内容	必须掌握的	后面在哪用到
三角形基本性质	内角和与外角定理、三边关系、三线合一、中位线	三边关系就是三角不等式的几何原型
全等与相似	判定条件；面积比是相似比的平方	针孔相机模型、单目测距、图像金字塔
角平分线定理	$AB:AC=BD:DC$	按边长比例分割线段
垂直与斜率	$l_1\perp l_2⟺k_1{k}_2=-1$	法线与切线垂直、梯度与等高线垂直、三维点积为零的二维特例
勾股定理	定理与逆定理；勾股数	欧氏距离、向量的模、二范数的几何来源
圆与角	圆周角定理及推论、垂径定理、切线、四心	隐圆判定、RANSAC 圆拟合、质心与重心坐标
位置关系	点/直线/圆与圆的位置判定	包围圆碰撞检测、符号距离场 SDF、射线求交
弧长与扇形	$l=\theta r$、$S=\frac{1}{2}\theta r^2$	弧度制的由来、角速度与线速度的换算
三角形面积	底乘高、两边夹角、坐标形式	坐标形式就是二维叉乘

一、三角形的基本性质

内角和：$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ }$。

外角定理：三角形的一个外角，等于与它不相邻的两个内角之和。图左中 $\angle ACD=\angle A+\angle B$。

由内角和立刻可得：$\angle ACD=180^{\circ }-\angle ACB=\angle A+\angle B$。这条在上一章圆周角定理的证明里是关键一步。

三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边：

$|b-c|<a<b+c$

这就是三角不等式的几何原型。第 1 篇里的 $|a+b|\le |a|+|b|$ 是它的代数版本，后面向量的 $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert \le \Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$ 是它的高维版本。三者说的是同一件事：折线走不过直线。

等腰三角形：两腰相等则两底角相等（等边对等角），反过来也成立。核心是三线合一——顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，三条线重合（图中）。垂径定理的证明用的就是这一条。

中位线定理：连接三角形两边中点的线段，平行于第三边且等于第三边的一半（图右）。

$DE\parallel BC$ 且 $DE=\frac{1}{2}BC$

证明用相似：$AD:AB=AE:AC=1:2$ 且夹角 $\angle A$ 公共，由 SAS 得 $△ADE\sim △ABC$，相似比 $1:2$，于是对应边成比例、对应角相等（同位角相等推出平行）。

二、全等与相似

全等是形状和大小都相同，相似只要求形状相同、大小可以不同。相似是这一节的重点，因为相机成像就是一个相似变换。

判定条件

全等三角形：

• SSS：三边对应相等
• SAS：两边及其夹角对应相等
• ASA / AAS：两角及一边对应相等
• HL：直角三角形，斜边和一条直角边对应相等

相似三角形：

• AA：两角对应相等（最常用，因为角度信息最容易获得）
• SAS：两边对应成比例且夹角相等
• SSS：三边对应成比例

性质

设相似比为 $k$（对应边之比）：

• 对应边之比都等于 $k$，对应角相等
• 周长之比等于 $k$
• 面积之比等于 $k^2$
• 对应中线、对应高、对应角平分线之比都等于 $k$

面积比是相似比的平方这一条要特别记牢：物体距离相机变远一倍，成像面积变成四分之一，图像上目标像素数随距离平方衰减，就是这条。

平行线分线段成比例

三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。用在三角形上就是基本比例定理：

平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的对应线段成比例。即 $DE\parallel BC$ 时

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

它是相似三角形的来源——$DE\parallel BC$ 时 $△ADE\sim △ABC$。反过来也成立，比例相等可以反推平行。

角平分线定理

三角形一个内角的平分线，把对边分成的两条线段之比，等于这个角的两边之比：

$AD$ 平分 $\angle A$，$D$ 在 $BC$ 上，则 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$

推导（只用上面两条工具，不需要三角函数）：

过点 $C$ 作 $CE\parallel AD$，与 $BA$ 的延长线交于点 $E$（图右）。

第一步，证明 $△ACE$ 是等腰三角形。

• $AD\parallel CE$，$BE$ 是截线，同位角相等：$\angle BAD=\angle AEC$
• $AD\parallel CE$，$AC$ 是截线，内错角相等：$\angle DAC=\angle ACE$
• 已知 $AD$ 平分 $\angle A$，即 $\angle BAD=\angle DAC$

