关键词：ROV、AUV、水动力学、附加质量、阻尼、Fossen 模型、六自由度、推力分配、CFD

前言

做过无人机的人转到水下机器人，第一反应通常是"差不多，都是六自由度刚体"。真正上手后会发现完全不是一回事：

• 空气密度 1.2 kg/m³，海水 1025 kg/m³，相差 850 倍。空气对无人机的作用力在低速时几乎可以忽略，而水对水下机器人的作用力是主导项。
• 无人机的质量矩阵是常数；水下机器人加速时要"推动"周围一大团水，附加质量可以与本体质量同量级，甚至更大。
• 无人机的阻力在悬停时基本为零；水下机器人只要有相对速度就有巨大的阻力，而且阻力与速度平方成正比。
• 无人机断电就掉下来；水下机器人的浮力和重力平衡关系决定了它断电后是浮起来、悬停还是沉底，这是安全设计的第一决策。
• 最要命的一点：ROV 后面拖着一根几十到几百米的缆，这根缆在水流中产生的阻力经常超过机器人本体。

这篇文章从流体力学的基本量纲讲起，一步步推到工程上真正能用的六自由度运动模型，最后落到参数怎么获取、控制器怎么设计。目标是让你看完之后，能看懂一份水动力参数报告，也能判断一个仿真模型是不是在瞎写。

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一、先把量纲搞清楚：几个决定性的无量纲数

流体力学里最重要的思维方式是无量纲化。同一个物理现象在不同尺度下是否相似，由无量纲数决定，而不是绝对尺寸。

1.1 雷诺数 Re —— 判断流动状态

$$Re=\frac{\rho UL}{\mu }=\frac{UL}{\nu }$$

• $\rho$：流体密度，海水约 1025 kg/m³，淡水 1000 kg/m³（差 2.5%，做浮力配平时不能忽略）
• $\mu$：动力粘度，水在 20℃ 时约 $1.0\times 10^{-3}\text{Pa⋅s}$
• $\nu =\mu /\rho$：运动粘度，水约 $1.0\times 10^{-6}{\text{m}}^2/\text{s}$（10℃ 时约 $1.31\times 10^{-6}$，深海低温要修正）
• $L$：特征长度（一般取机器人纵向长度）
• $U$：相对来流速度

物理意义：惯性力与粘性力之比。

代入一个典型观察级 ROV：$L=0.6$ m，$U=1$ m/s（约 2 节）

$$Re=\frac{1\times 0.6}{1.0\times 10^{-6}}=6\times 10^5$$

结论：$Re\sim 10^5\sim 10^7$，属于充分发展的湍流区。这带来三个重要推论：

1. 边界层是湍流边界层，摩擦阻力系数不能用层流公式（Blasius）算
2. 阻力以压差阻力（形阻）为主，摩擦阻力次要（对钝体尤其如此）
3. 在这个区间内，阻力系数 $C_D$ 对 $Re$ 的依赖较弱，可以近似当作常数 —— 这是工程上敢用固定 $C_D$ 建模的理论依据

1.2 弗劳德数 Fr —— 判断自由面效应

$$Fr=\frac{U}{\sqrt{gL}}$$

物理意义：惯性力与重力（波浪造波）之比。

• 深潜状态（下潜深度 > 1.5 倍机体高度）：自由面效应可以忽略，Fr 不重要，只需考虑 Re
• 近水面航行/收放阶段：造波阻力显著，且会有波浪激励力和吸力效应，必须考虑 Fr

这解释了一个常见现象：ROV 在水面附近往往比在水中"难控制"——多了造波阻力、波浪扰动和自由面吸附效应。

1.3 KC 数 —— 判断附加质量项与阻尼项谁主导

Keulegan-Carpenter 数：

$$KC=\frac{U_{m}T}{D}$$

其中 $U_m$ 是振荡速度幅值，$T$ 是周期，$D$ 是特征直径。

• $KC\ll 1$（小幅高频运动，如动力定位时的微调）：附加质量（惯性）项主导
• $KC\gg 1$（大幅低速运动，如巡航）：拖曳（阻尼）项主导

工程含义：如果你的 ROV 主要做定点悬停和精细作业，附加质量的建模精度比阻力更重要；如果主要做长距离巡航测线，阻力系数的精度更关键。很多仿真模型精度差，就是因为在错误的 KC 区间里花错了力气。

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二、静力学：浮力、重心、浮心与复原力矩

这一节是水下机器人最基础也最容易出事的部分。

2.1 阿基米德原理与净浮力设计

$$F_B=\rho gV$$

$V$ 是排水体积（整机在水下的封闭体积，包括耐压舱、浮力材、框架实体，但不包括开架结构中的通水空间）。

净浮力：

$$\Delta F=F_B-W=\rho gV-mg$$

三种设计取向：

配平方式	净浮力	断电后行为	适用场景
正浮力（Positive）	$\Delta F>0$，一般取 +0.5%~+2% 排水量	自动上浮	ROV 绝对主流，失效安全（fail-safe）
中性浮力（Neutral）	$\Delta F\approx 0$	原地悬停	需要长时间悬停、垂推能耗敏感
负浮力（Negative）	$\Delta F<0$	下沉坐底	坐底作业、着陆器（Lander）

