3-1 顺向运动学引言

首先回顾什么是运动学，什么是动力学:
运动学：讨论运动状态（移动：位置、速度、加速度/转动：姿态、角速度、角加速度）的本身，没有涉及产生运动的力，
动力学：讨论力/力矩如何产生运动，牛顿第二定律、能量守恒、对力进行积分。

机械手臂和人手一样，可以看作由多个link（连杆）和joint（关节）构成，连杆之间可以移动或转动，移动和转动由执行器（电机）达成。
顺向运动学：就是知道了每个关节和连杆的夹角（${\theta }_1$, ${\theta }_2$, ${\theta }_3$），得到机械臂末端点到达的位置（${}^{W}P$），
逆向运动学：就是知道了机械臂末端点的位置（${}^{W}P$），反推每个关节需要呈现的角度（${\theta }_1$, ${\theta }_2$, ${\theta }_3$），
所以，顺向运动学的关键是找到一个function（描述手臂状态函数）。

3-2 手臂几何描述

首先给出Joint（关节）和连杆（Link）的定义：
Joint：每个能旋转或只能“直线移动”的关节具有一个自由度；每个关节对某个特定的坐标轴进行旋转或移动
Link：连接关节的杆件，为刚体；编号方式Link0：地杆（默认不动），Link1：与Link0第一个可动的杆，Link2：第二个可动的杆件。

对于空间当中任意两个转轴{Axis i}和{Axis i-1}，可以找到一条线段与这两个转轴互相垂直。与此同时，可以用两个变量描述任意两杆之间的相对状态，Link length（两杆垂线的长度$a$），Link twist（两杆之间的相对角度$\alpha$）。

但是$a$和$\alpha$仅仅只能描述任意两个转轴的关系，当空间中有多个转轴时，这是不够的，因为转轴之间上下也会有距离（偏置），因此引入Link offset（相邻杆两垂线的距离$d$），同时对于关节也会有关节夹角，在这里定义为$\theta$。于是，对于转动的关节（Revolute Joint）$\theta$是变量，$a$，$\alpha$，$d$是定值；而对于移动的关节（Prismatic Joint）$d$是变量，$a$，$\alpha$，$\theta$是定值。

3-3 DH 表示法

在杆件上建立坐标系：在每个杆件上建立坐标系，就能够清晰的描述每个杆件的运动状态。
对于i杆和i-1杆，$Z$轴的方向：转动或移动{Axis}的方向；
$X$轴的方向：沿着$a_i$方向（如果$a_i$不等于0）；
如果两个转轴是相交的，那么$X$轴的方向需要同时和这两个转轴（Axis i和Axis i-1）垂直；
$Y$轴的方向：根据右手定则确定。

对于地杆 Link (0)，坐标系的建立和 Link 1重合

对于最后一个连杆 Link n，坐标系的建立和Link n-1的同方向

Denavit-Hartenberg表达法（Craig version）：以四个参数就能知道空间当中任意两杆的姿态（状态），
${\alpha }_{i-1}$表示的是坐标轴$Z_{i-1}$与坐标轴$Z_i$之间的夹角（$Z_i$与轴{Axis i-1}的黄虚线平行）；
$a_{i-1}$表示坐标轴$Z_{i-1}$与坐标轴$Z_i$的距离（$a_i>0$）;
${\theta }_i$表示坐标轴$X_{i-1}$与坐标轴$X_i$的夹角（坐标轴$X_{i-1}$与$a_{i-1}$重合，坐标轴$X_i$与$a_i$重合）；
$d_i$表示坐标轴$X_{i-1}$与坐标轴$X_i$的距离。

3-4 Link Transformations

有了以上介绍的四个参数，现在要找到两杆之间的旋转矩阵，使得杆件之间的坐标系可以相互转换。假设现在有一点P在坐标系{i}下表示，如果能够找到坐标系{i}和{i-1}之间的旋转矩阵，那么就能知道点P在坐标系{i-1}上的表达。
根据第2章的齐次变换矩阵，可以获取坐标系{i}和{i-1}之间的旋转矩阵，坐标系{i}到{i-1}之间可由四次变换得到。首先是坐标系{i}到坐标系{P}，仅移动$d_i$（${}_i^{P}T$）；坐标系{P}到坐标系{Q}，仅转动${\theta }_i$（${}_P^{Q}T$）；坐标系{Q}到坐标系{R}，仅移动$a_{i-1}$（${}_Q^{R}T$）；坐标系{R}到坐标系{i-1}，仅转动${\alpha }_{i-1}$（${}_R^{i-1}T$）。于是，便能得到如下的表达式：

