六自由度全并联机器人结构控制优化设计

1 引言

并联机器人的优化设计旨在确定一组设计变量以满足最优性能准则。已有若干研究采用了不同的方法来涵盖并联机器人的优化设计，这些方法取决于所要优化的特性。在这些研究中，并联机器人的优化设计考虑了多种最优准则。

并联机器人应用的日益增多要求提高定位精度。为了实现这一目标，研究人员主要从两个方向开展工作：结构优化设计和控制系统设计。结构优化设计确定了设计变量机构以达到最优运动学准则，这些设计变量包括连杆长度或运动链。此外，控制系统设计应用先进控制技术对机器人进行运动控制，从而保证执行任务所需的足够动态性能。然而，最优结构设计和控制系统设计一直被分开处理。在大多数情况下，机器人的完整设计是顺序地进行的：首先是结构设计，最后是控制系统设计。

为了获得高运动学性能，该机构的结构设计已得到解决，一些研究通过以下方式解决了这个问题：提高运动学精度[1],提高刚度[2],减小动平台的位置误差[14],以及扩大所需的最大工作空间[15]。这些研究在设计过程中仅考虑了运动学方面的因素，然而，与动力学和控制相关的因素并未被纳入考虑。

控制系统的设计旨在改善动态行为，以提高机器人在轨迹跟踪精度性能方面的特定任务执行能力。因此，一些研究应用了先进基于模型的控制器来提升并联机器人的定位精度：如预测控制 [5,6], 、自适应控制 [7], 和迭代学习控制 [8], 等。然而，还需要进行额外的分析，以评估运动学特性如何影响受控并联机器人的动态响应，从而建立选择机构结构设计变量的附加准则。

机电一体化设计已被用作并联机器人优化设计的一种替代方法，该方法在设计过程中同时考虑系统的结构‐控制设计变量。机电一体化设计已应用于并联机器人[9–11]。Villareal‐Cervantes 等人 (2009)[9]提出了平面并联机器人的结构‐控制机电设计。Silva 等人 (2013) [10]通过使用机电设计概念实现了拾放机器人系统的优化设计。Villareal‐Cervantes 等人 (2013)[11]为平面并联机器人的机电一体化设计开发了一种鲁棒性公式。上述所有研究均针对平面并联机器人。然而，某些应用需要具有空间并联机构的高性能定位系统。

在此方向上，本文提出了一种同时优化结构‐控制设计变量的方法，以最大化Stewart‐Gough机器人的位置跟踪精度，从而提升整体性能。基于完整的模型与控制方法，定义了结构‐控制设计变量，该全局变量集由机构的设计变量与控制器的增益共同组成。采用PD控制器作为位置控制方案，并将跟踪位置误差表示为结构变量的函数。基于方差分解法进行敏感性分析，以量化结构变量和控制变量对跟踪精度的影响。该优化问题通过遗传算法求解。仿真结果表明，该最优设计方法有助于选择可提高定位精度的结构‐控制参数组合。

2 机器人建模

6‐UPS（万向‐棱柱‐球面）Stewart‐Gough 操作器，如图1（a）所示，具有六条相同的支腿（见图1（b）），通过在点 U处的万向节 Bi和在点 S处的球面关节 Pi（其中 i= 1，…，6）将固定基座与动平台相连。万向节和球面关节均为被动关节。每条支腿由上连杆和下连杆组成，通过一个主动棱柱关节 P连接，该关节可伸缩支腿。动平台具有六个自由度，包括三个平移和三个旋转运动。

2.1 结构建模

两个坐标系 {P}和 {B}分别固定在动平台和固定基座上。向量 bi=[bix biy biz] T描述了参考点 Bi相对于坐标系 {B}的位置；同样，向量pi=[pix pi y piz] T描述了参考点 Pi相对于参考坐标系 {P}的位置（见图 2）。

bi=[rb cos(ψi) rb sin(ψi) 0]T=[bix biy biz]T
pi=[rp cos(Ψ i) rp sin(Ψ i) 0]T=[pix piy piz]T
(1)

其中
ψi= iπ 3 − φb 2
Ψ i= iπ 3 − φp 2
i= 1, 3, 5
ψi= ψi−1+ φb
Ψ i=Ψ i−1+ φp
i= 2, 4, 6
(2)

根据公式(1)，斯图尔特‐高夫机构可通过四个结构设计参数定义： rb为固定基座的半径， rp为动平台的半径， φb为向量bi的间距角， φp为向量pi的 ̂间距角。 φb定义了 B2B3、 ̂ ̂ ̂ P6P1之间的间距角，如图2所示。最后， s将下连杆的长度设为支腿总长度的函数，因此上连杆的长度定义为 hdi = s.li，下连杆的长度为 hui =(1−s)li，其中 li为支腿的长度。

动平台和六条支腿的惯性特性被定义为结构参数的函数： rp， φp， rb， φb， s。斯图尔特‐高夫机构中刚体的几何形状被定义为圆柱体（见图1（a） 和（b））。

支腿的下连杆和上连杆的惯性矩阵是相对于坐标系{U}和{D}定义的（图1（b）），其质心分别为ru=[− 1 2 hu 0 0] T和rd=[12 hd 0 0] T。为了将所有刚体的惯性表示为结构参数的函数，需设定以下参数：动平台的厚度 h p、支腿上连杆的半径 au和下连杆的半径 ad，以及动平台 ρp和支腿 ρd的材料。支腿上部和下部构件的惯性张量分别为Mu和Md。

