+1]) * basis(i+1, k-1, u)
    return left + right

基函数有几个重要性质：非负性（Ni,k(u) ≥ 0）、单位分解性（所有基函数之和为1）、局部支撑性（Ni,k只在k个节点区间内非零）。这些性质决定了B样条的所有优良特性。

二、B样条为什么适合轨迹规划

B样条有几个性质让它特别适合做轨迹的参数化表示。

局部控制性：移动控制点Pi只影响曲线上k个节点区间内的形状。如果你只想调整轨迹的一小段，改对应的控制点就行，不用动整条轨迹。这在轨迹优化中特别有用——优化器可以局部调整轨迹避开障碍物。

凸包性：B样条曲线一定在控制点构成的凸包内。这意味着如果你把控制点放在安全区域内，曲线大概率也在安全区域内（严格说需要更细的检查，但凸包性质提供了一个快速筛选手段）。

连续性保证：k阶B样条在节点处具有C^(k-2)连续性。常用的三次B样条（k=4）在节点处C²连续——位置和速度连续，加速度也连续。这对轨迹来说够用了。

导数也是B样条：B样条曲线的导数仍然是B样条（阶数降一）。这意味着速度曲线和加速度曲线也可以用B样条表示——速度是二阶B样条，加速度是一阶B样条（分段常数）。这个性质在约束处理中很有用：速度约束变成对速度B样条控制点的约束，加速度约束变成对加速度B样条控制点的约束。

凸优化友好：B样条曲线的平滑度代价（曲率积分）可以写成控制点的二次型——c^T Q c的形式。碰撞约束可以近似为控制点的线性约束。整个优化问题变成二次规划（QP），有成熟高效的求解器。

# B样条轨迹优化的QP形式
# min  c^T Q c + q^T c    # Q: 平滑度矩阵, q: 路径长度项
# s.t. A_eq c = b_eq      # 起止点约束
#      A_ineq c <= b_ineq # 碰撞约束（线性化）
#      lb <= c <= ub      # 控制点范围
# 求解: 用OSQP或qpOASES，通常10ms内

三、均匀B样条 vs 非均匀B样条

节点向量等间距的叫均匀B样条，不等间距的叫非均匀B样条（NURBS的前身）。

均匀B样条计算简单，基函数可以预计算，适合在线规划。大多数机器人轨迹规划用的就是均匀三次B样条——控制点等间距排列在参数空间上。

非均匀B样条更灵活——可以在曲率大的地方加密节点，在直线段稀疏节点。但计算更复杂，基函数不能简单预计算。CAD领域常用NURBS（非均匀有理B样条），机器人领域用得少。

工程建议：做轨迹规划用均匀三次B样条就够了。控制点数量通常取路径点数量的1.5-2倍——太少拟合不好，太多优化变量大。

Clamped vs Unclamped：Clamped B样条（也叫open/clamped knot vector）的特点是曲线通过首末控制点。做法是把节点向量的前k个和后k个节点设为相同值。轨迹规划中几乎都用clamped版本——因为你通常需要轨迹精确通过起点和终点。Unclamped版本的曲线不通过首末点，在轨迹规划中没用。

和最小化Jerk的对比：最小化Jerk用多项式表示轨迹，系数由边界条件唯一确定。B样条用控制点表示轨迹，控制点作为优化变量可以灵活调整。最小化Jerk适合waypoint少且无碰撞约束的场景（机械臂），B样条适合waypoint多且有障碍物约束的场景（无人机、自动驾驶）。

四、B样条在轨迹优化中的实际应用

典型的B样条轨迹优化流程：

1. 用路径规划器（A*/RRT/混合A*）得到一条粗略路径
2. 沿路径等距采样N个点作为初始控制点
3. 以控制点坐标为优化变量，建立QP问题
4. 目标函数：平滑度（控制点的二阶差分平方和）+ 离障碍物距离
5. 约束：起止点位置和速度、速度/加速度限制

# B样条轨迹优化的核心循环
control_points = init_from_path(rough_path, num_points=20)
for iteration in range(max_iter):
    # 计算当前轨迹的碰撞代价
    collision_cost = evaluate_collision(control_points, obstacle_map)
    # 求解QP
    control_points = solve_qp(Q, q, collision_cost, constraints)
    if collision_cost < threshold:
        break

浙江大学的EGO-Planner和香港科技大学的Fast-Planner都是基于B样条的无人机轨迹规划框架——在无人机比赛中跑出了很好的成绩。这两个框架都开源了，建议读源码学习。

实测数据：在10m×10m的室内环境中规划一条避障轨迹，EGO-Planner（B样条方案）的规划时间约8ms，Fast-Planner（梯度优化方案）约15ms。两者轨迹质量差不多，但B样条方案更快——因为QP求解器比梯度下降收敛更快。

五、面试实战

Q：B样条和贝塞尔曲线有什么区别？ A：贝塞尔曲线的所有控制点都影响整条曲线（全局性），B样条的每个控制点只影响局部。贝塞尔曲线的阶数等于控制点数减一，阶数太高会数值不稳定。B样条的阶数和控制点数无关，可以固定为3或4。

Q：B样条的凸包性在轨迹规划中有什么用？ A：两个用处。一是快速碰撞检测——如果控制点构成的凸包和障碍物不交，曲线一定不碰撞。二是约束构造——把控制点限制在安全区域内，就能保证轨迹安全（虽然保守，但计算快）。

Q：你在项目中怎么用的B样条？ A：做无人机的局部轨迹规划。前端用RRT*生成初始路径，后端用均匀三次B样条优化。15个控制点，QP求解用OSQP，单次优化约5ms。优化后的轨迹平滑且无碰撞，无人机飞行速度8m/s时跟踪误差<5cm。

Q：B样条优化的缺点是什么？ A：两个问题。一是凸包碰撞检测太保守——可能把安全的轨迹也排除掉。需要用更精确的碰撞检测方法（比如离散采样检测）。二是控制点数量需要手工调——太少不够灵活，太多计算慢。工程上通常根据路径长度自适应调整控制点数量。

小结

B样条用少量控制点参数化平滑曲线，具有局部控制性、凸包性、任意阶连续性。在轨迹优化中，B样条把连续的轨迹优化问题转化为有限维的二次规划问题，求解高效可靠。

EGO-Planner和Fast-Planner是基于B样条的代表性开源框架。理解B样条的核心性质（局部性、凸包性、凸优化友好）比记住递推公式更重要——面试时考官考的是你的理解深度，不是让你手推Cox-de Boor。

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