三式连起来得 $\angle AEC=\angle ACE$，所以 $△ACE$ 等腰，$AE=AC$。

第二步，在 $△BEC$ 中用基本比例定理。$AD\parallel EC$，$AD$ 截 $BE$、$BC$ 两边，于是

$\frac{BD}{DC}=\frac{BA}{AE}$

第三步，把 $AE=AC$ 代进去：

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

另一种推法（用第四节的面积公式，两行）：$△ABD$ 与 $△ACD$ 共用从 $A$ 出发的高，面积比等于底之比 $BD:DC$；同时按 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，两者面积比又等于 $AB\cdot AD\sin \angle BAD$ 与 $AC\cdot AD\sin \angle DAC$ 之比，因两角相等，化简即得 $AB:AC$。两式相等即证。

外角平分线同样成立，只是 $D$ 落在 $BC$ 的延长线上，结论写成 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ 不变。

垂直与斜率之积

两条不垂直于坐标轴的直线 $l_1$、$l_2$ 互相垂直，当且仅当它们的斜率满足

$k_1{k}_2=-1$

证明（只用相似，不用三角函数）：设两线交于 $P$，取 $l_1$ 上一点 $A$、$l_2$ 上一点 $B$（在 $P$ 两侧，如图），分别向过 $P$ 的水平参照线作垂线，垂足是 $C$、$D$。

第一步，两个直角三角形的一个锐角相等。$\angle APC$ 与 $\angle BPD$ 互余于 $\angle APB=90^{\circ }$（$P$、$C$、$D$ 共线于水平参照线，$\angle APC+\angle APB+\angle BPD=180^{\circ }$，代入 $\angle APB=90^{\circ }$ 得 $\angle APC+\angle BPD=90^{\circ }$）；又在直角三角形 $BDP$ 中 $\angle DBP+\angle BPD=90^{\circ }$。两式消去 $\angle BPD$，得

$\angle CPA=\angle DBP(=\theta )$

第二步，AA 判定相似。$△PCA$ 与 $△BDP$ 中，$\angle PCA=\angle BDP=90^{\circ }$，且 $\angle CPA=\angle DBP$，所以

$△PCA\sim △BDP$

对应边成比例：$\frac{CA}{DP}=\frac{PC}{BD}$，交叉相乘得

$PC\cdot PD=CA\cdot DB$

第三步，代入斜率。设 $C$、$D$ 在参照线上分别位于 $P$ 的右侧、左侧（如图），则

$k_1=\frac{CA}{PC}$，$k_2=-\frac{DB}{PD}$

负号是因为 $B$ 相对 $P$ 在 $x$ 减小的方向，斜率必须为负（$\theta$ 是锐角，$k_2$ 的大小是 $DB/PD$，符号由方向决定）。两式相乘：

$k_1{k}_2=\frac{CA}{PC}\cdot \left(-\frac{DB}{PD}\right)=-\frac{CA\cdot DB}{PC\cdot PD}$

代入第二步的 $PC\cdot PD=CA\cdot DB$，分子分母相等：

$k_1{k}_2=-1$

反之若 $k_1{k}_2=-1$，把上述步骤逆推回去可知 $\angle CPA=\angle DBP$，从而 $\angle APB=90^{\circ }$，两线垂直。充要性成立。

在具身智能里的用途：法线方向与切线方向垂直（$k_{\text{法}}=-1/k_{\text{切}}$），用在光线反射、梯度下降的方向与等高线垂直、SDF 梯度与表面垂直等场景。三维情形对应向量点积为零 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$，这条二维斜率公式是它的坐标特例。

图示：针孔相机成像

物体高 $X$，距光心 $Z$；成像平面距光心 $f$，像高 $x$，倒立。

光线从物体顶端穿过光心射到成像平面，在光心两侧形成一对对顶的相似三角形（一组对顶角相等，两组直角相等，由 AA 判定相似）。于是

$\frac{x}{f}=\frac{X}{Z}$

这就是针孔相机模型的全部内容。变形得 $x=f\frac{X}{Z}$：像高与物高成正比，与距离成反比。单目相机只能测出 $\frac{X}{Z}$ 这个比值，无法单独定出 $X$ 或 $Z$——这就是单目尺度不确定性的几何来源。