实践要点：正浮力不能太大。假设一台 50 kg 的 ROV 取 +2% 净浮力，即约 10 N 剩余浮力。要维持定深，垂推必须持续输出 10 N 对抗，白白消耗能量和推力余量。工程上通常取 +2 ~ +5 N 的量级，既保证断电上浮，又不过度消耗垂推能力。

深度效应容易被忽略：随深度增加，① 海水密度略微增大（3000 m 处约增大 1.5%），② 耐压舱和浮力材受压缩，体积减小。两个效应方向相反但通常压缩占主导，结果是深度越大浮力越小。深潜设备下潜到底可能从正浮力变成负浮力，必须在配平时预留裕度或用可调压载。

2.2 重心 CG 与浮心 CB —— 姿态稳定性的全部秘密

• 重心 $r_g=[x_g,y_g,z_g{]}^T$：重力作用点，由质量分布决定
• 浮心 $r_b=[x_b,y_b,z_b{]}^T$：排水体积的形心，由几何外形决定

关键：这两点一般不重合。 而且必须不重合。

设定载体坐标系 $z$ 轴向下（标准海洋工程约定），当机器人横滚 $\varphi$ 角时，重力和浮力形成一个力偶：

$$M_{restoring}=-(z_g-z_b)W\sin \varphi$$

定义 BG 距离 $\overline{BG}=z_g-z_b$（重心在浮心下方时为正）。

• $\overline{BG}>0$（重心在浮心下方）：产生负反馈复原力矩，机器人被动稳定，会自动回到水平姿态
• $\overline{BG}=0$：无复原力矩，姿态随机漂移，完全靠控制器硬撑
• $\overline{BG}<0$：正反馈，姿态发散，会翻过来

        ↑ 浮力 F_B
        |
      ● CB  (浮心，靠上)
        |
      ● CG  (重心，靠下)  ← BG 距离
        |
        ↓ 重力 W

倾斜后：F_B 与 W 形成回正力偶 → 被动自稳

设计手法：把电池、电机、配重等重物放低，把浮力材（通常是玻璃微珠复合泡沫）放在顶部。这样 CG 下移、CB 上移，$\overline{BG}$ 增大。

BG 的取舍：

• BG 太小 → 姿态稳定性差，容易被扰动掀翻，作业时相机画面晃
• BG 太大 → 复原力矩过强，机器人抵抗俯仰的能力太强，想主动做俯仰运动（比如低头看海床）需要极大的推力，而且横滚/俯仰的自然频率高、振荡衰减慢，容易出现"钟摆式"晃荡

典型观察级 ROV 的 $\overline{BG}$ 在 20 ~ 60 mm 量级。

2.3 一个反直觉但极其重要的结论

全潜状态下，六个自由度中只有横滚（roll）和俯仰（pitch）有复原力，其余四个自由度（纵向 surge、横向 sway、垂向 heave、艏向 yaw）复原力为零。

为什么？

• 前进/横移/转艏：位置和角度改变不影响重浮力的大小和相对位置 → 无复原力
• 垂向（深度）：全潜后浮力不随深度变化（忽略压缩效应）→ 深度方向没有任何"弹簧"，是纯二阶积分系统

这与水面船舶完全不同（船有水线面刚度，heave/roll/pitch 都有静水恢复刚度）。

工程含义：

1. 深度控制必须是闭环控制，没有任何被动定深能力
2. 深度控制器本质是在控制一个"无阻尼弹簧刚度为零 + 强非线性阻尼"的系统，PID 里的 I 项主要用来消掉净浮力这个常值扰动
3. 艏向同理，没有"风向标效应"（除非机体有大尾翼，AUV 常用此设计获得航向被动稳定性）

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三、动力学核心：六自由度运动方程（Fossen 模型）

这是水下机器人建模的行业标准框架，出自 Thor I. Fossen 的经典教材。

3.1 坐标系与状态变量

需要两个坐标系：

位姿向量（在 {n}\{n\}{n} 系中描述）：

$$\mathbf{\eta }=[x,y,z,\varphi ,\theta ,\psi {]}^T$$

速度向量（在 {b}\{b\}{b} 系中描述）：

$$\mathbf{\nu }=[u,v,w,p,q,r{]}^T$$

自由度	位移/角度	速度	中文	英文
1	$x$	$u$	纵荡（前后）	Surge
2	$y$	$v$	横荡（左右）	Sway
3	$z$	$w$	垂荡（升沉）	Heave
4	$\varphi$	$p$	横摇	Roll
5	$\theta$	$q$	纵摇	Pitch
6	$\psi$	$r$	首摇	Yaw

