内容	必须掌握的	后面在哪用到
不等式的性质	作差法比较大小；对称性、传递性、可加性、可乘性	收敛性证明与各类放缩的基本工具
绝对值不等式	$<a$/$>a$ 型的解法；三角不等式 $|a+b|\le |a|+|b|$ 及证明	误差与距离估计的代数基础，范数三角不等式的雏形
一元二次不等式	"三个二次"的转化关系	可行域的一维情形、Lyapunov 二次型正定性判断的雏形
基本不等式	$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 及证明；等号成立条件	优化中的下界估计，是 AM-GM、Cauchy-Schwarz 不等式的起点
恒成立问题	转化为最值问题：$f(x)\ge 0$ 恒成立 $⟺f(x{)}_{\min }\ge 0$	鲁棒性验证"对所有输入都满足"的标准转化思路

一、不等式的性质

比较两个实数大小的根本方法是作差法：

$a>b⟺a-b>0$，$a=b⟺a-b=0$，$a<b⟺a-b<0$

由此可以推出四条基本性质，都是对"作差法"的直接应用：

• 对称性：$a>b⟺b<a$
• 传递性：$a>b$ 且 $b>c⟹a>c$。证明：$a-c=(a-b)+(b-c)$，两个正数相加还是正数
• 可加性：$a>b⟹a+c>b+c$。证明：$(a+c)-(b+c)=a-b>0$
• 可乘性：$a>b$ 且 $c>0⟹ac>bc$；$a>b$ 且 $c<0⟹ac<bc$。证明：$ac-bc=(a-b)c$，$a-b>0$ 时符号由 $c$ 决定

可乘性里乘负数要变号，根源就在这个证明：$(a-b)$ 恒为正，乘上负的 $c$ 之后整个式子变负，所以 $ac-bc<0$，即 $ac<bc$。这条规则不是规定，是作差法算出来的必然结果。

二、绝对值不等式

绝对值 $|x|$ 表示 $x$ 到 $0$ 的距离。由此直接得到两个基本解法：

$|x|<a⟺-a<x<a$（$a>0$）

$|x|>a⟺x>a\text{ 或 }x<-a$（$a>0$）

前者是"距离小于 $a$，夹在中间"，后者是"距离大于 $a$，甩到两边"，把这句话直接翻译成不等式就是上面两条。

三角不等式：

$|a+b|\le |a|+|b|$

证明：由绝对值的定义，$-|a|\le a\le |a|$，$-|b|\le b\le |b|$，两式相加：

$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$

这正是 $|a+b|\le |a|+|b|$ 的定义形式。等号成立 $⟺a,b$ 同号（或至少一个为 $0$），此时中间的两个不等号同时取等。

由三角不等式还能推出一个常用变形：

$|a-b|\ge ||a|-|b||$

证明：把 $a$ 写成 $(a-b)+b$，代入三角不等式：$|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|$，移项得 $|a|-|b|\le |a-b|$。同理把 $b$ 写成 $(b-a)+a$，可得 $|b|-|a|\le |a-b|$。两式合在一起就是 $|a-b|\ge ||a|-|b||$。

"三角不等式"这个名字来自它的几何意义：把 $a$、$b$ 看成数轴上先后两段位移，$|a+b|$ 是"直接走到终点"的距离，$|a|+|b|$ 是"先走 $a$ 再走 $b$"的总路程——直接走永远不会比绕路更远。这正是三角形"两边之和大于第三边"的代数版本，以后遇到向量或函数的范数不等式 $\Vert a+b\Vert \le \Vert a\Vert +\Vert b\Vert$，是同一个道理的推广。

三、一元二次不等式

一元二次不等式 $a{x}^2+bx+c>0$（或 $<0$）的解集，直接由对应二次函数图像在 $x$ 轴上方（或下方）的部分决定；判别式 $\Delta$ 的符号决定图像与 $x$ 轴的交点个数——这套判别式与解集的完整对照表、图像解法，第 2 篇已经证明过，这里不重复。

真正要记住的是"三个二次"之间的转化关系：一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的根，就是二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的零点，也是一元二次不等式解集的分界点。三者说的是同一条抛物线，只是问的问题不同——方程问"在哪里等于零"，不等式问"在哪个范围大于或小于零"，函数问"整体长什么样"。遇到含参数的二次不等式，先把它看成一条抛物线，参数变化时抛物线怎么移动、开口怎么变，解集就跟着怎么变。

四、基本不等式

对任意 $a,b\ge 0$：

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

等号成立当且仅当 $a=b$。左边叫算术平均数，右边叫几何平均数。

代数证明：

$(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$

展开：

$a-2\sqrt{ab}+b\ge 0⟹a+b\ge 2\sqrt{ab}⟹\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

等号成立 $⟺(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2=0⟺\sqrt{a}=\sqrt{b}⟺a=b$。

几何证明：

以 $a+b$ 为直径作半圆，$C$ 是直径上一点，$AC=a$，$CB=b$。过 $C$ 作垂线交半圆于 $D$。$\angle ADB$ 是直径所对的圆周角，等于 $90°$（第 3 篇圆周角定理的推论），所以 $△ACD\sim △DCB$（两个直角三角形共享 $\angle ACD=\angle DCB=90°$，且 $\angle ADC=\angle DBC$，AA 判定），对应边成比例给出

$C{D}^2=AC\cdot CB=ab⟹CD=\sqrt{ab}$

半径 $OD=\frac{a+b}{2}$ 是定值，而 $CD$ 是直角三角形 $OCD$ 的一条直角边，$OD$ 是斜边（$OC\perp CD$）。斜边永远不小于直角边：$OD\ge CD$，即

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$

等号成立 $⟺OC=0⟺C$ 与 $O$ 重合 $⟺a=b$——这时 $D$ 恰好是半圆的最高点。

常见变形：取 $b=\frac{1}{a}$（$a>0$），代入得 $a+\frac{1}{a}\ge 2$，等号当 $a=1$ 成立。这是同一个定理的直接代入，不是新结论。

五、恒成立问题

“不等式 $f(x)\ge 0$ 对某个范围内所有 $x$ 都成立”（恒成立问题），是全称命题 $\forall x\in D,f(x)\ge 0$（第 5 篇）的具体化。判断它是否成立、或者求参数取值范围使它成立，标准做法是转化为最值问题：

$f(x)\ge 0$ 对 $x\in D$ 恒成立 $⟺f(x)$ 在 $D$ 上的最小值 $\ge 0$

$f(x)\le 0$ 对 $x\in D$ 恒成立 $⟺f(x)$ 在 $D$ 上的最大值 $\le 0$

道理很直接：只要最不利的那个点（最小值点）都不小于零，其余所有点自然都不小于零；反过来，只要最小值本身小于零，就已经找到了一个不满足条件的反例（存在命题的否定形式，第 5 篇量词否定的直接应用）。含参数的恒成立问题，通常是先把参数分离出来，问题就变成"参数 $\ge$ 某个函数的最大值"或"参数 $\le$ 某个函数的最小值"，转而去求那个函数的最值。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的。

• P12 不等式的性质（24:10）— 必看
• P13 基本不等式（37:40）— 必看

合集里还有一集 P14 基本不等式进阶篇（52:19），标题写"进阶"“稍难”，是拔高技巧，跳过。

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