复数

1.基础定义

复数形式：
$$z=a+bj$$

• $a$：实部 $\mathrm{Re}(z)$
• $b$：虚部 $\mathrm{Im}(z)$
• $j^2=-1$（工程常用$j$，数学写作$i$）

每一个复数对应复平面上一个点 $(a,b)$。

两种表达形式

1）代数形式 $z=a+bj$，适合加减
$$\begin{array}{rl}{z}_1& =a_1+b_{1}j\\ z_2& =a_2+b_{2}j\\ z_1+z_2& =(a_1+a_2)+(b_1+b_2)j\\ z_1-z_2& =(a_1-a_2)+(b_1-b_2)j\end{array}$$

2）极坐标（指数）形式，适合乘除、旋转
$$z=r{e}^{j\theta }=r(\cos \theta +j\sin \theta )$$

• 模：$r=\sqrt{a^2+b^2}$，向量长度
• 辐角：$\theta =\arg (z)$，复平面与实轴夹角

欧拉公式：${\mathbf{e}}^{\mathbf{j\theta }}=\cos \mathbf{\theta }+\mathbf{j}\sin \mathbf{\theta }$，复数最重要等式。

乘法几何含义：模相乘，角度相加，等价平面旋转+缩放
$$z_1=r_1{e}^{j{\theta }_1},z_2=r_2{e}^{j{\theta }_2}$$
$$z_1{z}_2=r_1{r}_2{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

共轭复数：$\bar{z}=a-bj$，模不变，角度取反。
$$z\cdot \bar{z}=a^2+b^2=|z{|}^2$$

2.导数与解析（复变函数）

对复函数 $f(z)=u(x,y)+jv(x,y)$
柯西‑黎曼条件（可导必要条件）：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$
满足条件区域称为解析。

3.工程领域使用场景

信号/控制

1. 傅里叶变换：信号分解成复指数 $e^{j\omega t}$；复数同时携带幅值+相位。
2. 拉普拉斯变换：复频率 $s=\sigma +j\omega$；控制系统零极点全部在复平面分析。

机器人几何

• 二维旋转可以用复数乘法代替矩阵；点$(x,y)\to z=x+jy$，旋转$\theta$：$z^{\prime }=z\cdot e^{j\theta }$，比2×2旋转矩阵计算更轻。

三维旋转对应四元数，是复数向高维的推广。

深度学习

• 复值神经网络：权重为复数；特征同时编码振幅、相位；多用于语音、雷达信号。

4.和你前面知识关联

1. 实数是复数虚部为0的特例；实数运算全部是复数运算子集。
2. 复数可以看成二维向量 $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$，但复数自带乘法结构，普通二维向量没有。

向量只是空间位置；复数是“可做旋转乘法”的代数对象。

3. 傅里叶：把时域函数，投影到复数基函数 {ejωt}\{e^{j\omega t}\}{ejωt}（一组正交基函数，就是前面聊的正交基）。

简单Python示例

z = 3 + 4j
print(abs(z))      # 模 5
print(z.conjugate()) # 共轭 3-4j
import cmath
print(cmath.phase(z)) # 辐角

复数继续延伸

1 复数根、单位根

单位复数：$|z|=1$，写成 $z=e^{j\theta }$，只有旋转，没有缩放。

n次单位根：方程 $z^n=1$ 的全部解
$$z_k=e^{j\frac{2\pi k}{n}},k=0,1,\dots ,n-1$$
几何：复平面单位圆上等间隔分布的 $n$ 个点。

DFT离散傅里叶变换的数学根基，就是用单位根做正交基展开信号。

2 复积分（柯西积分公式）

若 $f(z)$ 在闭合围道内部解析：
$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$
柯西积分公式：
$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$
意义：解析函数围道上的值完全决定内部任意一点函数值。复变积分不是普通线积分，奇点（不解析点）贡献全部积分结果。留数定理是它的工程实用版本。