3.2 运动学方程

$$\dot{\mathbf{\eta }}=\mathbf{J}(\mathbf{\eta })\mathbf{\nu }$$

$$\mathbf{J}(\mathbf{\eta })=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{R}}_b^n(\Theta )& 0_{3\times 3}\\ 0_{3\times 3}& {\mathbf{T}}_{\Theta }(\Theta )\end{array}\right]$$

${\mathbf{R}}_b^n$ 是标准 ZYX 欧拉角旋转矩阵，${\mathbf{T}}_{\Theta }$ 是角速度到欧拉角速率的变换矩阵。

注意奇异性：${\mathbf{T}}_{\Theta }$ 在 $\theta =\pm 90°$ 时奇异。ROV 一般俯仰角有限，欧拉角够用；但如果设备需要大姿态机动（如翻转检查船底），必须换四元数表示。

3.3 动力学方程 —— 全文最核心的一个式子

$$\boxed{\underset{\text{惯性}}{\underbrace{\mathbf{M}\dot{\mathbf{\nu }}}}+\underset{\text{科氏向心}}{\underbrace{\mathbf{C}(\mathbf{\nu })\mathbf{\nu }}}+\underset{\text{阻尼}}{\underbrace{\mathbf{D}(\mathbf{\nu })\mathbf{\nu }}}+\underset{\text{复原力}}{\underbrace{\mathbf{g}(\mathbf{\eta })}}=\underset{\text{推进器}}{\underbrace{\mathbf{\tau }}}+\underset{\text{环境力}}{\underbrace{{\mathbf{\tau }}_{env}}}}$$

各项分解：

$$\mathbf{M}={\mathbf{M}}_{RB}+{\mathbf{M}}_A,\mathbf{C}(\mathbf{\nu })={\mathbf{C}}_{RB}(\mathbf{\nu })+{\mathbf{C}}_A(\mathbf{\nu }),\mathbf{D}(\mathbf{\nu })={\mathbf{D}}_L+{\mathbf{D}}_N(\mathbf{\nu })$$

• ${\mathbf{M}}_{RB}$：刚体质量惯性矩阵（质量 + 转动惯量 + CG 偏置耦合项）
• ${\mathbf{M}}_A$：附加质量矩阵 ← 第四节详述
• ${\mathbf{C}}_{RB}$：刚体科氏向心力矩阵
• ${\mathbf{C}}_A$：附加质量引起的科氏向心力（Munk 力矩的来源）
• ${\mathbf{D}}_L$：线性阻尼（层流摩擦、势流辐射阻尼）
• ${\mathbf{D}}_N$：非线性二次阻尼 ← 主导项，第五节详述
• $\mathbf{g}(\mathbf{\eta })$：重浮力复原项（第二节推导的那个）

这个方程的形式和机械臂的动力学方程一模一样（$M\ddot{q}+C\dot{q}+G=\tau$），差别在于水下机器人多了 $M_A$ 和 $D(\nu )$ 两项，而这两项的数值往往比刚体项还大。这就是水下机器人建模难的根本原因。

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四、附加质量（Added Mass）：水下机器人独有的"虚拟质量"

4.1 物理图像

机器人在水中加速时，不只是自己在加速，还必须推动周围的一大团水一起加速。这团水的惯性反作用于机器人，表现为额外的惯性力：

$$F_A=-m_A\dot{u}$$

$m_A$ 就是附加质量。它不是真的黏在机器人上的一团水（水一直在流动交换），而是流场动能变化率的等效表达。

从能量角度看更严谨：流场的总动能

$$E_k=\frac{1}{2}{\mathbf{\nu }}^T{\mathbf{M}}_A\mathbf{\nu }$$

对速度求导即得附加质量力。

4.2 数量级：为什么必须重视

理论解（无粘势流，无界流体）：

几何体	运动方向	附加质量
球（半径 $a$）	任意方向	$\frac{2}{3}\rho \pi a^3$ = 0.5 倍排水质量
无限长圆柱（半径 $a$，长 $L$）	横向	$\rho \pi a^{2}L$ = 1.0 倍排水质量
圆柱	轴向	很小，通常按 0.1 倍量级估
圆盘（半径 $a$）	垂直盘面	$\frac{8}{3}\rho a^3$，远大于其排水量
扁平方板	垂直板面	极大

关键洞察：对空气中的物体，附加质量是排水空气质量的 0.5 倍，即 $0.5\times 1.2=0.6$ kg/m³ 量级，完全可忽略。对水下物体，附加质量是排水水质量的 0.5~1 倍以上，而中性浮力设计下排水水质量 ≈ 机器人质量。