三、勾股定理

直角三角形中，两直角边 $a$、$b$ 与斜边 $c$ 满足

$a^2+b^2=c^2$

逆定理同样重要：若三边满足 $a^2+b^2=c^2$，则该三角形必是直角三角形。逆定理是判定垂直的手段，不需要量角度。

图示：面积证明

边长 $a+b$ 的大正方形，四个角上各放一个直角边为 $a$、$b$ 的直角三角形，中间围出的是边长为 $c$ 的正方形。按面积相等：

$(a+b{)}^2=4\times \frac{1}{2}ab+c^2$

左边展开 $a^2+2ab+b^2$，两边同时减去 $2ab$，得 $a^2+b^2=c^2$。

中间那块是正方形而不是一般四边形，理由是：四条边都等于 $c$，且每个顶点处两个锐角之和为 $90^{\circ }$，所以内角都是直角。

常见勾股数

整数解 $(a,b,c)$ 满足 $a^2+b^2=c^2$ 的叫勾股数，记住这几组能加快心算：

• $(3,4,5)$ 及其倍数 $(6,8,10)$、$(9,12,15)$
• $(5,12,13)$
• $(8,15,17)$
• $(7,24,25)$

推广到坐标与高维

平面上两点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ 的距离

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

就是把坐标差当直角边用一次勾股定理。三维再套一次：

$d=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}$

推到 $n$ 维就是向量的二范数 $\Vert \mathbf{v}{\Vert }_2=\sqrt{\sum v_i^2}$。勾股定理是欧氏距离的唯一来源，后面所有"距离"的定义都以它为原型。

四、圆与角

圆是平面上到定点（圆心）距离等于定值（半径）的点的集合，写成方程就是 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$。

先约定名称：

• 圆心角：顶点在圆心的角，如 $\angle BOC$
• 圆周角：顶点在圆上、两边都与圆相交的角，如 $\angle BAC$
• 弧：圆上两点间的一段，$\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$。一条弦把圆分成劣弧和优弧两段
• 同弧：指同一条弧。"同弧所对的角"意思是这个角的两边分别经过这条弧的两个端点，而角的顶点不在这条弧上

弧、弦、圆心角三者一一对应：在同一个圆里，两条弧相等 ⟺ 所对的弦相等 ⟺ 所对的圆心角相等。所以后面说"弧相等"和说"圆心角相等"是一回事。

圆周角定理

同一条弧所对的圆周角，等于它所对的圆心角的一半。

$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$

证明要按圆心 $O$ 相对于 $\angle BAC$ 的位置分三种情况，图上三栏依次对应。核心工具只有两个：半径相等构成等腰三角形，以及三角形的外角等于不相邻两内角之和。

情况一，圆心在角的一边上（图左，$AB$ 恰好是直径）。

连 $OC$。因为 $OA=OC$（同圆半径），$△OAC$ 是等腰三角形，所以

$\angle OAC=\angle OCA$

$\angle BOC$ 是 $△OAC$ 在顶点 $O$ 处的外角，等于不相邻两内角之和：

$\angle BOC=\angle OAC+\angle OCA=2\angle OAC=2\angle BAC$

情况二，圆心在角的内部（图中）。

作直径 $AD$，把 $\angle BAC$ 拆成 $\angle BAD$ 与 $\angle DAC$。这两个角各自都落回情况一，于是

$\angle BOD=2\angle BAD$，$\angle DOC=2\angle DAC$

两式相加：$\angle BOC=\angle BOD+\angle DOC=2(\angle BAD+\angle DAC)=2\angle BAC$

情况三，圆心在角的外部（图右）。

同样作直径 $AD$，此时 $\angle BAC$ 是两个角的差而不是和：

$\angle DOC=2\angle DAC$，$\angle DOB=2\angle DAB$

两式相减：$\angle BOC=\angle DOC-\angle DOB=2(\angle DAC-\angle DAB)=2\angle BAC$

三种情况都成立，定理得证。作直径把一般情形归约到情况一，是这个证明的全部技巧。

三个推论

推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等。

因为它们都等于同一个圆心角的一半。图左中 $P$、$Q$ 是优弧上任意两点，$\angle BPC=\angle BQC$，与点在优弧上怎么滑动无关。

这条的逆命题给出四点共圆的判定：若 $P$、$Q$ 在直线 $BC$ 同侧且 $\angle BPC=\angle BQC$，则 $B$、$C$、$P$、$Q$ 四点共圆。

推论二：半圆（直径）所对的圆周角是直角。

直径对应的圆心角是平角 $180^{\circ }$，一半即 $90^{\circ }$。

逆命题同样成立且更常用：若 $\angle BAC=90^{\circ }$，则 $A$ 落在以 $BC$ 为直径的圆上。于是"直角"这个条件可以直接翻译成"点在某个圆上"，这就是解题中所谓的隐圆。