因此，坐标系{i}和{i-1}之间的旋转矩阵定义如下：${}_i^{i-1}T=T_{X_{i-1}}({\alpha }_{i-1})T_{X_R}(a_{i-1})T_{Z_Q}({\theta }_i)T_{Z_P}(d_i)$，再由第2章的其次变换矩阵的知识，将每个矩阵展开并进行连乘得到${}_i^{i-}T$的具体表达式：

知道了空间当中相邻两连杆坐标系之间的旋转矩阵，通过矩阵连乘就能得到任意连杆坐标系{n}相对于地杆坐标系{0}的旋转矩阵。同时，根据坐标系{n}与坐标系{0}的旋转矩阵，可以得到坐标系{n}与坐标系{0}的空间几何关系，同时坐标系{n}中的向量可以转到坐标系{0}中进行表达。

Example1：有三个连杆，转动轴（Joint axes）之间互相平行，方向穿出屏幕；转动轴的公共垂线为红色实线；每个关节上的$Z$轴方向穿出屏幕；$X$轴即沿着转动轴的垂线方向；$Y$轴方向根据右手定则确定；以此定义坐标轴{1}和{2}。对于地坐标轴和末端坐标轴，地坐标轴{0}与坐标轴{1}存在夹角${\theta }_1$，末端坐标轴{3}与坐标轴{2}之间存在${\theta }_3$。由此，根据四个参数可以构建DH表：$\alpha$是转轴的相对角度（三个转轴互相平行，为0），$a$表示两杆（转轴）垂线的长度（$L_1$，$L_2$）,$d$表示相邻杆两垂线的距离，为0：

Example2: 处理方法与Example1一样

Example3: 在建立坐标系当中，$Z$轴与$X$轴的方向并不是唯一的，选择合适的坐标轴方向即可：

Example4：晶圆机器人，半导体机械手，也叫半导体晶圆传输机器人（Semiconductor Wafer Transfer Robots），主要适应于集成电路、芯片制造等半导体前段工序，用来搬送晶圆。机械手通常应用在磨削、抛光、刻蚀、扩散、沉积、装配、包装和测试等的半导体加工步骤中，用于对半导体晶片进行传输与定位。在半导体设备的机械手中，主要采取负压式吸片的方式取片，即：利用吸盘原理将半导体晶片吸附于石英或陶瓷手指上，并通过机械手臂的伸缩、旋转和升降等的动作搬运半导体晶片。
这里我们主要介绍DH表的由来：根据建好的坐标系，$\alpha$是转轴的相对角度（四个转轴互相平行，为0），$a$表示两杆（转轴）垂线的长度（轴2与轴3之间为$a_2$，轴3与轴4之间为$a_3$）,$d$表示相邻杆(转轴)两垂线的距离（杆件之间有高度（厚度），所以分别是$d_1$，$d_2$，$d_3$，$d_4$），$\theta$表示相邻坐标系之间的旋转角度（${\theta }_2$，${\theta }_3$，${\theta }_4$）

Example5：SCARA机器人

In-video Quiz：选D

其建立的坐标系和DH表如下图所示：

3-5 Actuator Joint and Cartesian Spaces

首先来介绍什么是Actuator Space、Joint Space、Cartesian Space，
执行器空间 (Actuator Space)：执行器空间指的是由机器人的执行器（如电机、液压缸等）的参数构成的空间。这些参数通常包括每个执行器的位置、速度或力矩等。
关节空间 (Joint Space)：关节空间是指由机械臂所有关节变量组成的向量空间。每个关节变量对应于一个关节的角度（旋转关节）或位移（棱柱关节），用于描述和控制系统内部状态，适用于需要精确控制每个关节的情况，比如路径规划中的关节轨迹生成。
笛卡尔空间 (Cartesian Space)：笛卡尔空间指的是以直角坐标系为基础的空间，用来描述机械臂末端执行器（夹爪、灵巧手等）的位置和姿态。位置通常用X、Y、Z三个坐标表示，而姿态可以通过欧拉角或者四元数来描述。描述了末端执行器相对于固定参考框架的位置和方向，
广泛应用于机器人编程和操作任务中，特别适合指定任务目标，如“将工具移动到特定点并保持某一方向”。
由关节角度得到末端位姿是正向运动学（Forward Kinematics, FK），由末端位姿到每个关节的角度是逆向运动学（Inverse Kinematics, IK），Actuator Space与Joint Space的参数是有转换关系的，如电机马达角度与关节角度之间存在映射关系。