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1. 相关介绍

在现代科技的众多领域中，滤波与估计技术犹如精密的 “信息过滤器”，从充满噪声的数据中提炼出关键信息，对目标状态进行精准预测。无论是引导飞行器穿越复杂空域，还是帮助机器人在未知环境中导航，滤波与估计都发挥着举足轻重的作用。本文将深入探索扩展卡尔曼滤波（EKF）、交互式多模型（IMM）平滑器、Hermite 多项式计算、球径向积分法则以及无迹卡尔曼滤波（UKF）等核心技术，揭示它们的奥秘与应用。

扩展卡尔曼滤波（EKF）：非线性世界的线性近似

1. 线性化的智慧

   扩展卡尔曼滤波（EKF）是应对非线性系统估计问题的常用方法。在现实世界中，许多系统的动态模型和观测模型呈现非线性特性，直接处理这些非线性关系极具挑战性。EKF 巧妙地通过线性化手段解决这一难题。它基于泰勒级数展开，在当前估计点附近将非线性函数近似为线性函数。以一个简单的非线性系统f(x)为例，通过泰勒展开f(x)≈f(x^)+∂x∂f∣x^(x−x^)，忽略高阶项后，将其转化为近似线性形式。这样，原本复杂的非线性系统就能够纳入卡尔曼滤波的框架，利用卡尔曼滤波经典的预测和更新步骤进行状态估计。

2. 多领域的应用足迹

   EKF 广泛应用于各类实际场景。在全球定位系统（GPS）辅助的惯性导航系统中，GPS 提供的位置信息和惯性传感器测量的加速度、角速度等数据都伴随着噪声，且载体的运动模型是非线性的。EKF 能够有效融合这些不同来源的数据，通过对系统状态（如位置、速度、姿态）的连续估计，为载体提供精确的导航信息。例如，在航空领域，飞机在飞行过程中受到气流、重力等多种因素影响，其运动呈现非线性，EKF 可实时处理传感器数据，帮助飞行员准确掌握飞机状态。

3. 优势与局限并存

   EKF 的优点显而易见。它为非线性系统的估计提供了一种相对简单且有效的解决方案，计算量在可接受范围内，能够快速给出状态估计结果。然而，EKF 并非完美无缺。线性化过程不可避免地引入了误差，尤其是在非线性较强的系统中，这种近似误差可能会逐渐累积，导致估计精度下降。同时，EKF 对模型误差较为敏感，如果系统模型与实际情况存在偏差，其估计性能会受到显著影响。

交互式多模型（IMM）平滑器：应对不确定性的多面手

1. 多模型协作的艺术

   交互式多模型（IMM）平滑器基于一种创新的理念：利用多个不同的模型并行工作，每个模型对应目标可能的一种运动模式。在实际应用中，目标的运动模式往往复杂多变，单一模型难以准确描述。IMM 平滑器通过多个模型同时对目标状态进行估计，模型之间通过交互作用动态调整各自的权重。例如，在目标跟踪场景中，一个模型可能假设目标做匀速直线运动，另一个模型假设目标进行转弯运动。随着观测数据的不断输入，IMM 平滑器依据数据与各模型的匹配程度，调整每个模型的权重，使得更符合实际运动模式的模型在最终估计中占据更大比重。此外，IMM 平滑器还利用平滑过程，不仅考虑当前观测数据，还结合过去的观测信息，进一步优化状态估计。

2. 空中追踪的实践范例

   在空中目标跟踪领域，IMM 平滑器展现出卓越的性能。空中目标如飞机、无人机等，其运动模式丰富多样，可能在不同阶段进行匀速飞行、转弯、加速或减速等操作。IMM 平滑器通过多个模型并行跟踪，能够快速适应目标运动模式的变化。例如，当飞机从直线飞行转为转弯时，负责转弯模式的模型权重会逐渐增加，而匀速直线运动模型的权重相应减小，从而准确跟踪目标的新运动状态，提高跟踪精度。

3. 权衡中的性能特点

   IMM 平滑器的优势在于对目标运动模式不确定性的出色处理能力。它能够在多种可能的运动模式之间灵活切换，确保对复杂运动目标的稳定跟踪。然而，这种灵活性是以较高的计算复杂度为代价的。由于需要同时维护多个模型，并在模型之间进行频繁的交互计算，IMM 平滑器的计算量相对较大，这在一些计算资源受限的场景中可能成为制约因素。