推论三：圆内接四边形对角互补。

$\angle A+\angle C=180^{\circ }$，$\angle B+\angle D=180^{\circ }$。

证明：$\angle A$ 与 $\angle C$ 分别对着 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BCD}}$ 和 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BAD}}$ 这两条弧，它们合起来是整个圆周 $360^{\circ }$。由圆周角定理，两角之和等于这两条弧对应圆心角之和的一半，即 $\frac{360^{\circ }}{2}=180^{\circ }$。

逆命题也成立，是四点共圆的另一个判定。

垂径定理

垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

证明：连 $OA$、$OB$。$OA=OB$（半径），故 $△OAB$ 等腰。等腰三角形三线合一——顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。已知 $OD\perp AB$ 于 $M$，即 $OM$ 是底边上的高，所以它同时是中线，$AM=MB$；也是顶角平分线，$\angle AOD=\angle BOD$，所以两条弧也相等。

逆定理：平分弦（这条弦不是直径）的直径，必定垂直于这条弦。

由垂径定理直接得弦长公式：圆心到弦的距离为 $d$，半径为 $r$，则

弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$

推导就是在 $△OMA$ 里用一次勾股定理。

切线

切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径。

证明（反证法）：设切线 $l$ 与圆切于 $P$，若 $OP$ 不垂直于 $l$，作 $OH\perp l$ 于 $H$，则 $OH<OP=r$。这说明圆心到直线的距离小于半径，直线必与圆有两个交点，与"切线只有一个公共点"矛盾。故 $OP\perp l$。

切线判定：过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线长定理：从圆外一点 $Q$ 引圆的两条切线，两条切线长相等，即 $Q{P}_1=Q{P}_2$；且 $OQ$ 平分 $\angle P_{1}Q{P}_2$。

证明：$O{P}_1=O{P}_2=r$，$\angle O{P}_{1}Q=\angle O{P}_{2}Q=90^{\circ }$，$OQ$ 公共，由 HL 判定 $△O{P}_{1}Q\cong △O{P}_{2}Q$，于是对应边 $Q{P}_1=Q{P}_2$、对应角 $\angle P_{1}QO=\angle P_{2}QO$。

外接圆与内切圆

这两个概念最容易混，先记住区别：外接圆过三个顶点，内切圆与三条边相切。

外接圆：过三角形三个顶点的圆。圆心叫外心，是三边垂直平分线的交点。

证明：垂直平分线的本质是"到线段两端距离相等的点的集合"。设 $BC$ 与 $AB$ 的垂直平分线交于 $O$，则

• $O$ 在 $BC$ 的垂直平分线上 $\Rightarrow OB=OC$
• $O$ 在 $AB$ 的垂直平分线上 $\Rightarrow OA=OB$

于是 $OA=OB=OC$。由 $OA=OC$ 反推，$O$ 也必在 $AC$ 的垂直平分线上，三线共点。以 $O$ 为圆心、$OA$ 为半径的圆同时过三个顶点。

外心的位置随三角形形状变化：锐角三角形在内部，直角三角形恰在斜边中点（因为斜边所对的圆周角是直角，斜边就是直径），钝角三角形在外部。

外接圆半径 $R=\frac{abc}{4S}$，其中 $S$ 是三角形面积。

内切圆：与三角形三条边都相切的圆。圆心叫内心，是三条角平分线的交点。

证明：角平分线的本质是"到角两边距离相等的点的集合"。设 $\angle A$ 与 $\angle B$ 的平分线交于 $I$，则

• $I$ 在 $\angle A$ 的平分线上 $\Rightarrow$ $I$ 到 $AB$ 与 $AC$ 的距离相等
• $I$ 在 $\angle B$ 的平分线上 $\Rightarrow$ $I$ 到 $AB$ 与 $BC$ 的距离相等

于是 $I$ 到三条边的距离全部相等。由"到 $AC$、$BC$ 距离相等"反推，$I$ 也在 $\angle C$ 的平分线上，三线共点。以 $I$ 为圆心、这个公共距离为半径的圆与三边都相切（半径垂直于边，正是切线判定）。

内心永远在三角形内部，这一点和外心不同。

内切圆半径由面积得出：把三角形按内心切成三块，每块以一条边为底、以 $r$ 为高，于是 $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)=rp$，其中 $p$ 是半周长。所以

$r=\frac{S}{p}$

两个圆心的对照：

	外接圆	内切圆
与三角形的关系	过三个顶点	与三条边相切
圆心叫法	外心	内心
圆心是什么的交点	三边垂直平分线	三条角平分线
圆心的本质性质	到三个顶点距离相等	到三条边距离相等
位置	可能在三角形外	一定在三角形内
半径	$R=\frac{abc}{4S}$	$r=\frac{S}{p}$