结论：水下机器人的有效惯性通常是本体质量的 1.5 ~ 3 倍，某些方向（如扁平开架结构的垂向）可达 3 倍以上。

这直接解释了两个现场现象：

1. ROV 的加减速比想象中"肉"很多，尤其垂向。这不是推力不够，是有效质量太大。
2. 开架式 ROV 比流线型 AUV 更"肉"：开架结构里的框架、横梁、导流罩形成大量近似"平板"和"短圆柱"，附加质量系数极高。

4.3 6×6 附加质量矩阵与耦合

完整形式：

$${\mathbf{M}}_A=-\left[\begin{array}{cccccc}{X}_{\dot{u}}& X_{\dot{v}}& X_{\dot{w}}& X_{\dot{p}}& X_{\dot{q}}& X_{\dot{r}}\\ Y_{\dot{u}}& Y_{\dot{v}}& \cdots & & & \\ ⋮& & \ddots & & & \\ N_{\dot{u}}& \cdots & & & & N_{\dot{r}}\end{array}\right]$$

这里用的是 SNAME 水动力导数记号：$X_{\dot{u}}=\partial X/\partial \dot{u}$。

由势流理论可证 ${\mathbf{M}}_A$ 是对称正定矩阵（无界理想流体中），这是重要的模型校验依据 —— 如果你的 CFD 算出来的矩阵严重不对称，八成是算错了。

对称性简化：

• 若机体有三个对称面（如球、立方体框架），${\mathbf{M}}_A$ 退化为对角矩阵，只需 6 个参数：$\text{diag}(X_{\dot{u}},Y_{\dot{v}},Z_{\dot{w}},K_{\dot{p}},M_{\dot{q}},N_{\dot{r}})$
• 大多数 ROV 有左右对称面（xz 平面），耦合项减少一半
• 工程上绝大多数 ROV 模型直接取对角阵，这个近似在中低速下是可接受的

4.4 获取途径

1. 经验公式/查表：把机体拆解为球、圆柱、平板等基本单元，分别查表后叠加。快，误差 20~40%，适合方案阶段
2. 条带理论（Strip Theory）：沿轴向切片，每片按二维问题求解后积分。适合细长体（AUV、鱼雷形），对开架结构不适用
3. 面元法 / 边界元法（BEM）：求解势流的 Laplace 方程，直接得到 6×6 矩阵。精度好、速度快，是求附加质量的首选（附加质量本质是无粘效应，不需要解粘性方程）
4. CFD 强迫振荡仿真：给定正弦运动，对力信号做傅里叶分解，同相位分量给附加质量，反相位给阻尼。可以同时得到两组参数，但计算量大
5. 水池实验：PMM（平面运动机构）强迫振荡试验，或自由衰减试验反推

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五、阻尼与阻力：主导项

5.1 阻力方程与两类阻力

$$F_D=\frac{1}{2}\rho C_{D}A{U}^2$$

注意：$C_D$ 必须与参考面积 $A$ 配套报告。 迎流投影面积（frontal area）和湿表面积（wetted area）算出的 $C_D$ 相差可达一个数量级。看到一份报告只写 $C_D=0.9$ 而不写参考面积，这个数是没有意义的。

阻力的两个来源：

类型	机理	主导条件
摩擦阻力（Skin Friction）	边界层内的粘性剪切	细长流线型体、大湿面积
压差阻力 / 形阻（Form/Pressure Drag）	边界层分离导致后体压力恢复不足	钝体、开架结构 ← ROV 属此类

对开架式 ROV，压差阻力占总阻力的 80% 以上。减阻的核心不是抛光表面，而是减少迎流投影面积、避免尖锐的流动分离。

5.2 典型 $C_D$ 数量级（基于迎流投影面积）

外形	$C_D$
流线型回转体（AUV，最优线型）	0.1 ~ 0.2
带整流罩的观察级 ROV（前进方向）	0.4 ~ 0.7
开架式 ROV（前进方向）	0.8 ~ 1.2
开架式 ROV（横向/垂向）	1.2 ~ 2.0
平板垂直来流	~1.2
圆柱横向来流（$Re\sim 10^5$）	0.7 ~ 1.2

强各向异性是 ROV 水动力最显著的特征。 同一台开架 ROV，横向阻力可能是纵向阻力的 2~4 倍（面积大 + $C_D$ 大双重叠加）。

工程含义：

1. 控制器在纵向和横向的增益必须分开调，用同一组参数必然一个方向发散一个方向迟钝
2. 航行策略：能用转艏 + 前进代替横移，就不要横移。 横移的能耗可能是同距离前进的 5 倍以上
3. 抗流作业时应尽量让艏向对准来流（迎流姿态），这是现场操作的基本功

5.3 线性 + 二次阻尼模型

工程上普遍采用：

$$\mathbf{D}(\mathbf{\nu })={\mathbf{D}}_L+{\mathbf{D}}_N|\mathbf{\nu }|$$

单自由度展开（以纵向为例）：

$$X_{drag}=X_{u}u+X_{u|u|}u|u|$$

• $X_u$（线性项）：来源于层流摩擦和势流辐射阻尼，在极低速时主导
• $X_{u|u|}$（二次项）：来源于涡脱落和流动分离，在正常航速下主导

注意二次项必须写成 $u|u|$ 而不是 $u^2$，否则速度反向时符号错误（阻力会变成推力，仿真直接发散）。这是新手最常见的建模 bug。

过渡速度：两项相等处 $u^{\ast }=|X_u/X_{u|u|}|$，典型值在 0.05~0.15 m/s。也就是说只要机器人动起来超过 0.1 m/s，二次阻尼就完全主导。因此很多简化模型直接丢掉线性项，只保留二次项 —— 但在动力定位（DP）这种超低速工况下，线性项不能丢，它提供了系统在原点附近的稳定性。