留数定理

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi j\sum \text{围道内所有奇点留数Res}$$
控制、信号中算逆拉普拉斯变换大量依靠留数；不用暴力求解原函数。

3 复平面视角看控制系统（机器人控制高频）

复频率 $s=\sigma +j\omega$

• $\sigma$：实部，代表衰减/发散；$\sigma <0$ 系统收敛稳定；$\sigma >0$ 发散
• $\omega$：虚部，代表振荡角频率

传递函数 $G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}$，分子零点、分母极点落在复平面。

• 极点全部落在左半复平面，系统稳定；
• 虚轴上极点 → 等幅振荡；右半平面极点 → 振幅指数发散。

二阶系统：极点 $s=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$
实部决定阻尼衰减速度，虚部决定震荡频率，一个复数同时描述两个物理量。

4 复数 vs 二维向量，关键差异（容易混淆）

复数 $z=a+jb$，对应向量 $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$

1. 加法完全等价：对应分量相加
2. 乘法完全不一样
   向量：点积、叉积；没有向量自身闭合的乘法。
   复数：复数乘法 $z_1{z}_2$，结果仍然是复数，代表旋转+缩放。
   $$(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(ad+bc)$$

2D旋转矩阵
$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$
把点向量乘矩阵等价于复数乘 $e^{j\theta }$。复数是旋转矩阵的紧凑代数表达。

⚠️ 复数只适合二维旋转；三维旋转不能直接复数，升级为四元数。
四元数 $q=w+ix+jy+kz$，放弃交换律；机器人SLAM、机械臂姿态全部使用。

5 复数用于傅里叶，正交基回顾（衔接之前正交基函数）

复指数集合：
{ejωt}={cos⁡ωt+jsin⁡ωt}\{e^{j\omega t}\}= \{\cos\omega t + j\sin\omega t\}{ejωt}={cosωt+jsinωt}
满足正交性：
$${\int }_0^T{e}^{j{\omega }_{m}t}\cdot \overline{e^{j{\omega }_{n}t}}dt\{\begin{array}{ll}T,& m=n\\ 0,& m\ne n\end{array}$$
任意时域信号 $x(t)$，展开为复指数基函数的加权求和：
$$x(t)=\sum c_{\omega }{e}^{j\omega t}$$
系数 $c_{\omega }$ 就是傅里叶系数，复数系数自带幅值 $|c_{\omega }|$ 和相位 $\arg (c_{\omega })$。

实数信号，正负频率的系数互为共轭，最后叠加结果虚部抵消，得到实信号。

6 复值神经网络简单了解

普通神经网络全部实数；复网络权重、激活、特征全部复数。
$$Z=W\odot X+b$$

• 振幅：信号强弱；相位：时序偏移、空间位置信息
  常用于：雷达、通信、声学；
  深度学习大部分场景依然实数网络为主，复网络没有大规模普及。

7 易错小结

1. $j^2=-1$，但是不能随便对负数做开根号拆分：$\sqrt{-4}\sqrt{-9}\ne \sqrt{36}$，复数根号不是初等实数根号性质。
2. 共轭 $\bar{z}$：翻转虚部，不是取辐角负值这么简单；$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 恒为实数。
3. 解析：柯西黎曼条件，不是单单实部虚部分别可微，是更强耦合条件。
4. 工程记号：电气机器人用 $j$；纯数学论文用 $i$。

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相位 Phase

基础定义

简谐振荡：
$$x(t)=A\cos (\omega t+\varphi )$$

• $A$：振幅（幅度，最大偏移）
• $\omega$：角频率
• $\mathbf{\varphi }$：初相位（相位常数）
• 瞬时相位：$\theta (t)=\omega t+\varphi$

用复数表示（欧拉公式）：
$$\tilde{x}(t)=A{e}^{j(\omega t+\varphi )}=A\cos (\omega t+\varphi )+jA\sin (\omega t+\varphi )$$
复数模 $|\tilde{x}|=A$；辐角就是相位 $\omega t+\varphi$。

