1-1 导论

一个刚体的运动状态描述——空间当中的刚体用六个自由度描述，分别为X、Y、Z轴的移动和转动：
刚体的状态表达——在刚体上建立体坐标系，分别由体坐标系下的三个位置描述刚体的移动，体坐标系下的姿态描述刚体的转动：

1-2移动

以向量的形式描述刚体在世界坐标系下的位置，刚体各个分量的投影：

向量既可以表示点在空间中的位置（上一张图片），也可以表示方向

1-3转动

这里描述的是坐标系 {B}\{B\}{B} 相对于坐标系 {A}\{A\}{A} 的旋转关系。矩阵 $R$ 的三个列向量表示体坐标系下的 $X_B$、$Y_B$、$Z_B$ 轴分别在世界坐标系 $X_A$、$Y_A$、$Z_A$ 轴上的投影。Direction Cosines（方向余弦）表示一个向量与各坐标轴之间夹角的余弦值。因此，矩阵 $R$ 本质上是一个 Direction Cosine Matrix（方向余弦矩阵，DCM）：其每一列表示新坐标轴（$x^{\prime }$，$y^{\prime }$，$z^{\prime }$）在旧坐标系（$x$，$y$，$z$）中的表示。
$$R=\left[\begin{array}{ccc}\cos (x^{\prime },x)& \cos (x^{\prime },y)& \cos (x^{\prime },z)\\ \cos (y^{\prime },x)& \cos (y^{\prime },y)& \cos (y^{\prime },z)\\ \cos (z^{\prime },x)& \cos (z^{\prime },y)& \cos (z^{\prime },z)\end{array}\right]$$

Ex1：如下例子展示了方向余弦，{B}的$x^{\prime \prime }$在{A}中的投影为[0, 0, -1]‘，其他轴分别投影就有了旋转矩阵

Ex2: 同理{B}中的坐标轴分别投影到{A}当中，得到旋转矩阵

EX3：选B，x’‘轴是[0 0 -1]’，排除C和D，y’'轴投影到{A}中，由XOY平面投影图可知，在x上的投影为正，在y上的投影为负