把 IK 想成：机器人当前姿势不对，求“每个关节下一瞬间该往哪转一点”。

例如右手目标在前方 10 cm，机器人当前手还没到。IK 不会直接猜肩、肘、腕各转多少，而是问：

如果肩转 1 rad、肘转 1 rad、腕转 1 rad，手在 X/Y/Z 和朝向上各会怎么动？

这个“各关节微小变化 → 手/脚微小运动”的关系，就是雅可比矩阵 J。

对一个任务 link（例如左脚），令：

• q：机器人当前所有关节角；
• Δq：这次准备增加的很小关节角；
• x(q)：当前左脚的位置/朝向；
• x*：人体映射来的左脚目标；
• e = x* − x(q)：当前误差。

在很小范围内，非线性的 FK 可以近似为线性关系：

x(q + Δq) ≈ x(q) + J(q)Δq

所以如果希望左脚本次移动 e，理想上就是：

J(q)Δq ≈ e
这里的e是6D的 速度3,旋转3

但通常有很多任务一起存在，例如骨盆、左脚、右脚、左右手。把它们叠起来：

⎡ J_pelvis ⎤
⎢ J_left-foot ⎥ Δq ≈ ⎡ e_pelvis ⎤
⎢ J_right-foot ⎥ ⎢ e_left-foot ⎥
⎣ J_left-hand ⎦ ⎣ e_right-foot ⎦
e_left-hand

改称带约束的最小二乘问题：

这就是mink 的 FrameTask，本身不是优化器，而是计算一个任务的误差，雅可比。真正把多个 FrameTask 合成优化问题的是 mink.solve_ik去求解

Δq* = argmin[Δq]
∑[i] ‖Wᵢ(JᵢΔq − eᵢ)‖² + λ‖Δq‖²

含义非常直接：

• 第一项：每个任务的剩余误差越小越好；
• Wᵢ：任务权重。脚的位置权重大，IK 会优先让脚到位；手臂姿态权重小，手臂让步；
• λ‖Δq‖²：不希望一帧内关节突然大幅跳动。λ 越大，动作越稳但跟踪越慢；
• 关节限位与速度限制作为额外约束加入。

得到 Δq 后：

q_next = q_current + Δq*

然后重新计算 FK、误差，再做一轮。GMR 每帧最多追加 10 轮，误差不再明显变小时停止；见 retarget。

以两关节平面手臂为例：

• 手应向前移动；
• 肩和肘都能让手向前；
• IK 会在无限多种“肩转一点、肘转一点”的组合中，选一个既让手接近目标、又不需要关节猛跳、也不撞关节限位的组合。

这也是为什么不要用“人体肘关节角 = 机器人肘关节角”。IK 的输出由全部任务共同决定：当脚必须落地时，骨盆、髋、膝会优先配合脚；当手目标远得不可达，IK 会尽力伸展手臂但保留约束。

GMR 中 **FrameTask(position_cost, orientation_cost) 就是在给每个任务设置 Wᵢ**。例如骨盆位置权重 100、旋转 10，表示“骨盆位置比骨盆朝向重要约 10 倍”。任务创建位置见 motion_retarget.py。