核心：振幅描述多大；相位描述“在周期里走到哪个位置”。

相位差

两个同频率信号
$$x_1=A_1\cos (\omega t+{\varphi }_1),x_2=A_2\cos (\omega t+{\varphi }_2)$$
相位差：$\Delta \varphi ={\varphi }_1-{\varphi }_2$

• $\Delta \varphi =0$：同相，同步起伏；
• $\Delta \varphi =\pi$：反相，一个最大另一个最小；
• $\Delta \varphi =\pi /2$：正交。

相位差是相对量；绝对初相位会受时间零点选取影响。

复数‑傅里叶视角（衔接前面正交基）

任意频率分量傅里叶系数是复数：
$$c_{\omega }=|c_{\omega }|e^{j{\varphi }_{\omega }}$$

• $|c_{\omega }|$：该频率成分幅值谱
• ${\varphi }_{\omega }=\arg (c_{\omega })$：该频率成分相位谱

信号 = 全部频率分量叠加：
$$x(t)=\sum _{\omega }|c_{\omega }|e^{j(\omega t+{\varphi }_{\omega })}$$

⚠️ 非常关键：只保留幅值、丢掉相位，信号会完全失真。幅值告诉你有哪些频率；相位告诉各个谐波之间怎么错开、叠加出波形形状。

图像傅里叶同理：幅值对应边缘强度；相位保存物体轮廓几何结构。

工程场景

1）控制与机器人

二阶系统阶跃响应：输出信号存在相位滞后。
传递函数 $G(j\omega )$，代入 $s=j\omega$：

• $|G(j\omega )|$：幅频响应（增益）
• $\angle G(j\omega )$：相频响应，输出相对输入滞后多少相位

Bode伯德图两条曲线：幅值‑频率、相位‑频率。
闭环系统稳定性判定（奈奎斯特判据），相位裕度完全依靠相位信息。

PD控制、前馈补偿，很大一部分工作就是补偿相位滞后，避免振荡。

2）信号处理

• 时延等价相位线性偏移：时移 $x(t-\tau )\stackrel{\mathcal{F}}{⟷}X(\omega )e^{-j\omega \tau }$
  每一个频率分量相位减去 $\omega \tau$；频率越高相位改变越大。
• 滤波器：低通/高通不仅改幅值，同时引入相位畸变（群延迟）。

3）机器人几何

复数旋转 $z^{\prime }=z{e}^{j\theta }$，$\theta$ 就是相位增量；
乘以 $e^{j\theta }$：不改变振幅（模不变），只改变相位，等价旋转。

4）深度学习/多模态

复值特征：特征向量的模代表响应强度，相位代表时序偏移、空间位置；
普通实数网络把相位信息隐式编码在多通道数值中，没有显式相位变量。

容易混淆概念区分

1. 相位 vs 相位差
   相位：绝对角度；相位差：两个信号的相对偏移，工程更关心相位差。
2. 相位 vs 群延迟
   相位：总偏移角度；群延迟 ${\tau }_g=-\frac{d\varphi }{d\omega }$，代表信号包络的时间延迟。
   滤波器如果相位不是随频率线性变化，产生相位失真，波形变形。
3. 相位是模 $2\pi$ 的，$+2\pi$ 物理效果不变。

直观例子

$x_1=\cos (t),{\varphi }_1=0$
$x_2=\cos (t+\pi /2)=-\sin (t),{\varphi }_2=\pi /2$
$x_2$ 相比 $x_1$ 相位超前 $\pi /2$；到达峰值时间更早。

核心一句话总结

振幅描述能量大小；相位描述时序/空间位置关系。复数的辐角就是相位；傅里叶变换把信号拆解成每个频率各自的振幅与相位。很多系统失效不是幅值不够，而是相位错位。

Z变换

Z变换是离散时间版本的拉普拉斯变换，专门处理差分方程（数字控制系统、离散信号），复数 $z$ 是核心。

1.定义

离散序列 $x[n],n=0,1,2\cdots$（单边Z变换，工程最常用）
X(z)=Z{x[n]}=∑n=0∞x[n] z−n X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\, z^{-n} X(z)=Z{x[n]}=n=0∑∞​x[n]z−n

