内容	必须掌握的	后面在哪用到
幂的运算	五条法则；零指数、负指数、分数指数	矩阵幂与矩阵指数、复杂度记号、指数衰减、$p$ 范数
因式分解	平方差、完全平方、立方和差；配方法	特征多项式分解、二次型化标准形、卡尔曼滤波更新公式的推导、二次代价函数求最小值
分式化简	通分约分；约分会改变定义域；部分分式分解	除零保护、条件数、拉普拉斯逆变换、传递函数拆成一阶环节
根式	$\sqrt{a^2}=|a|$；分母有理化	向量的模、欧氏距离、归一化、相消误差
绝对值	绝对值即距离；三角不等式	一维范数、L1 正则、鲁棒核、A 星启发函数的可采纳性

一、幂的运算

$a^n$ 表示 $n$ 个 $a$ 相乘，$a$ 是底数，$n$ 是指数。

五条运算法则

底数相同才能合并：

• 同底数幂相乘，指数相加：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
• 同底数幂相除，指数相减：$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a\ne 0$）
• 幂的乘方，指数相乘：$(a^m{)}^n=a^{mn}$
• 积的乘方：$(ab{)}^n=a^n{b}^n$
• 商的乘方：${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$（$b\ne 0$）

幂对乘法可分配，对加法不行：$(a+b{)}^n\ne a^n+b^n$。

矩阵不满足后两条，因为矩阵乘法不交换：$(AB{)}^n\ne A^n{B}^n$，$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$（中间两项合并不成 $2AB$）。

指数的三次扩展

• 零指数：$a^0=1$（$a\ne 0$，$0^0$ 无定义）
• 负整数指数：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（$a\ne 0$）
• 分数指数：$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$，$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$（$a>0$）

这三条是"让上面五条法则继续成立"推出来的：

• $a^m÷a^m=a^{m-m}=a^0$，而左边等于 $1$，所以 $a^0=1$
• $a^0÷a^n=a^{-n}$，而左边等于 $\frac{1}{a^n}$，所以 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• ${\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2=a^{\frac{1}{2}\times 2}=a$，所以 $a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$

最后一条把幂和根式统一了：根式就是分数指数的另一种写法。

图示：指数函数

$y=2^x$ 是一条光滑连续的曲线，整数指数只是它上面的几个孤立点。零指数、负指数、分数指数的定义，正是把这条曲线补齐——补法唯一，因为要保证运算法则处处成立。曲线恒在 $x$ 轴上方且不与之相交，所以 $a^x>0$ 恒成立。

二、因式分解

把多项式写成几个整式相乘，是展开的逆运算。乘积形式能直接读出零点：$(x+1)(x+2)=0$ 的根是 $-1$ 和 $-2$。

五种方法

1. 提公因式：$ma+mb+mc=m(a+b+c)$

2. 公式法：

• 平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
• 完全平方：$a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b{)}^2$
• 立方和：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
• 立方差：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

3. 十字相乘：$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。找两个数，和为一次项系数，积为常数项。

4. 分组分解：$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$

5. 试根法（三次及以上）：若 $x=r$ 代入结果为 $0$，则 $(x-r)$ 是因式。有理根只可能是"常数项的因数除以首项系数的因数"。

配方法

把二次式凑成"完全平方 + 常数"：

$a{x}^2+bx+c=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+c-\frac{b^2}{4a}$

做法是提出二次项系数，在括号内加上一次项系数一半的平方、再减掉：

$x^2+6x+5=(x^2+6x+9)-9+5=(x+3{)}^2-4$

配成这个形式后极值直接可读：平方项最小为 $0$，故最小值 $-4$，在 $x=-3$ 处取到。$a>0$ 时是最小值，$a<0$ 时是最大值。

多元形式是把 ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}+{\mathbf{b}}^T\mathbf{x}+c$ 配成 $(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0{)}^{T}A(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_0)+\text{常数}$，做法完全一样。

图示：平方差公式

边长 $a$ 的正方形挖掉边长 $b$ 的正方形，剩下面积 $a^2-b^2$。沿红色虚线剪成①$(a-b)\times a$ 和②$b\times (a-b)$ 两块，①转 $90^{\circ }$ 后与②拼合，得到宽 $a+b$、高 $a-b$ 的矩形。面积不变，故 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