三角形的四心

上面讲了外心和内心，把四个心放在一起对照，其中重心在具身智能里用得最多。

重心 $G$：三条中线的交点。两条关键性质：

• 重心把每条中线分成 $2:1$ 两段，靠近顶点的那段是靠近对边的两倍
• 坐标就是三个顶点的算术平均：$G=\frac{A+B+C}{3}$

第二条把重心和"质心"直接连起来：均匀薄片三角形的质心就是重心；推广到 $n$ 个点，质心就是 $\frac{1}{n}\sum P_i$，这正是点云求中心的做法。

证明（两条性质一起证）：

设 $M$ 是 $BC$ 中点，$N$ 是 $AB$ 中点，中线 $AM$ 与 $CN$ 交于 $G$。

第一步，连接 $MN$。由中位线定理，$MN$ 是 $△ABC$ 中连接 $BC$、$AB$ 两边中点的线段，所以

$MN\parallel AC$ 且 $MN=\frac{1}{2}AC$

第二步，用 AA 判定相似。$MN\parallel AC$ 被直线 $AM$、$CN$ 所截，产生两组内错角：

• $\angle NMG=\angle GAC$（$AM$ 截 $MN$、$AC$）
• $\angle MNG=\angle GCA$（$CN$ 截 $MN$、$AC$）

于是 $△GMN\sim △GCA$，相似比等于 $MN:CA=1:2$。

第三步，读出比例。相似比给出 $GM:GA=GN:GC=1:2$，即

$AG:GM=2:1$，$CG:GN=2:1$

第四步，证明三线共点。设第三条中线（由 $B$ 到 $AC$ 中点 $K$）与 $AM$ 交于 $G^{\prime }$，对 $(AM,BK)$ 这一对中线重复上面的论证，同样得到 $A{G}^{\prime }:G^{\prime }M=2:1$。而在线段 $AM$ 上，满足 $AG:GM=2:1$ 的点唯一，所以 $G^{\prime }=G$。三条中线交于同一点。

第五步，坐标公式。由 $AG:GM=2:1$，$G$ 把 $AM$ 分成 $2:1$，代入定比分点：

$G=A+\frac{2}{3}(M-A)=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}\cdot \frac{B+C}{2}=\frac{A+B+C}{3}$

推广到 $n$ 个点，质心就是 $\frac{1}{n}\sum P_i$，这正是点云求中心的做法。

再推广一步得到重心坐标：三角形内任一点都能唯一写成

$P=\alpha A+\beta B+\gamma C$，其中 $\alpha +\beta +\gamma =1$，$\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$

重心对应 $\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$。这套坐标是三角网格插值、点在三角形内判定、光栅化的标准工具，$\alpha ,\beta ,\gamma$ 的几何意义就是三个小三角形的面积占比。

垂心 $H$：三条高的交点。锐角三角形在内部，直角三角形恰在直角顶点，钝角三角形在外部。

欧拉线：外心 $O$、重心 $G$、垂心 $H$ 三点永远共线，且 $OG:GH=1:2$。

图中绿色虚线是三条高，垂足处的直角标记表示它们确实垂直于对边；紫色线是欧拉线，$O$、$G$、$H$ 依次排开。下面把证明拆成能一步步核对的小步骤。

准备工作：位置向量是什么。取外心 $O$ 作坐标原点，每个点就用"从 $O$ 出发指向它的向量"来表示——这其实就是把 $O$ 当成 $(0,0)$，$A$、$B$、$C$ 的坐标就是它们的位置向量，记作 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$。因为 $O$ 是外心，$A$、$B$、$C$ 都在外接圆上，所以

$|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=R$

这只是把"$OA=OB=OC=R$"翻译成了向量的语言。

要用到的一个事实：点积为零 $⟺$ 垂直。两个非零向量 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 的点积定义为 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$（$\theta$ 是夹角）。当 $\theta =90^{\circ }$ 时 $\cos \theta =0$，点积为零；反过来点积为零也只能是 $\cos \theta =0$。所以后面只要算出某两个向量的点积等于 $0$，就等于证明了它们垂直——这是整个证明唯一要用的工具。

第一步：猜一个点，验证它是垂心。直接定义

$H=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$

这只是三个坐标相加，此刻还不知道它是谁，先验证它满足"垂心"的定义——从每个顶点出发的高都经过它。只需验证 $AH\perp BC$（其余两条同理，换个字母重复一遍就行）。

