内容	必须掌握的	后面在哪用到
一元二次方程	求根公式（由配方推出）；判别式的三种情况	阻尼振子的过阻尼/临界/欠阻尼判别、特征方程求特征值、二次型正定性判据
韦达定理	两根之和 $-\frac{b}{a}$、两根之积 $\frac{c}{a}$	矩阵的迹等于特征值之和、行列式等于特征值之积
二次函数	三种形式互化；开口、对称轴、顶点	二次代价函数、LQR 的代价、高斯分布的指数部分
最值	顶点处取最值；闭区间上的最值分类	最小二乘、二次规划、带约束优化的一维原型
二次不等式	解集与判别式的关系；图像法	可行域、凸约束、Lyapunov 稳定性条件

一、一元二次方程

一般式 $a{x}^2+bx+c=0$（$a\ne 0$）。

求根公式

对一般式配方（第 1 篇的方法）：

$a{x}^2+bx+c=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}=0$

移项、两边除以 $a$：

${\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

开方，注意 $\sqrt{4a^2}=|2a|$，正负号已被 $\pm$ 吸收：

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

求根公式不是背下来的，是配方的结果。 根号里那一坨就是判别式。

判别式

$\Delta =b^2-4ac$

• $\Delta >0$：两个不等实根
• $\Delta =0$：两个相等实根（重根），$x=-\frac{b}{2a}$
• $\Delta <0$：无实根，有两个共轭复根 $\frac{-b\pm \mathrm{i}\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$

判别式的符号等价于抛物线与 $x$ 轴交点的个数：两个、一个（相切）、零个。

复根那一条不要跳过：二阶系统的特征方程判别式为负时，两个共轭复根的虚部就是振荡频率、实部就是衰减率。

二、韦达定理

设 $x_1$、$x_2$ 是 $a{x}^2+bx+c=0$ 的两根，则

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
• $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

由求根公式直接相加、相乘即可验证：两根相加时根号项抵消，相乘时用平方差得到 $\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}$。

逆用：已知两数之和为 $s$、之积为 $p$，它们就是 $x^2-sx+p=0$ 的两根。这个方向比正用更常用。

推广到 $n$ 次：$n$ 次多项式所有根之和等于 $-\frac{a_{n-1}}{a_n}$，所有根之积等于 $(-1{)}^n\frac{a_0}{a_n}$。

二阶矩阵 $A$ 的特征多项式是 ${\lambda }^2-\mathrm{tr}(A)\lambda +\det (A)=0$，对它用韦达定理立刻得到：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式。

三、二次函数

$y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$），图像是抛物线。三种形式，按需要互化：

• 一般式 $y=a{x}^2+bx+c$——直接读出与 $y$ 轴的交点 $(0,c)$
• 顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$——直接读出顶点 $(h,k)$，由一般式配方得到
• 交点式 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$——直接读出与 $x$ 轴的交点，仅当 $\Delta \ge 0$ 时存在

由配方得到顶点坐标：

• 对称轴：$x=-\frac{b}{2a}$
• 顶点：$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$

其余性质：

• $a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下
• $|a|$ 越大开口越窄，$|a|$ 越小越平缓
• 图像关于对称轴左右对称，故 $f(h+t)=f(h-t)$ 对任意 $t$ 成立

图中 $y=x^2-4x+3$ 配方后是 $(x-2{)}^2-1$：顶点 $(2,-1)$，对称轴 $x=2$，与 $x$ 轴交于 $1$ 和 $3$，与 $y$ 轴交于 $3$。

四、最值

无约束

顶点处取到最值：$a>0$ 时最小值为 $\frac{4ac-b^2}{4a}$，$a<0$ 时该值为最大值。另一侧无界。

闭区间 $[m,n]$ 上

设对称轴 $h=-\frac{b}{2a}$，以 $a>0$ 为例，按 $h$ 与区间的位置分三种情况：

• $h<m$：函数在 $[m,n]$ 上单调递增，最小值 $f(m)$，最大值 $f(n)$
• $m\le h\le n$：最小值 $f(h)$（顶点在区间内），最大值取 $f(m)$ 与 $f(n)$ 中较大者
• $h>n$：函数在 $[m,n]$ 上单调递减，最小值 $f(n)$，最大值 $f(m)$

$a<0$ 时最大最小互换。

要点是先看顶点在不在区间内。这正是带约束优化的一维原型：无约束最优点落在可行域内就直接用它，落在外面就取到边界上。

五、二次不等式

以 $a>0$ 为例（$a<0$ 时两边同乘 $-1$ 化成 $a>0$，注意不等号变向）：

判别式	$a{x}^2+bx+c>0$	$a{x}^2+bx+c<0$
$\Delta >0$（两根 $x_1<x_2$）	$x<x_1$ 或 $x>x_2$	$x_1<x<x_2$
$\Delta =0$（重根 $x_0$）	$x\ne x_0$	无解
$\Delta <0$	全体实数	无解

口诀式的记法是"大于取两边，小于取中间"，但真正可靠的做法是画图看曲线在 $x$ 轴的哪一侧。

解 $x^2-4x+3<0$：先求根得 $1$ 和 $3$，画出开口向上的抛物线，取曲线落在 $x$ 轴下方的那一段，对应 $1<x<3$。若不等号是 $>$，就取曲线在轴上方的两段。

$\Delta <0$ 那一行值得单独记：开口向上且无实根，等价于这个二次式恒为正。判断一个二次型是否正定，一元情形就是这个条件。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的。

• 二次函数基础
  • P3 十字相乘法；二次函数、方程、不等式基础知识梳理（14:58）— 看后半段的二次函数与不等式部分（前半的十字相乘第 1 篇已看）
• 系数与图像的关系
  • P15 二次函数中的 a、b、c 考点汇总（19:55）— 只看 $a$、$b$、$c$ 分别怎么影响开口、对称轴、截距这部分，后面的判定题型跳过
• 韦达定理
  • P12 韦达定理运用策略（25:37）— 只看开头讲定理本身和推导的部分，后面大段是应试变形

实际要看的约 30 分钟。求根公式的配方推导、闭区间最值的三种情况、二次不等式与判别式的对应表这几块以正文为准，视频里讲得比正文散。

集数、标题、时长取自 B 站页面，未逐集观看。