5.4 Morison 方程：把惯性和阻尼合起来

对细长构件（缆、桁架、机械臂）在振荡流中的受力：

$$dF=\underset{\text{惯性项（含附加质量）}}{\underbrace{\rho C_M\frac{\pi D^2}{4}\dot{u}dl}}+\underset{\text{拖曳项}}{\underbrace{\frac{1}{2}\rho C_{D}Du|u|dl}}$$

其中 $C_M=1+C_a$，$C_a$ 是附加质量系数。这个半经验公式是海洋工程中计算细长结构受力的标准工具，也是计算缆绳受力的基础。

5.5 缆绳阻力：ROV 系统真正的性能瓶颈

这一节请特别注意，它是 ROV 与 AUV 的分水岭。

算一个具体例子：

• 脐带缆直径 $D=12$ mm，水中悬垂长度 $L=100$ m
• 缆的横向阻力系数 $C_D\approx 1.2$
• 侧向流速 $U=0.75$ m/s（约 1.5 节，很常见的作业条件）

缆的侧向投影面积：$A=D\times L=0.012\times 100=1.2{\text{m}}^2$

$$F_{cable}=\frac{1}{2}\times 1025\times 1.2\times 1.2\times 0.75^2\approx 415\text{N}$$

再算机器人本体（迎流面积 0.25 m²，$C_D=1.0$）：

$$F_{body}=\frac{1}{2}\times 1025\times 1.0\times 0.25\times 0.75^2\approx 72\text{N}$$

缆绳阻力是本体阻力的 5.8 倍。

这个数字解释了大量现场现象：

1. ROV 的抗流能力主要由缆决定，不是由推进器决定。 一味增加推力而不管缆，收益递减
2. 缆越放越多 → 阻力越来越大 → ROV 有效作业半径受限，而不是受限于电池或推力
3. 缆的张力会通过挂缆点产生力矩，持续把机器人往一个方向拽，控制器的积分项要一直对抗它
4. TMS（Tether Management System，缆绳管理系统）的价值：把长缆的重浮力和阻力承担转移到中继器上，ROV 只拖一根短的中性浮力缆（通常几十米），阻力大幅降低。这是作业级 ROV 的标准配置
5. 缆的设计要点：尽量小直径、中性浮力缆（避免重量带来的额外张力）、必要时用凯夫拉铠装承载张力

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六、科氏力与向心力：容易被忽略的耦合项

$$\mathbf{C}(\mathbf{\nu })\mathbf{\nu }$$

这一项来源于在旋转坐标系中写牛顿定律，它不做功（${\mathbf{\nu }}^T\mathbf{C}(\mathbf{\nu })\mathbf{\nu }=0$，因为 $\mathbf{C}$ 是反对称的），但会在自由度之间搬运能量，造成强耦合。

最典型的表现：Munk 力矩。

细长体以攻角 $\alpha$ 斜向前进时，由于纵向和横向附加质量不等（$X_{\dot{u}}\ne Y_{\dot{v}}$），会产生一个放大攻角的不稳定力矩：

$$M_{Munk}\propto (X_{\dot{u}}-Y_{\dot{v}})uw$$

这是纯无粘效应，与阻力无关。它的物理后果是：细长体在水中天然航向不稳定，倾向于横过来。

这解释了两件事：

1. 为什么鱼雷形 AUV 必须装尾翼 —— 尾翼的升力恢复力矩用来压制 Munk 力矩，实现被动航向稳定
2. 为什么 ROV 前进时转艏，会明显感觉到"甩尾"和姿态被牵动 —— 这是 $\mathbf{C}(\mathbf{\nu })$ 中 $u\cdot r$ 耦合项的作用

工程建议：低速工况（< 0.3 m/s）下科氏项通常可以忽略；中高速机动或需要高精度轨迹跟踪时必须建模，并作为前馈补偿加进控制器。

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七、环境力：海流、波浪

7.1 海流 —— 用相对速度处理

处理海流最优雅也最正确的方式：不要把海流当外力，而是把所有水动力项的速度换成相对速度。

$${\mathbf{\nu }}_r=\mathbf{\nu }-{\mathbf{\nu }}_c$$

其中 ${\mathbf{\nu }}_c$ 是海流速度在载体坐标系中的表示。方程改写为：

$${\mathbf{M}}_{RB}\dot{\mathbf{\nu }}+{\mathbf{M}}_A{\dot{\mathbf{\nu }}}_r+{\mathbf{C}}_{RB}(\mathbf{\nu })\mathbf{\nu }+{\mathbf{C}}_A({\mathbf{\nu }}_r){\mathbf{\nu }}_r+\mathbf{D}({\mathbf{\nu }}_r){\mathbf{\nu }}_r+\mathbf{g}(\mathbf{\eta })=\mathbf{\tau }$$