球径向积分法则：高维积分的高效之道

1. 高维积分的新视角

   球径向积分法则是一种用于高维空间积分计算的数值方法。在滤波与估计中，常常涉及到对概率密度函数在高维空间的积分，如计算后验概率、预测分布等。传统的积分方法在高维空间中计算量急剧增加，效率低下。球径向积分法则提供了一种更高效的解决方案。它将积分区域分解为球坐标和径向坐标，通过精心设计的采样点分布和权重分配，对函数进行积分近似。例如，在n维空间中，将积分表示为球坐标下的积分形式，通过在球面上和径向上选择特定的采样点，并赋予相应权重，计算积分的近似值。

2. 滤波估计的积分助力

   在滤波与估计领域，球径向积分法则为处理高维积分问题提供了有力支持。以计算后验概率p(x∣y)为例，通常需要对联合概率密度函数p(x,y)在y固定的情况下对x进行积分。球径向积分法则能够高效地处理这一高维积分过程，准确计算后验概率，为状态估计提供关键信息。在一些复杂的多传感器融合问题中，涉及到对多个变量的联合概率密度函数积分，球径向积分法则能够显著提高计算效率，保证系统的实时性。

3. 应用中的权衡考量

   球径向积分法则具有计算效率高、精度较好的优点，特别适用于高维空间积分问题。它能够在相对较少的采样点下获得较高的积分精度，减少计算量。然而，该法则对积分区域的形状有一定要求，一般适用于具有球对称性或可转化为球对称形式的积分区域。此外，采样点的选择和权重计算需要根据具体问题进行优化，否则可能导致积分精度下降。

无迹卡尔曼滤波（UKF）：非线性处理的新突破

1. Sigma 点的神奇力量

   无迹卡尔曼滤波（UKF）是一种针对非线性系统的高效滤波方法，其核心在于通过选择一组 Sigma 点来近似非线性函数的概率分布。与 EKF 不同，UKF 不依赖于线性化近似，而是直接对非线性函数进行处理。具体来说，UKF 根据状态变量的均值和协方差，精心选择一组 Sigma 点，这些点能够更准确地捕捉非线性函数的特性。然后，将这些 Sigma 点通过非线性函数进行传播，并对传播后的点进行加权计算，从而得到状态估计和协方差更新。例如，在一个二维非线性系统中，UKF 通过选择合适的 Sigma 点，能够更精确地描述系统状态的概率分布，避免了 EKF 线性化带来的误差。

2. 与 EKF 的性能较量

   与 EKF 相比，UKF 在处理非线性问题上具有显著优势。由于避免了线性化过程，UKF 通常能够提供更高的估计精度，尤其是在非线性较强的系统中。同时，UKF 对模型误差具有更好的鲁棒性，即使系统模型存在一定偏差，仍能保持较好的估计性能。然而，UKF 的计算量相对较大。在高维状态空间中，Sigma 点的数量和计算量会迅速增加，这对计算资源提出了较高要求。

3. 复杂场景的广泛应用

   UKF 在众多复杂场景中得到了广泛应用。在机器人视觉导航领域，相机成像模型是非线性的，UKF 能够有效处理图像信息与机器人位姿之间的非线性关系，实现精确的定位和导航。在生物医学信号处理中，生物系统的状态变化往往呈现非线性，UKF 可用于对生物信号进行滤波和状态估计，如对心脏跳动信号的分析，帮助医生更准确地了解心脏状态。