• $n$：离散时间步；
• $z$：复变量 $\mathbf{z}=\mathbf{r}{\mathbf{e}}^{\mathbf{j\omega }}$；复数。

对比：

• 拉普拉斯（连续）：$X(s)={\int }_0^{\infty }x(t)e^{-st}dt,s=\sigma +j\omega$
• Z变换（离散）：$X(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$

映射关系：$z\leftarrow e^{sT}$，$T$ 采样周期。
$$\mathbf{z}={\mathbf{e}}^{\mathbf{sT}}$$
把连续复平面 $s$，映射到 $z$ 复平面。

z平面关键几何

$$z=r{e}^{j\omega }$$

1. $r=|z|$：模；
2. $\omega =\arg (z)$：数字角频率（相位）。

• 单位圆：$|z|=1$，对应 $s$ 平面虚轴；$z=e^{j\omega }$。单位圆上的Z变换等价离散傅里叶变换DFT。
• $|z|<1$：单位圆内部；对应s左半平面，系统收敛稳定。
• $|z|>1$：单位圆外部；对应s右半平面，发散。

离散系统稳定充要条件：全部极点落在z平面单位圆内部。

2.常用基本对（查表，数字控制必背）

1. 单位脉冲 $x[n]=\delta [n]$
   $$X(z)=1$$
2. 单位阶跃 $x[n]=u[n]$
   $$u[n]⟺\frac{z}{z-1},|z|>1$$
3. 指数序列 $x[n]=a^{n}u[n]$
   $$a^{n}u[n]⟺\frac{z}{z-a},|z|>|a|$$
   极点在 $z=a$；

• $|a|<1$：序列衰减收敛；
• $|a|>1$：序列发散。

4. 离散余弦
   $$\cos ({\omega }_{0}n)u[n]⟺\frac{z(z-\cos {\omega }_0)}{z^2-2z\cos {\omega }_0+1}$$
   共轭复极点在单位圆上。

3.核心性质（差分方程 ↔ Z变换）

时移性质（最重要）

Z{x[n−1]}=z−1X(z) \mathcal Z\{x[n-1]\} = z^{-1} X(z) Z{x[n−1]}=z−1X(z)
$z^{-1}$ 物理含义：一步延迟单元。数字控制器框图里的 $z^{-1}$ 就是寄存器，保存上一拍的值。

差分方程例子：
$$y[n]=ay[n-1]+bu[n]$$
两边做Z变换
$$Y(z)=a{z}^{-1}Y(z)+bU(z)$$
整理得到离散传递函数
$$G(z)=\frac{Y(z)}{U(z)}=\frac{b}{1-a{z}^{-1}}=\frac{bz}{z-a}$$

• 连续系统用微分方程 + Laplace；
• 数字控制器、机器人离散闭环：差分方程 + Z变换。

4. s平面 → z平面映射重点

$$z=e^{sT}$$

1. $s=j\omega$（虚轴，连续振荡）→ $z=e^{j\omega T}$（单位圆）
2. $\mathrm{Re}(s)<0$（连续稳定左半平面）$\Rightarrow |z|=e^{\mathrm{Re}(s)T}<1$，映射到单位圆内部。
3. $\mathrm{Re}(s)>0$（连续发散右半平面）$\Rightarrow |z|>1$，映射单位圆外。