先说清楚"两点间的向量"怎么用位置向量表示：对任意两点 $P$、$Q$，从 $P$ 指向 $Q$ 的向量 $\overrightarrow{PQ}$ 等于 $Q$ 的位置向量减去 $P$ 的位置向量，即 $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{q}-\mathbf{p}$。这是向量加法的三角形法则的直接推论：从 $O$ 走到 $P$ 再走到 $Q$，等于直接从 $O$ 走到 $Q$，即 $\mathbf{p}+\overrightarrow{PQ}=\mathbf{q}$，移项就得到 $\overrightarrow{PQ}=\mathbf{q}-\mathbf{p}$。

代入 $A$、$H$、$B$、$C$ 各自的位置向量：

$\overrightarrow{AH}=H-\mathbf{a}=(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})-\mathbf{a}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$，$\overrightarrow{BC}=\mathbf{c}-\mathbf{b}$

把这两个向量点乘，逐项展开（点积对加减法可以像乘法分配律一样展开）：

$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=(\mathbf{b}+\mathbf{c})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{b})=\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}-\mathbf{c}\cdot \mathbf{b}$

$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$ 与 $\mathbf{c}\cdot \mathbf{b}$ 是同一个数（点积可交换），正负抵消；$\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{b}{|}^2$，$\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}=|\mathbf{c}{|}^2$，所以

$\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=|\mathbf{c}{|}^2-|\mathbf{b}{|}^2$

由准备工作，$|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=R$，所以这个值等于 $R^2-R^2=0$。

点积为零，所以 $AH\perp BC$——也就是说，过 $A$ 且垂直于 $BC$ 的那条高，正好经过 $H$。把 $A$ 换成 $B$、$C$ 重复同样的计算（只是字母轮换），可得 $BH\perp AC$、$CH\perp AB$。三条高都过 $H$，所以 $H$ 就是垂心。

第二步：比较 $G$ 和 $H$，得到共线和比例。前面已经证明重心 $G=\frac{\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}}{3}$，而这里 $H=\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$，两式对比，$G$ 恰好是 $H$ 的 $\frac{1}{3}$：

$G=\frac{1}{3}H$，也就是 $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$

$\overrightarrow{OG}$ 和 $\overrightarrow{OH}$ 方向相同（一个是另一个乘以正数 $\frac{1}{3}$），这意味着 $G$ 就落在射线 $OH$ 上——也就是说 $O$、$G$、$H$ 三点共线。再比较长度：

$OG=\frac{1}{3}OH$，所以 $GH=OH-OG=\frac{2}{3}OH$，故 $OG:GH=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}=1:2$

这条证明顺带给出一个副产品：垂心的位置向量就是三个顶点位置向量之和（以外心为原点时）——这是一条比"三条高的交点"直观得多的垂心刻画方式。

心	是什么的交点	到什么等距	是否总在内部
外心 $O$	三边垂直平分线	三个顶点	否
内心 $I$	三条角平分线	三条边	是
重心 $G$	三条中线	—（是顶点的平均）	是
垂心 $H$	三条高	—	否

位置关系

判断两个几何体的相对位置，只需要比较距离和半径。这是碰撞检测最基础的一层。

点与圆：设点到圆心的距离为 $d$。

• $d<r$：点在圆内
• $d=r$：点在圆上
• $d>r$：点在圆外

写成一个量就是 $d-r$：负数在内、零在边界、正数在外。这正是圆的符号距离函数（SDF），学习路径第 88 行的 SDF 就是把它推广到任意形状。

直线与圆：设圆心到直线的距离为 $d$。

• $d>r$：相离，无交点
• $d=r$：相切，一个交点
• $d<r$：相交，两个交点，弦长 $2\sqrt{r^2-d^2}$

判别时用点到直线距离公式算 $d$，不必联立方程。射线与球求交（光线追踪、激光测距仿真）就是这条的三维版。

圆与圆：设圆心距为 $d$，半径 $r_1>r_2$。

关系	条件	公切线条数
外离	$d>r_1+r_2$	4
外切	$d=r_1+r_2$	3
相交	$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$	2
内切	$d=|r_1-r_2|$	1
内含	$d<|r_1-r_2|$	0

第一行的否定就是最常用的碰撞判据：两个圆盘相碰 $⟺d\le r_1+r_2$。给每个物体套一个包围圆（三维是包围球），先用这一个不等式做粗筛，通过了再做精确检测——这是所有碰撞检测系统的第一层。

弧长与扇形面积

设圆心角为 $n$ 度，半径 $r$：

• 弧长 $l=\frac{n\pi r}{180}$
• 扇形面积 $S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr$