2. 运行效果展示

3. 部分代码呈现

%% This software is distributed under the GNU General Public % Licence (version 2 or later); please refer to the file % Licence.txt, included with the software, for details.  keep_trajectory = 0;  silent = 0;  % Number of steps to advance at a time in animations.   steps = 2;  % Handles to measurement model function and it's derivatives  h_func = @bot_h;  dh_dx_func = @bot_dh_dx;  d2h_dx2_func = @bot_d2h_dx2;  % Create a bit curved trajectory and angle  % measurements from two sensors  S1 = [-1;-2];  S2 = [1;1];  sd = 0.05;  dt = 0.01;  if ~keep_trajectory    % Accelerations for the object    a = zeros(1,500);    a(1,50:100)  = pi/2/51/dt + 0.01*randn(1,51);    a(1,200:250) = pi/2/51/dt + 0.01*randn(1,51);    a(1,350:400) = pi/2/51/dt + 0.01*randn(1,51);    x = [0;0;1;0];    t = 0;    X = [];    Y = [];    T = [];    for i=1:500      F = [0 0  1    0;...           0 0  0    1;...           0 0  0   a(i);...           0 0 -a(i) 0];      x = expm(F*dt)*x;      y1 = atan2(x(2)-S1(2), x(1)-S1(1)) + sd * randn;      y2 = atan2(x(2)-S2(2), x(1)-S2(1)) + sd * randn;      t  = t + dt;      X = [X x];      T = [T t];      Y = [Y [y1;y2]];    end  end  % Uncomment if you want to plot and print the measurements  %plot(1:size(Y,2),Y(1,:),'.',1:size(Y,2),Y(2,:),'.');  %legend('Sensor 1', 'Sensor 2');  %title('Measurements from sensors in radians');  %print -dpsc bot_demo_measurements.ps  %  % Initialize EKF to values  %  %   x = 0  %   y = 0,  %   dx/dt = 0  %   dy/dt = 0  %  % with great uncertainty in velocity  %  M = [0;0;0;0];  P = diag([4 4 4 4]);  R = sd^2;  if ~silent    der_check(h_func, dh_dx_func, 1, M, S1);    der_check(h_func, dh_dx_func, 1, M, S2);  end  qx = 0.1;  qy = 0.1;  F = [0 0 1 0;       0 0 0 1;       0 0 0 0;       0 0 0 0];  [A,Q] = lti_disc(F,[],diag([0 0 qx qy]),dt);  clc;  clf;  disp(['In this demonstration we track a moving object with two sensors, ',...        'which gives only bearings of the object with respect to sensors position.',...       'The state of the system is estimated with EKF.'])  disp(' ');  fprintf('Running EKF...')  %  % Track and animate  %  MM = zeros(size(M,1),size(Y,2));  PP = zeros(size(M,1),size(M,1),size(Y,2));  ME = zeros(size(M,1),1);  for k=1:size(Y,2)    % Track with EKF    [M,P] = ekf_predict1(M,P,A,Q);    [M,P] = ekf_update1(M,P,Y(:,k),dh_dx_func,R*eye(2),h_func,[],[S1 S2]);    MM(:,k)   = M;    PP(:,:,k) = P;    ME(k) = P(1,1) + P(2,2);  end  ekf_rmse = sqrt(mean((X(1,:)-MM(1,:)).^2+(X(2,:)-MM(2,:)).^2));  fprintf('Done!\n')  disp(' ');  disp(['The filtering results are now displayed sequentially. ',...       'Notice how the estimates gets more accurate when the filter gets on the right track. ',...       'The green ellipse around the current estimate (little blue circle) reflects the filters ',...       'confidence intervals of the position estimate.']);  disp(' ');  disp('<push any key to proceed>');  % Plot the filtered estimates sequentially  if ~silent      M = MM(:,1);        P = PP(:,:,1);      EST = M;      tt = (0:0.01:1)*2*pi;      cc = repmat(M(1:2),1,length(tt)) + ...         2*chol(P(1:2,1:2))'*[cos(tt);sin(tt)];      h = plot(X(1,:),X(2,:),'r-',...               M(1),M(2),'bo',...               EST(1,:),EST(2,:),'b--',...               cc(1,:),cc(2,:),'g-',...               S1(1),S1(2),'k--',...               S1(1),S1(2),'k^',...               S2(1),S2(2),'k--',...               S2(1),S2(2),'k^');      legend('Location','NorthWest','Real trajectory','Current estimate','Estimated trajectory',...             'Confidence interval','Measurements from sensors','Positions of the sensors');      title('Bearings Only Tracking with EKF.')      axis([-1.5 1.5 -2.5 1.5]);      EST = [];      for k=1:steps:size(Y,2)        M = MM(:,k);        P = PP(:,:,k);        EST = MM(:,1:k);        % Confidence ellipse        cc = repmat(M(1:2),1,length(tt)) + ...     