⚠️ 非线性映射：s平面水平条带，折叠到z平面整个圆；产生频率混叠，采样带来固有现象。

5.极点零点与稳定性（机器人数字控制）

传递函数
$$G(z)=\frac{\prod (z-z_i)}{\prod (z-p_j)}$$

• $z_i$：零点；
• $p_j$：极点。

✅ 离散LTI系统BIBO稳定：所有极点模 $|p_j|<1$，全部在单位圆里面。

• 极点在单位圆上：等幅振荡；
• 极点跑到单位圆外面：输出随步数n指数发散，机器人抖动失控。

对比连续Laplace：极点全部$s$左半平面 $\mathrm{Re}(s)<0$。

6.逆Z变换

已知 $X(z)$，求离散时域序列 $x[n]$。工程几乎不用原始积分公式；标准做法：

1. 分式部分分式分解；
2. 查表得到各个分量时域；
   数学定义（围道积分，复变留数定理）：
   $$x[n]=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{C}X(z)z^{n-1}dz$$

逆Z变换 = z平面围道积分，用留数定理计算，承接前面复变函数知识。

7.和你前面知识串联

1. 复数：$z$ 本身是复变量，模=衰减因子，辐角=数字频率相位；
2. 相位：$G(e^{j\omega })$（单位圆上传递函数），$\angle G(e^{j\omega })$ 就是离散系统相频响应；做数字Bode图；相位裕度用于离散控制器调参；
3. 傅里叶：当收敛域包含单位圆，$X(z){|}_{z=e^{j\omega }}$ 就是DTFT离散时间傅里叶变换；采样得到DFT。
4. 拉普拉斯：连续→离散通过 $z=e^{sT}$；仿真、机器人控制器离散化（双线性变换Tustin变换）就是s域映射z域。

极简工程记忆口诀

拉普拉斯管连续微分；Z变换管离散差分；
$z^{-1}$ 是一拍延迟；离散稳定看极点是否全部在单位圆里面。

常见坑

1. 不要直接把s域极点简单复制到z域；必须经过映射 $z=e^{sT}$；采样周期T对稳定性影响巨大，采样太慢系统容易失稳。
2. 单位圆只是边界；极点刚好落在圆上是临界稳定，现实中要远离边界留裕量。

双线性变换s→z（控制器离散化，机器人PD控制器从连续转离散）。

接续：Z变换工程落地核心 + 离散控制器设计 + 与复数/相位闭环串联

一、双线性变换（Tustin变换）：s域控制器转z域（机器人最常用）

1. 公式来源

本质用数值积分近似微分：
$$s\leftarrow \frac{2}{T}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$
$T$：控制周期（如0.002s、0.01s）

2. 作用

把连续域PID/PD传递函数 $G_c(s)$ 直接替换 $s$，得到可在MCU/FPGA跑的离散差分方程 $G_c(z)$，完美规避直接 $z=e^{sT}$ 复杂超越函数。

举例：连续PD控制器

$$G_c(s)=K_p+K_{d}s$$
代入Tustin：
$$G_c(z)=K_p+K_d\cdot \frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$
通分后整理为 $\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}}$
直接展开为时域递推式：
$$u[k]=-a_{1}u[k-1]-a_{2}u[k-2]+b_{0}e[k]+b_{1}e[k-1]+b_{2}e[k-2]$$
$e$ 为位置误差，$u$ 输出力矩/电机指令，就是嵌入式里一行代码实现的离散PD。

3. 频率畸变（预扭曲Pre-warp）

Tustin会把s平面虚轴非线性映射到z平面单位圆，高频频率被挤压，高速伺服必须加预扭曲：
$$s\leftarrow \frac{{\omega }_0}{\tan ({\omega }_{0}T/2)}\cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$
${\omega }_0$ 为截止频率，保证目标频率点幅值、相位严格对齐。

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二、z平面零极点与相位、幅频响应（承接相位知识点）

令 $z=e^{j\omega }$（落在单位圆上，等价DTFT），离散频率响应：
$$G(e^{j\omega })=\frac{\sum b_k{e}^{-jk\omega }}{\sum a_k{e}^{-jk\omega }}$$

• $|G(e^{j\omega })|$：幅频特性，增益大小；
• $\angle \mathbf{G}({\mathbf{e}}^{\mathbf{j\omega }})$：相频特性，输出相对输入的相位滞后/超前。