注意刚体项用绝对速度（惯性系中的加速度），水动力项用相对速度。这个区分在有流的仿真中至关重要。

海流的两个特性：

• 量级大：0.5~1.5 m/s 是常见作业条件，某些海峡、河口可达 2~3 m/s。与 ROV 自身航速同量级甚至更大
• 有剖面：表层流速大、方向与深层不同，甚至可能反向。下潜过程中机器人和缆受到的流是分层变化的，这让缆的形态计算变得复杂

7.2 波浪

深潜时波浪影响随深度指数衰减：波数 $k$ 的波，其诱导流速按 $e^{-kz}$ 衰减。深度超过半个波长后基本可忽略。

但收放阶段（LARS，Launch and Recovery System）是全流程最危险的环节：机器人穿越水气界面时会遭受剧烈的砰击载荷（slamming）和缆张力冲击，实际作业窗口往往由此决定，而不是由机器人本身的性能决定。

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八、推进系统：从螺旋桨到推力分配

8.1 螺旋桨水动力模型

标准无量纲化形式：

$$T=K_T(J)\rho n^2{D}^4,Q=K_Q(J)\rho n^2{D}^5$$

• $n$：转速（rev/s），$D$：桨直径
• 进速比 $J=\frac{V_a}{nD}$，$V_a$ 是进流速度
• $K_T,K_Q$：推力系数、扭矩系数，由桨的敞水试验曲线（Open Water Chart）给出
• 敞水效率：${\eta }_0=\frac{J}{2\pi }\cdot \frac{K_T}{K_Q}$

工程简化：在 $V_a\approx 0$（悬停/低速）时 $J\approx 0$，$K_T$ 近似为常数 $K_{T0}$，于是

$$T\approx k_T|n|n$$

这就是绝大多数 ROV 控制系统里用的推力-转速二次模型。注意 $|n|n$ 而不是 $n^2$，保证反转产生反推力。

重要修正：正反转推力不对称。 常规螺旋桨反转时效率显著降低，反向推力通常只有正向的 60%~80%。控制器里必须用两组系数：
$$T=\{\begin{array}{ll}{k}_T^{+}{n}^2& n\ge 0\\ -k_T^{-}{n}^2& n<0\end{array}$$
忽略这一点会导致机器人前进和后退的加速度明显不对称，操作手会抱怨"手感不一致"。

8.2 三个必须知道的效应

① 进流损失（Inflow Effect）

$J$ 增大时 $K_T$ 下降。也就是说机器人跑得越快，同转速下推力越小。在推力分配里如果不考虑这一点，高速时会出现推力不足。这也是 ROV 存在一个明确的最大航速的原因：推力随速度下降，阻力随速度平方上升，两条曲线交点即极速。

② 空泡（Cavitation）

当桨叶背面局部压力低于水的饱和蒸汽压时，水汽化形成空泡，空泡崩溃会造成推力骤降、噪声和桨叶剥蚀。空泡数：

$$\sigma =\frac{p_{\infty }-p_v}{\frac{1}{2}\rho V^2}$$

反直觉的好消息：$p_{\infty }$ 随深度线性增加（每 10 m 增加约 1 atm），所以深水作业反而不容易空泡。空泡风险最高的场合是浅水大推力，尤其是水面附近全速推进。

③ 导管桨（Kort Nozzle / Ducted Propeller）

在桨外加一个环形导管。原理是导管产生额外的向前推力（导管内表面的压力分布），并抑制叶尖涡。

• 低进速比（$J$ 小，即低速大推力）时效率明显高于敞水桨 —— 这正是 ROV 的主要工况
• 高速时导管本身的阻力使其变成负担

结论：ROV 推进器基本都用导管桨，AUV（巡航为主）多用敞水桨。同时导管还提供了物理防护，避免螺旋桨被渔网、缆绳缠绕，这个附加价值在实际作业中很重要。

8.3 推进器布局与推力分配

推力分配（Thrust Allocation） 解决的问题：控制器算出了期望的六维力/力矩 ${\mathbf{\tau }}_d$，怎么分给 $N$ 个推进器？

$$\mathbf{\tau }=\mathbf{B}\mathbf{f}$$

• $\mathbf{f}\in {\mathbb{R}}^N$：各推进器推力
• $\mathbf{B}\in {\mathbb{R}}^{6\times N}$：推力配置矩阵，每一列是该推进器的单位推力产生的六维广义力，由推进器的安装位置 ${\mathbf{r}}_i$ 和方向 ${\mathbf{e}}_i$ 决定：

$${\mathbf{B}}_i=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_i\\ {\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{e}}_i\end{array}\right]$$