角度制下这两个公式都带着 $\frac{\pi }{180}$ 这个累赘。改用弧度制——把圆心角 $\theta$ 定义为"所对弧长与半径之比"$\theta =\frac{l}{r}$——公式立刻变成

$l=\theta r$，$S=\frac{1}{2}\theta r^2$

这就是弧度制存在的理由：它让弧长公式退化成一个乘法。第 9 行三角函数、以及后面所有涉及角速度的地方（$v=\omega r$ 就是 $l=\theta r$ 对时间求导）都默认用弧度。

圆幂定理

从一点 $P$ 引直线与圆交于两点，两段线段长之积是定值，与直线怎么转无关。这个定值叫点 $P$ 对圆的幂，等于 $d^2-r^2$（$d$ 是 $P$ 到圆心的距离）。

情形一，相交弦定理（$P$ 在圆内）：弦 $AB$、$CD$ 交于圆内一点 $P$，则

$PA\cdot PB=PC\cdot PD=r^2-d^2$

证明：连 $AC$、$DB$。$\angle PAC$ 与 $\angle PDB$ 是同弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 所对的圆周角（分别是 $\angle CAB$、$\angle CDB$ 的一部分/延伸），由圆周角定理相等；$\angle APC$ 与 $\angle DPB$ 是对顶角，也相等。于是

$△APC\sim △DPB$（AA）

对应边成比例：$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$，交叉相乘得 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$。

情形二，割线定理（$P$ 在圆外）：两条割线分别交圆于 $A,B$ 和 $C,D$（$A$、$C$ 是近点），则

$PA\cdot PB=PC\cdot PD=d^2-r^2$

证明：连 $AC$、$DB$。$\angle PAC$ 与 $\angle PDB$ 分别是 $\angle A$ 处、$\angle D$ 处的角，$A$、$B$、$C$、$D$ 四点共圆，$\angle PAC$ 与 $\angle BDC$（即 $\angle PDB$）同样是同弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$ 所对的圆周角，相等；$\angle P$ 是 $△PAC$ 与 $△PDB$ 的公共角。于是同样由 AA 得

$△PAC\sim △PDB$

$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\Rightarrow PA\cdot PB=PC\cdot PD$

这两种情形用的是同一个相似三角形结构，只是 $P$ 在圆内还是圆外决定了 $\angle APC$ 与 $\angle DPB$ 是对顶角还是公共角。

情形三，切割线定理（$P$ 在圆外，一条线是切线）：切线切于 $T$，割线交圆于 $A$、$B$（$A$ 是近点），则

$P{T}^2=PA\cdot PB=d^2-r^2$

证明要先补一条引理——切线弦角定理：切线与弦的夹角，等于这条弦在弦的另一侧所对的圆周角。即图中 $\angle PTA=\angle TBA$。

引理的证明：连 $OT$、$OA$。切线垂直半径，$\angle OTP=90^{\circ }$，所以

$\angle PTA=\angle OTP-\angle OTA=90^{\circ }-\angle OTA$

$△OTA$ 中 $OT=OA=r$，是等腰三角形，$\angle OTA=\angle OAT=\frac{180^{\circ }-\angle TOA}{2}=90^{\circ }-\frac{\angle TOA}{2}$，代入：

$\angle PTA=90^{\circ }-\left(90^{\circ }-\frac{\angle TOA}{2}\right)=\frac{\angle TOA}{2}$

而 $\angle TOA$ 正是 $\stackrel{⌢}{\mathrm{TA}}$ 的圆心角，由圆周角定理，$\frac{\angle TOA}{2}=\angle TBA$（$B$ 在优弧上）。两式相等，$\angle PTA=\angle TBA$，引理得证。

回到切割线定理：$△PTA$ 与 $△PBT$ 中，$\angle P$ 是公共角，$\angle PTA=\angle PBT$（引理），由 AA 得

$△PTA\sim △PBT$

$\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}\Rightarrow P{T}^2=PA\cdot PB$

三种情形本质上是同一条定理：只要过 $P$ 的两条直线与圆各交出两点，两条直线上各自的两段之积就相等；切线是割线两个交点重合的极限情形，所以 $PA\cdot PB$ 退化成 $PT\cdot PT=P{T}^2$。

注意 $d^2-r^2$ 与上面点与圆位置关系里的 $d-r$ 是同一件事的两种写法，符号相同：圆外为正、圆上为零、圆内为负。工程上更常用 $d^2-r^2$，因为它避免了开方。