1. 相位滞后的物理危害

1. 高频段相位掉到 $-180^{\circ }$ 以下，若此时幅值仍大于1，系统闭环振荡、抖振；
2. 离散系统相位裕度计算：在增益穿越频率处，看相位距离 $-180^{\circ }$ 还有多少余量。

2. 零极点如何改变相位

• 零点：在频率处带来相位超前，PD微分项本质就是引入零点补偿相位滞后；
• 极点：带来相位滞后，被控对象惯性、电机低通特性都是极点导致滞后。

工程调参本质：靠增加零点（微分项）抵消对象极点造成的相位跌落，抬升相位裕度。

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三、Z变换三大算子物理意义（彻底吃透 $z,z^{-1}$）

1. $z^{-1}$
   一步延迟单元，寄存器存储上一拍数据：$x[n-1]\stackrel{\mathcal{Z}}{\leftrightarrow }{z}^{-1}X(z)$
   框图里画方框写 $z^{-1}$ 就是D触发器/内存缓存。

2. $z$
   一步超前，非因果，仿真理论用，实际控制器不用。

3. $z^n$
   n步超前；$z^{-n}$ n步延迟。

例：一阶惯性环节离散化

连续：$G(s)=\frac{1}{Ts+1}$
Tustin变换得到：
$$G(z)=\frac{b_0}{1+a_1{z}^{-1}}$$
差分方程：$y[k]=-a_{1}y[k-1]+b_{0}u[k]$
直观体现：当前输出依赖上一拍输出，极点决定衰减快慢。

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四、收敛域ROC（复变视角，承接围道积分）

$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$
级数收敛的z复平面区域叫收敛域。

1. 因果序列（控制器、物理信号都是因果 $n\ge 0$）：ROC为某个圆外部 $|z|>R$；
2. 逆Z变换用留数定理时，围道必须落在ROC内部，否则积分结果错误；
3. 系统稳定性隐含要求：ROC必须包含单位圆，才能在单位圆上做频率分析。

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五、逆Z变换实操（留数法极简流程）

对于有理分式 $X(z)$，步骤：

1. 整理成真分式 $\frac{F(z)}{z}$；
2. 分解为部分分式；
3. 对每个极点用留数公式：
   $$\mathrm{Res}[X(z)z^{n-1},z=p]$$
4. 叠加所有留数得到 $x[n]$。

工程结论：

• 一阶实极点 $p=a$：对应时域 $A\cdot a^n$；
• 一对共轭复极点 $p=r{e}^{\pm j\theta }$：对应衰减振荡 $A{r}^n\cos (n\theta +\varphi )$，模r决定衰减速度，辐角θ决定振荡频率（相位）。

完美闭环：复数极点的模=收敛快慢，辐角=振荡相位频率。

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六、一条知识链串到底（从复数→相位→Z变换→机器人控制）

1. 复数 $z=r{e}^{j\theta }$：模衰减，辐角相位/频率；
2. 相位：系统滞后量，决定稳定性；
3. 拉普拉斯：连续系统复频率 $s=\sigma +j\omega$；
4. Z变换：离散版拉普拉斯，$z=e^{sT}$，离散极点单位圆判稳；
5. Tustin变换：连续控制器转离散代码；
6. 零极点→相位裕度→PD调参→真机伺服不抖振。

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七、高频踩坑点（工程避坑）

1. 采样周期T过大：Tustin频率畸变严重，相位裕度计算失真，控制器实际不稳定；
2. 忽略预扭曲：高频伺服带宽达不到设计值；
3. 极点紧贴单位圆：噪声放大、轻微扰动就持续振荡，要向内拉减小模值；
4. 把连续PID公式直接套进离散代码，不做Z变换推导，出现积分漂移、微分噪声爆炸。

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作业：

1. PD控制器Tustin变换完整推导+可直接粘贴的C语言差分代码；
2. 二阶离散系统共轭复极点时域响应公式；
3. z平面伯德图（幅频/相频）手绘判断方法。