常见布局：

布局	推进器数	可控自由度	说明
正交布局	4（2水平+2垂直）	surge, heave, yaw, pitch	结构简单，不能横移
矢量布局	4 水平（±45°）+ 2 垂直	surge, sway, yaw, heave, pitch	观察级主流，水平全向
全矢量 8 推	4 水平 + 4 垂直（倾斜）	全六自由度	作业级，可控横滚

矢量布局的巧妙之处：4 个水平推进器按 ±45° 安装，通过差分组合即可实现纵向、横向、转艏三个自由度的解耦控制，且任一推进器失效后仍有降级运行能力（容错性）。

求解方法：

$N > $ 可控自由度数时是欠定问题，有无穷多解。标准做法是加权最小二乘 / 伪逆：

$$\mathbf{f}={\mathbf{W}}^{-1}{\mathbf{B}}^T(\mathbf{B}{\mathbf{W}}^{-1}{\mathbf{B}}^T{)}^{-1}{\mathbf{\tau }}_d$$

$\mathbf{W}$ 是权重矩阵，取推进器功率系数可以实现最小能耗分配。

工程实现还要处理：

• 推力饱和：$|f_i|\le f_{max}$，超限时按比例缩放或用带约束的 QP 求解
• 死区：小转速下推力几乎为零（静摩擦 + 流动未建立），需要死区补偿
• 推力器间干扰：一个推进器的尾流打到另一个推进器的进流面，导致后者推力下降。布局设计时应避免尾流对冲
• 推力器-壳体干扰：尾流冲击机体表面产生反向力，实际有效推力可能损失 10%~30%。垂推尤其容易出现这个问题（尾流打在下方框架上）
• 康达效应（Coanda Effect）：尾流贴附在机体表面流动，产生意外的侧向力

实践提醒：$\mathbf{B}$ 矩阵必须与实际安装严格一致。装配误差导致的推进器角度偏差几度，就会在推力分配中引入交叉耦合，表现为"指令前进却在缓慢偏转"。调试阶段应做单推进器辨识逐个校核。

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九、把模型用起来：控制器设计的启示

综合以上分析，水下机器人是一个 高度非线性、强耦合、参数不确定、有大扰动 的系统。

9.1 各自由度的难度分级

自由度	难度	原因
深度（heave）	★★	无复原力但扰动小；深度计精度高（cm 级）；PID + 净浮力前馈即可
艏向（yaw）	★★	无复原力，转动惯量小，但罗经可靠；PID 够用
横滚/俯仰	★	有被动复原力，通常不需要主动控制（或只做小范围调节）
水平位置（x, y）	★★★★★	无复原力 + 海流大扰动 + 缆张力 + 定位传感器最弱（DVL 依赖底跟踪、声学定位延迟大且有跳变）

水平定位是水下机器人控制的真正难点，而且瓶颈往往在状态估计而非控制律。

9.2 控制策略选择

① PID + 前馈（工程主力）

τ = PID(误差) + g(η) 复原力补偿 + 净浮力常值补偿 + M·a_d 加速度前馈

前馈补偿把大部分已知的非线性搬到反馈环外，PID 只需处理残差。这是性价比最高的方案，绝大多数商业 ROV 用的就是这个。要点是：

• 各自由度增益必须独立调，因为阻尼各向异性可达 4 倍
• 积分项用于消除净浮力和缆张力这类常值扰动，但必须做抗积分饱和

② 滑模控制（SMC）

对参数不确定和外部扰动鲁棒性强，非常契合水动力参数难以精确获取的现实。代价是抖振（chattering），需要用边界层法或超螺旋（Super-Twisting）算法平滑。学术论文中最常见。

③ 模型预测控制（MPC）

天然处理推力饱和约束和多目标优化（同时优化跟踪误差和能耗），能显式利用模型预测未来。代价是计算量大、依赖模型精度。近年随着嵌入式算力提升开始落地。

④ 自适应控制 / 参数在线辨识

在线估计不确定的水动力参数。理论优美，但收敛速度和激励充分性（persistent excitation）在实际低机动工况下常常得不到保证。

9.3 一句忠告

控制器再先进也补不上模型的系统性错误。 如果 $C_D$ 估错 3 倍、附加质量漏算了一半、$\mathbf{B}$ 矩阵和实际装配不一致，再高级的算法也只是在错误的基础上做鲁棒补偿。先把水动力参数辨识做扎实，收益远大于换控制算法。

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十、参数怎么来：辨识与验证

方法	精度	成本	适用阶段
经验公式/几何拆解叠加	低（±30%~50%）	极低	方案论证、初步仿真
势流面元法（BEM）	附加质量高，阻尼不可得	低	详细设计，求 $M_A$ 首选
CFD 稳态拖曳（RANS, k-ω SST）	阻力系数中高（±10%~20%）	中	详细设计，求 $C_D$
CFD 强迫振荡	高，可同时得 $M_A$ 和 $D$	高	定型验证
拖曳水池 + PMM	最高	很高	型号定型、认证
自由衰减试验	阻尼中等	极低	强烈推荐，任何团队都能做
海试数据 + 系统辨识（LS/EKF）	依赖激励充分性	低	参数修正与在线补偿

