内容	必须掌握的	后面在哪用到
弧度制	弧度与角度换算；弧长公式、扇形面积公式	角的统一记号，后续三角运算一律用弧度
任意角的三角函数	单位圆定义；各象限符号；特殊角的值	描述旋转与周期性现象的统一语言
同角关系与诱导公式	${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$；四组诱导公式及推导思路	化简三角表达式的基本工具
三角函数的图像与性质	周期性、单调区间、对称轴与对称中心	周期信号分析的图像基础
$y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图像变换	振幅、周期、初相的几何含义；图像变换的正确顺序	描述振荡与波动现象的标准模型
两角和差公式	$\cos (\alpha -\beta )$ 的几何证明；由它推出其余三条	三角恒等变形与角度复合运算的代数基础
二倍角与辅助角公式	二倍角公式、降幂公式；辅助角公式及证明	把多个三角函数项合并成一个的标准手段

一、任意角与弧度制

按逆时针方向旋转形成的角是正角，顺时针方向旋转形成的角是负角，射线没有旋转时构成零角。与角 $\alpha$ 终边相同的角构成集合 { β ∣ β = α + k ⋅ 360 ° , k ∈ Z } \{\beta \mid \beta=\alpha+k\cdot360°, k\in\mathbb{Z}\} {β∣β=α+k⋅360°,k∈Z}（弧度制下是 { β ∣ β = α + 2 k π , k ∈ Z } \{\beta \mid \beta=\alpha+2k\pi, k\in\mathbb{Z}\} {β∣β=α+2kπ,k∈Z}）。

弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 $1$ 弧度的角。设圆心角 $\alpha$（弧度）对应的弧长为 $l$，半径为 $r$，则 $\alpha =\frac{l}{r}$——弧度数就是弧长与半径的比值，这个比值不依赖圆的大小，只由角的张开程度决定。

整个圆周对应弧长 $2\pi r$，所以周角 $360°$ 对应的弧度数是 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$，即 $360°=2\pi \text{ rad}$，$180°=\pi \text{ rad}$。由此 $1°=\frac{\pi }{180}\text{ rad}$，$1\text{ rad}=\left(\frac{180}{\pi }\right)°\approx 57.30°$。

弧长公式：$l=|\alpha |r$（$\alpha$ 为弧度数，直接由 $\alpha =l/r$ 移项得到）。

扇形面积公式：扇形面积与圆心角成正比——整圆面积 $\pi r^2$ 对应圆心角 $2\pi$，扇形面积 $S$ 对应圆心角 $\alpha$，由比例关系 $\frac{S}{\pi r^2}=\frac{\alpha }{2\pi }$，解得

$S=\frac{1}{2}\alpha r^2=\frac{1}{2}(\alpha r)r=\frac{1}{2}lr$

二、任意角的三角函数

以坐标原点为圆心作单位圆（半径 $1$），角 $\alpha$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，定义：

$\sin \alpha =y$，$\cos \alpha =x$，$\tan \alpha =\frac{y}{x}$（$x\ne 0$）

这是第 4 篇锐角三角比定义的推广：把"角"从直角三角形里的锐角（$0°$ 到 $90°$）扩展到任意角。当 $\alpha$ 是锐角时，$P$ 点坐标就是以原点为直角顶点的直角三角形对边、邻边与斜边（半径 $1$）的比值，与第 4 篇的定义完全一致。

各象限符号由 $P$ 点坐标符号直接给出：第一象限 $x,y$ 都为正，$\sin ,\cos$ 都为正；第二象限 $x$ 负 $y$ 正，$\sin$ 正 $\cos$ 负；第三象限都负，$\sin ,\cos$ 都负；第四象限 $x$ 正 $y$ 负，$\sin$ 负 $\cos$ 正。$\tan \alpha =y/x$ 的符号是 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 符号之商，第一、三象限为正，第二、四象限为负。

特殊角的值：结合第 4 篇已推导的 $30°,45°,60°$ 的值，加上单位圆上直接读出的 $0°,90°,180°,270°,360°$ 的值（$P$ 点分别在 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0)$），$0$ 到 $2\pi$ 之间所有"特殊角"（$\pi /6$、$\pi /4$ 的整数倍）的三角函数值都可以由对称性推出，不需要另外死记——这正是下一节要做的事。