三点定圆

不共线的三点确定唯一一个圆——这正是上面外接圆存在唯一性的另一种说法。

这是激光点云里拟合圆柱、拟合弯道的基础：随机取三点算出一个圆，统计有多少点落在容差范围内，重复若干次取最好的，就是 RANSAC 拟合圆。所需的最少采样点数 $3$，正是由"三点定圆"决定的。

"三点不共线"这个条件在工程上对应一个实际问题：若采样到的三点接近共线，解出的圆心会跑到极远处、半径趋于无穷，数值上极不稳定。实现时通常要先剔除近似共线的采样。

五、三角形的面积

三个公式，按已知条件选用：

• 已知底和高：$S=\frac{1}{2}ah$

• 已知两边及夹角：$S=\frac{1}{2}ab\sin C$

• 已知三个顶点坐标 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$、$(x_3,y_3)$：

  $S=\frac{1}{2}\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|$

证明（坐标公式）：设 $\mathbf{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$、$\mathbf{v}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$，即 $A$ 出发的两条边 $AB$、$AC$。

平移不改变面积，把 $A$ 移到原点，问题变成：向量 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 张成的三角形面积是多少。

已知公式 $S=\frac{1}{2}|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin \theta$（本节第二个公式，$\theta$ 是 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 的夹角）。要证它等于 $\frac{1}{2}|u_1{v}_2-u_2{v}_1|$，只需证

$|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin \theta =|u_1{v}_2-u_2{v}_1|$

这是一个纯代数恒等式（拉格朗日恒等式），直接展开验证：

$(u_1{v}_2-u_2{v}_1{)}^2+(u_1{v}_1+u_2{v}_2{)}^2=u_1^2{v}_2^2-2u_1{u}_2{v}_1{v}_2+u_2^2{v}_1^2+u_1^2{v}_1^2+2u_1{u}_2{v}_1{v}_2+u_2^2{v}_2^2$

右边中间两项抵消，合并得 $(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=|\mathbf{u}{|}^2|\mathbf{v}{|}^2$。所以

$(u_1{v}_2-u_2{v}_1{)}^2=|\mathbf{u}{|}^2|\mathbf{v}{|}^2-(u_1{v}_1+u_2{v}_2{)}^2=|\mathbf{u}{|}^2|\mathbf{v}{|}^2-(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}{)}^2$

代入 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$：

$(u_1{v}_2-u_2{v}_1{)}^2=|\mathbf{u}{|}^2|\mathbf{v}{|}^2(1-{\cos }^2\theta )=|\mathbf{u}{|}^2|\mathbf{v}{|}^2{\sin }^2\theta$

两边开方即证。代回 $S=\frac{1}{2}|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\sin \theta$，得

$S=\frac{1}{2}|u_1{v}_2-u_2{v}_1|=\frac{1}{2}\left|(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)\right|$

几何上看，$|u_1{v}_2-u_2{v}_1|$ 是 $\mathbf{u}$、$\mathbf{v}$ 张成的平行四边形的面积（图中黄色三角形与蓝色三角形拼成的平行四边形），三角形恰好是它的一半——这也是"叉乘的模等于两向量张成平行四边形面积"这条性质在二维的由来。

绝对值内部那一坨 $u_1{v}_2-u_2{v}_1$，就是向量 $\mathbf{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ 与 $\mathbf{v}=(x_3-x_1,y_3-y_1)$ 的二维叉乘。它有三个用处：

• 取绝对值再除以 $2$，得到面积
• 只看符号，就能判断第三点在前两点连线的哪一侧（正为左侧，负为右侧，零为共线）
• 符号为零即三点共线，这是判定共线最省事的办法（不用除法，没有斜率不存在的特例）

判断点在直线哪一侧，在碰撞检测、凸包构造、多边形内外判定里反复出现。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的。

• 全等与相似
  • P17 三角形的全等与相似（20:38）— 全集必看，判定条件讲得完整
• 圆的性质
  • P21 圆的知识梳理（含四点共圆、圆幂定理）（20:10）— 全集必看，圆的性质一次过完
  • P22 与圆有关的角（24:04）— 只看圆周角定理及其推论那一段
  • P23 垂径定理的使用策略（19:24）— 只看开头讲定理本身的部分，"使用策略"是应试

实际要看的约 55 分钟。勾股定理、三点定圆、三角形面积的坐标公式这几块合集里没有对应内容——勾股定理初中默认已会，后两个超出中考范围，以正文为准。

集数、标题、时长取自 B 站页面，未逐集观看。