自由衰减试验（Free Decay Test）—— 性价比之王

具体做法（以横滚为例）：

1. 把机器人放入静水中，配平到工作状态
2. 人为施加一个初始横滚角（比如 15°），松手
3. 用机载 IMU 记录横滚角随时间的自由衰减曲线
4. 从振荡周期 $T_n$ 反推总惯量（刚体转动惯量 + 附加转动惯量）：

$$T_n=2\pi \sqrt{\frac{I_{xx}+K_{\dot{p}}}{W\cdot \overline{BG}}}$$

已知 $\overline{BG}$ 和 $W$，测出 $T_n$，即可解出 $K_{\dot{p}}$。

5. 从衰减包络拟合阻尼系数。线性阻尼给出指数衰减，二次阻尼给出的衰减包络与线性不同，用相邻峰值差 $\Delta$ 对平均幅值 $\bar{x}$ 作图，截距给线性阻尼、斜率给二次阻尼（P-Q 分析法）

同样方法可用于俯仰。垂向和水平方向没有复原力无法自由衰减，需改用恒推力阶跃响应试验：给一个固定推力，记录速度上升到稳态的过程，稳态值给 $C_D$，上升时间常数给附加质量。

这类试验只需要静水池（甚至泳池）、IMU 和深度计，一天就能跑完，得到的参数比拍脑袋估的准得多。任何做水下机器人的团队都应该把它作为标准流程。

模型验证的检查清单

拿到一套参数后，用这几条自检：

• $\mathbf{M}={\mathbf{M}}_{RB}+{\mathbf{M}}_A$ 是否对称正定？
• 附加质量是否在排水质量的 0.3 ~ 3 倍这个合理区间？
• 阻尼矩阵 $\mathbf{D}$ 是否正定（保证耗散）？
• 各方向 $C_D$ 的相对大小是否符合几何直觉（横向/垂向应大于纵向）？
• 仿真的最大航速是否与实测接近？（这是最好的整体校验，因为它是推力曲线与阻力曲线的交点）
• 仿真的阶跃响应上升时间是否与实测接近？（校验附加质量）
• 自由衰减周期是否与实测接近？（校验 $\overline{BG}$ 和转动附加惯量）

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十一、总结：从流体力学到工程设计的十条要点

1. 雷诺数 $10^5\sim 10^7$ 的湍流区 是 ROV 的工作区间，$C_D$ 可近似为常数，压差阻力主导。
2. 正浮力是 ROV 的默认安全设计，取 +2~5 N 量级，兼顾失效上浮与推力余量。深潜要考虑压缩导致的浮力损失。
3. 重心必须低于浮心，$\overline{BG}$ 取 20~60 mm。这是唯一的被动姿态稳定来源。
4. 全潜状态下只有横滚和俯仰有复原力，深度、位置、艏向全靠闭环控制。
5. 附加质量使有效惯性达到本体质量的 1.5~3 倍，是 ROV "加速肉"的根本原因，也是它区别于空中机器人的核心特征。
6. 阻尼以二次项为主（速度 > 0.1 m/s 后完全主导），务必写成 $u|u|$ 形式。
7. 各向异性极强，横向阻力可达纵向的 2~4 倍。控制器增益必须分自由度调，操作上"能转不横移"。
8. 缆绳阻力常数倍于本体阻力，它才是抗流能力和作业半径的真正瓶颈。中性浮力缆和 TMS 是解决方案。
9. 导管桨在低进速比下效率占优，是 ROV 的正确选择；正反转推力不对称必须建模；推力配置矩阵必须与实际装配严格对齐。
10. 参数辨识的价值高于算法升级。先做自由衰减和阶跃响应试验，再谈换控制器。

水下机器人的工程难度不在于哪一项技术特别深，而在于水动力、结构、密封、能源、控制、通信这几个方向的耦合极强，任何一处的错误估计都会在系统层面放大。把水动力这一层的物理图像建立清楚，是后面所有工作的地基。

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参考方向

• Fossen, T.I. — Handbook of Marine Craft Hydrodynamics and Motion Control（六自由度建模的行业圣经，第一本该读的书）
• Fossen, T.I. — Guidance and Control of Ocean Vehicles（前一本的早期版本，理论更精炼）
• Newman, J.N. — Marine Hydrodynamics（势流理论与附加质量的经典理论教材）
• Faltinsen, O.M. — Sea Loads on Ships and Offshore Structures（Morison 方程与波浪载荷）
• Antonelli, G. — Underwater Robotics: Systems and Control（偏控制与机械臂-载体耦合）
• Christ & Wernli — The ROV Manual（工程实践导向，现场经验密度极高）
• SNAME 水动力导数记号标准（阅读文献前必须先熟悉这套符号）

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水动力建模是个"理论清晰、参数难求"的领域。欢迎在评论区交流你在实际项目中辨识参数的经验和踩过的坑。