三、同角三角函数的基本关系

$P(x,y)=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$ 落在单位圆 $x^2+y^2=1$ 上，直接代入得：

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

这是第 4 篇"同角关系"（当时用勾股定理证明）的推广：单位圆上这条关系本质上仍是勾股定理，只是半径（斜边）取 $1$，退化成了这个更简洁的形式。商数关系同样由定义直接得出：

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$（$\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$）

四、诱导公式

单位圆具有四种对称性，每一种给出一组诱导公式：

• 关于 $x$ 轴对称：角 $-\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于 $x$ 轴对称，坐标从 $(x,y)$ 变成 $(x,-y)$，所以 $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$，$\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
• 关于 $y$ 轴对称：角 $\pi -\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于 $y$ 轴对称，坐标变成 $(-x,y)$，所以 $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$，$\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
• 关于原点对称：角 $\pi +\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于原点对称，坐标变成 $(-x,-y)$，所以 $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$，$\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$
• 关于直线 $y=x$ 对称：角 $\frac{\pi }{2}-\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边关于直线 $y=x$ 对称，坐标变成 $(y,x)$，所以 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$，$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$（这正是第 4 篇"互余关系"的推广）

四组公式遵循同一个规律：加减 $\pi$ 的整数倍不改变函数名，加减 $\frac{\pi }{2}$ 的奇数倍会把 $\sin$ 变 $\cos$、$\cos$ 变 $\sin$；符号则由"把 $\alpha$ 当成锐角时，原式所在象限的符号"决定。这套规律就是四条公式的合并记忆方式，本质上都是单位圆对称性的直接结果。

五、三角函数的图像与性质

单位圆上 $P$ 点随 $\alpha$ 连续转动，把纵坐标 $y=\sin \alpha$、横坐标 $x=\cos \alpha$ 随 $\alpha$ 展开成平面直角坐标系里的图像，就得到正弦函数、余弦函数的图像。

• 周期性：$\sin (\alpha +2\pi )=\sin \alpha$，$\cos (\alpha +2\pi )=\cos \alpha$ 对任意 $\alpha$ 成立（单位圆转一整圈回到同一点），最小正周期都是 $2\pi$
• 单调性：正弦函数在 $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$ 上单调递减（$k\in \mathbb{Z}$）；余弦函数在 $[2k\pi -\pi ,2k\pi ]$ 上递增，在 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$ 上递减
• 对称性：正弦函数图像关于点 $(k\pi ,0)$ 中心对称，关于直线 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 轴对称；余弦函数图像关于点 $\left(\frac{\pi }{2}+k\pi ,0\right)$ 中心对称，关于直线 $x=k\pi$ 轴对称——对称轴和对称中心正好落在函数取最值（轴）或取零值（心）的位置

正切函数的图像与前两者不同：

• 定义域是 $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$（$\cos \alpha =0$ 时 $\tan \alpha$ 无定义），图像在每个 $\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$ 处断开，出现竖直渐近线
• 最小正周期是 $\pi$（不是 $2\pi$）：$\tan (\alpha +\pi )=\frac{\sin (\alpha +\pi )}{\cos (\alpha +\pi )}=\frac{-\sin \alpha }{-\cos \alpha }=\tan \alpha$
• 在每个区间 $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ 上单调递增

六、函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图像变换

一般形式 $y=A\sin (\omega x+\phi )$（$A>0$，$\omega >0$）中三个参数各自控制一件事：

• 振幅 $A$：决定纵向伸缩，值域变为 $[-A,A]$
• 角频率 $\omega$：决定周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，$\omega$ 越大周期越短
• 初相 $\phi$：决定图像左右平移，图像相对 $y=\sin x$ 向左平移 $\frac{\phi }{\omega }$ 个单位

从 $y=\sin x$ 变换到 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的标准顺序是：先把 $x$ 替换成 $x+\phi$ 得到 $y=\sin (x+\phi )$（左移 $\phi$ 个单位）→ 再把 $x$ 替换成 $\omega x$ 得到 $y=\sin (\omega x+\phi )$（横向压缩为原来的 $\frac{1}{\omega }$）→ 最后纵向伸缩 $A$ 倍得到 $y=A\sin (\omega x+\phi )$。第二步压缩的是替换后表达式里的整个 $x$，所以最终的水平位移是 $\phi /\omega$ 而不是 $\phi$——这是这套变换里唯一需要留意顺序的地方，颠倒"平移"和"压缩"的顺序会得到不同的位移量。