2*chol(P(1:2,1:2))'*[cos(tt);sin(tt)];        % Measurement directions        len = 2.5;        dx1 = len*cos(Y(1,k));        dy1 = len*sin(Y(1,k));        dx2 = len*cos(Y(2,k));        dy2 = len*sin(Y(2,k));        % Update graphics        set(h(2),'xdata',M(1)); set(h(2),'ydata',M(2));        set(h(3),'xdata',EST(1,:)); set(h(3),'ydata',EST(2,:));         set(h(4),'xdata',cc(1,:)); set(h(4),'ydata',cc(2,:));         set(h(5),'xdata',[S1(1);S1(1)+dx1]); set(h(5),'ydata',[S1(2);S1(2)+dy1]);         set(h(7),'xdata',[S2(1);S2(1)+dx2]); set(h(7),'ydata',[S2(2);S2(2)+dy2]);       pause    end  end  clc;  disp(['In this demonstration we track a moving object with two sensors, ',...        'which gives only bearings of the object with respect to sensors position.',...       'The state of the system is estimated with EKF.'])  disp(' ');  fprintf('Running EKF...Done!\n')  disp(' ');  disp(['The filtering results are now displayed sequentially. ',...       'Notice how the estimates gets more accurate when the filter gets on the right track. ',...       'The green ellipse around the current estimate (little blue circle) reflects the filters ',...       'confidence intervals of the position estimate.']);  disp(' ');  disp('<push any key to smooth the estimates with ERTS and ETF>');  if (~silent) pause; end;  clc;  fprintf('Smoothing with ERTS and ETF...');  %  % Smoother 1  %  [SM1,SP1] = erts_smooth1(MM,PP,A,Q);  eks_rmse1 = sqrt(mean((X(1,:)-SM1(1,:)).^2+(X(2,:)-SM1(2,:)).^2));  ME1 = squeeze(SP1(1,1,:)+SP1(2,2,:));  %  % Smoother 2  %  [SM2,SP2] = etf_smooth1(MM,PP,Y,A,Q,[],[],[],...     dh_dx_func,R*eye(2),h_func,[],[S1 S2]);  eks_rmse2 = sqrt(mean((X(1,:)-SM2(1,:)).^2+(X(2,:)-SM2(2,:)).^2));  ME2 = squeeze(SP2(1,1,:)+SP2(2,2,:));  fprintf('Done!\n')  disp(' ');  disp(['Smoothing results of ERTS are now displayed sequentially. ',...        'Notice how the confidence ellipse gets even smaller now.']);  disp(' ');  disp('<push any key to proceed>');  % Plot the smoothed estimates sequentially  if ~silent    M = SM1(:,1);      P = SP1(:,:,1);    EST = M;    cc = repmat(M(1:2),1,length(tt)) + ... 2*chol(P(1:2,1:2))'*[cos(tt);sin(tt)];    h = plot(X(1,:),X(2,:),'r-',...             M(1),M(2),'o',...             EST(1,:),EST(2,:),'--',...             cc(1,:),cc(2,:),'g-',...             MM(1,:),MM(2,:),'b--',...             S1(1),S1(2),'k^',S2(1),S2(2),'k^');    legend('Location','NorthWest','Real trajectory','Current estimate','Smoothed trajectory',...           'Confidence interval','Filter estimate','Positions of the sensors');    title('Bearings Only Tracking with ERTS.')    axis([-1.5 1.5 -2.5 1.5]);    EST = [];    for k=size(Y,2):-steps:1      M = SM1(:,k);        P = SP1(:,:,k);      EST = SM1(:,end:-1:k);      % Confidence ellipse      cc = repmat(M(1:2),1,length(tt)) + ... 2*chol(P(1:2,1:2))'*[cos(tt);sin(tt)];      set(h(2),'xdata',M(1)); set(h(2),'ydata',M(2));      set(h(3),'xdata',EST(1,:)); set(h(3),'ydata',EST(2,:));       set(h(4),'xdata',cc(1,:)); set(h(4),'ydata',cc(2,:));       pause;     end  end  disp(' ')  disp('<push any key to display all estimates together>')  if (~silent) pause; end;  clc;  disp('All estimates are now displayed.')  %  % Plot all the estimates together  %  if ~silent    plot(X(1,:),X(2,:),'k-',...         MM(1,:),MM(2,:),'b--',...         SM1(1,:),SM1(2,:),'r-.',...         SM2(1,:),SM2(2,:),'g-.',...         S1(1),S1(2),'k^',S2(1),S2(2),'k^');    axis([-1.5 1.5 -2.5 1]);    legend('Real trajectory',...           'EKF1 estimate',...           'ERTS estimate',...           'ETF estimate',...           'Positions of sensors',...           'Location', 'NorthWest');    title('Filtering and smoothing result with 1st order EKF');    axis([-1.5 1.5 -2.5 1.5]);    % Uncomment if you want to save an image    %print -dpsc bot_demo_ekf1.ps  end  % Print RMSE  disp(' ');  disp('RMS errors:');  fprintf('EKF-RMSE  = %.3f  [%.3f]\n',ekf_rmse,sqrt(mean(ME)));  fprintf('EKS-RMSE1 = %.4f [%.4f]\n',eks_rmse1,sqrt(mean(ME1)));  fprintf('EKS-RMSE2 = %.4f [%.4f]\n',eks_rmse2,sqrt(mean(ME2)));

4. 参考文献

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