三、分式化简

分子分母都是整式、分母含字母的式子。核心性质一条：

分子分母同乘或同除一个不为零的整式，分式的值不变。

由它派生出通分（化成同分母，用于加减）与约分（约去公因式，用于化简）。

约分会改变定义域

$\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$

约分在代数上合法，但原式在 $x=1$ 处无定义，所以正确写法必须带条件：

$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1(x\ne 1)$

图中空心圆就是被挖掉的点 $(1,2)$。约分扩大了定义域，由此两条纪律：

• 解分式方程必须验根。去分母那一步丢掉了"分母不为零"，解出的根若让某个分母为零就是增根，必须舍掉
• 动手前先写定义域

部分分式分解

通分的逆操作，把复杂分式拆成简单分式之和：

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)$

做法：设成 $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$，通分后比较分子，定出 $A=\frac{1}{2}$、$B=-\frac{1}{2}$。

一般规则：分母有几个不同的一次因式，就拆成几项；若某因式是 $k$ 重根，要拆出 $\frac{A_1}{x-r}+\frac{A_2}{(x-r{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-r{)}^k}$。

四、根式

$\sqrt{a}$ 就是 $a^{\frac{1}{2}}$，是 $a$ 的算术平方根，两个前提：

• 被开方数非负：$a\ge 0$
• 结果本身也非负：$\sqrt{a}\ge 0$

第二条导出这一节最重要的公式：

$\sqrt{a^2}=|a|$

是 $|a|$ 不是 $a$。$\sqrt{(-3{)}^2}=3$，不是 $-3$。所以遇到 $\sqrt{(\text{某式}{)}^2}$，去根号前必须先判断括号内的正负：$\sqrt{(1-\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}-1$，因为 $\sqrt{2}>1$。

运算法则

• 乘除：$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\ge 0$，$b>0$）
• 加减：只有同类二次根式能合并。$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}$，而 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 合并不了
• 分母有理化：
  • 单项：$\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a}$
  • 两项：$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$，用的是平方差公式

图示：根号 2 的几何位置

以数轴上 $0$ 到 $1$ 为边作单位正方形，对角线长由勾股定理得 $\sqrt{2}$。以原点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴，交点即 $\sqrt{2}$。根式是一个明确的几何长度，不是"算不出来的数"。

五、绝对值

代数定义分段：$a\ge 0$ 时 $|a|=a$，$a<0$ 时 $|a|=-a$。

几何定义更好用：

• $|a|$ 是数轴上 $a$ 到原点的距离
• $|a-b|$ 是 $a$ 与 $b$ 两点之间的距离

基本性质

• $|a|\ge 0$，且 $|a|=0$ 当且仅当 $a=0$
• $|ab|=|a|\cdot |b|$，$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$
• $|a{|}^2=a^2$，$|-a|=|a|$
• 三角不等式：$|a+b|\le |a|+|b|$
• 反向三角不等式：$||a|-|b||\le |a-b|$

绝对值不等式

从"距离"直接读出：

• $|x|<r$（$r>0$）等价于 $-r<x<r$——距离小于 $r$，解集是一段
• $|x|>r$ 等价于 $x<-r$ 或 $x>r$——距离大于 $r$，解集是两段

一般形式：$|x-a|<r$ 等价于 $a-r<x<a+r$，即以 $a$ 为中心、半径 $r$ 的开区间。

图示：数轴上求解集

$|x-1|<2$ 是两个不等式同时成立，画成两条横线：红线 $x<3$ 向左延伸、在 $3$ 处折下；蓝线 $x>-1$ 向右延伸、在 $-1$ 处折下。两条横线水平重叠的那一段就是交集，即数轴上的绿色粗线段 $(-1,3)$。端点空心圆表示取不到。

对应视频

正文看得懂就跳过，卡住了再看对应那一段。下面只列真正值得看的。

• 因式分解
  • P5 乘法公式大全以及使用方法（13:12）— 全集必看
  • P3 十字相乘法（14:58）— 只看开头讲十字相乘那段
• 分式化简
  • P2 数与式的化简求值（10:05）— 只看通分约分的操作流程
• 绝对值
  • P4 绝对值的意义与解题方法（16:58）— 只看前半"意义"部分

实际要看的约 40 分钟。幂的运算、配方法、部分分式分解、根式这几块合集里没有对应视频，以正文为准。

集数、标题、时长取自 B 站页面，未逐集观看。