七、两角和差公式

$\cos (\alpha -\beta )$ 公式（其余所有和差角公式都由它推出）：

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$（几何证明见后面）

由这一条可以推出其余三条：

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

正切的和差角公式：

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$，$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

（以上推导过程见后面）

八、二倍角公式

在和差角公式中令 $\beta =\alpha$，直接得到：

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

结合 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，$\cos 2\alpha$ 还有两种等价形式：

$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$（由 $\tan (\alpha +\beta )$ 公式令 $\beta =\alpha$ 得到）

降幂公式是 $\cos 2\alpha$ 后两种形式反解出来的：

${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$，${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

九、辅助角公式

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$，其中 $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$（$\phi$ 由这两个式子共同确定所在象限，证明见后面）

上图用 $a=1,b=1$ 验证：$\sin x+\cos x$ 与 $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 两条曲线完全重合。

推导与证明

两角差余弦公式的证明

在单位圆上取两点 $A(\cos \alpha ,\sin \alpha )$、$B(\cos \beta ,\sin \beta )$，用两点间距离公式：

$A{B}^2=(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$

（展开后用两次 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 化简）另一方面，把 $A$、$B$ 绕原点旋转 $-\beta$，变成 $A^{\prime }(\cos (\alpha -\beta ),\sin (\alpha -\beta ))$、$B^{\prime }(1,0)$，旋转不改变两点间距离：

$A{B}^2=A^{\prime }{B}^{\prime 2}=(\cos (\alpha -\beta )-1{)}^2+{\sin }^2(\alpha -\beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$

两个 $A{B}^2$ 的表达式相等，得 $2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$，即证。

其余和差角公式的推导

$\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha +\beta )=\cos \left(\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta )\right)=\cos \left(\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\beta \right)=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$（第四节的诱导公式代入化简）

$\sin (\alpha -\beta )=\sin (\alpha +(-\beta ))=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

正切的和差角公式由 $\tan =\frac{\sin }{\cos }$ 直接推出：分子分母同除以 $\cos \alpha \cos \beta$，得 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$；把 $\beta$ 换成 $-\beta$ 直接得到 $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$。

辅助角公式的证明

把 $\sqrt{a^2+b^2}$ 提出来：

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x\right)$

因为 ${\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2+{\left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)}^2=1$，这两个系数可以看成某个角 $\phi$ 的余弦和正弦，代入并用和角公式：

$=\sqrt{a^2+b^2}(\cos \phi \sin x+\sin \phi \cos x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的，合计约 6 小时 9 分。

• P45 任意角的表示（19:57）— 必看
• P46 弧度制（17:39）— 必看
• P47 弧长与扇形面积公式（17:05）— 必看
• P48 三角函数的定义（28:00）— 必看
• P49 同角三角函数关系（16:25）— 必看
• P50 诱导公式（34:34）— 必看
• P51 sinx 的图像与性质（32:14）— 必看
• P52 cosx 的图像与性质（13:43）— 必看
• P53 tanx 的图像与性质（07:40）— 必看
• P55 三角函数的平移伸缩（15:02）— 必看
• P56 三角函数一般形式的各参数含义（10:49）— 必看
• P59 三角函数对称性（34:08）— 必看
• P60 三角函数的单调性（24:11）— 必看
• P62 sincos 两角和差公式（32:46）— 必看
• P63 tan 两角和差公式（13:08）— 必看
• P65 二倍角公式（23:41）— 必看
• P68 辅助角公式（27:43）— 必看

合集里另有"三角 4 个解题妙招"“整体换元法”“图像解决三角函数不等式问题”“三角函数难题克星——整体换元法”“两角和差公式进阶练习”“二倍角公式进阶变形”“二倍角与半角公式复习”"和差化积积化和差（选学）"几集，都是解题技巧、进阶练习或选学拔高内容，与本篇概念无关，跳过。

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