Iu=
⎡ ⎣
1 2 mu.a2u 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤ ⎦
(3)

Id=
⎡ ⎣
1 2 md.a2d 0 0
0 1 0
0 0 1
⎤ ⎦
(4)

其中 mu= ρuhua 2 uπ 和 md= ρdhda 2 dπ。

动平台的质心位于坐标系{P}中。动平台的惯性张量Mp为：

Ip=
⎡ ⎣
1 0 0
0 1 0
0 0 1 2 mp.rp2
⎤ ⎦
(5)

其中 mp= ρpπrp2hp。

2.2 动力学模型

6‐UPS Stewart‐Gough 操作器的动力学方程通过牛顿‐欧拉方法以闭式推导得出，如下所示，表示在关节空间中：

f= J−1M(q)J−T q¨+ J−1[η(q, q˙)−M(q)J−T u]
(6)

其中
– f =[f1… f6] T ∈ R 6×1 是执行器力向量。
– J =[n1 … n6 p1 × n1… p6 × n6] ∈ R 6×6 是雅可比矩阵，其中 × 表示向量叉积，ni 是沿每条支腿的单位向量， i=＝1, ⋯, 6（见图1(b)）。
– q =[l1… l6] T ∈ R 6×1 是支腿长度向量。
– ˙q =[l˙1… l˙6] T ∈ R 6×1 是支腿速度向量。
– ¨q =[¨l1… ¨l6] T ∈ R 6×1 是支腿加速度向量。

– M= Mp +∑ 6 i=1 Mli ∈ R 6×6是考虑了六条支腿的惯性矩阵Mli和动平台的惯性矩阵Mp的总惯性矩阵。两项Mli和Mp均在固定坐标系{B}下定义。需要提到的是，动平台的惯性矩阵取决于Ip，如公式(5)所定义。此外，支腿的惯性矩阵 Mli，取决于之前在公式(3)和(4)中定义的上连杆惯性I{v27}和下连杆惯性I{v32}。

– η= ηplat+∑ 6 i=1 ηi ∈ R6×1 是动平台和每个支腿的科里奥利、重力、离心力向量以及关节处的粘滞摩擦力 for the 6 UPS.

– ηi=[ vi oi × vi − fi] T, where fi= cs(wi−ω), oi= Rpi and vi=(muni.u′4i+ cp l˙i − muni.g)ni − 1 li ni × u′ 5i.

– wi是支腿的角速度， ω是动平台的角速度，两个向量均用笛卡尔坐标表示。

– R是动平台的姿态矩阵，g是由于重力产生的加速度向量。

– cu、 cp、 cs 分别是万向、棱柱和球面关节。

– u′ 4i, u ′ 5i和u ∈ R6×1是与支腿加速度相关的表达式。

有关动力学方程建立的更多细节可在 [3]中获得。方程(6) 可以简化表示为：

A(q)q¨+ h(q, q˙)= f
(7)

其中 A(q) = J−1M(q)J−T 且 h(q ˙q) = J−1[η(q ˙q) − M(q)J−T u]。

并联机器人的动力学模型的几何、惯性和动力学特性完全由参数向量 λs ∈ R5× 1定义，假设定义几何结构、惯性和摩擦所需的所有参数均已知且固定，因此：

λs=[rp φp rb φb s] T
(8)

2.3 跟踪位置控制

如前所述，多种先进控制技术已应用于并联机器人的运动控制。然而，在本研究中，考虑采用PD关节空间控制器，因为将该控制器的增益作为控制设计变量较为直接。

六个独立的关节空间PD控制器用于跟踪期望轨迹，如图3所示。

假设每个执行器的期望轨迹由期望关节空间位置 qd 和速度 ˙qd 给出，这意味着该轨迹是可微且足够平滑的，则控制律为：

fc= KP(q d − q)+ KD(q˙ d − q˙)
(9)

其中KP= diag(kp1, . . . , kp6)，KD= diag(kd1, …, kd6)。值得注意的是，关节空间位置误差定义为e =[e1… e6]T ∈ R6× 1。根据[4], ，单个关节PD控制器的特征多项式为Δ(s) = s2+ kds/mi+ kp/mi，其中 s为拉普拉斯变量， mi为各支腿直线执行器所承受的最大质量，该质量依赖于式(7)中的A(q)。因此，当 mi= mp+ mu时出现最大质量，其中 mp为动平台的总质量， mu为支腿上部构件的质量。鉴于正在分析的是一个并联机器人， mi在六个关节上相等，因此可以假设六个PD控制器的比例和微分增益相同。此外，控制器的增益定义如下：

kp= miω 2 n
kd= mi2ξωn
(10)

其中ωn为自然频率， ξ为临界阻尼。轨迹跟踪位置控制器可通过向量 λc ∈ R 2× 1进行参数化。

λc=[kp kd] T
(11)

多种调节机器人操作臂PD控制器的方法得出结论：正增益可稳定机器人 [12]。此外，采用状态空间形式表述了机器人在PD控制器作用下的闭环动力学。

x˙= f(x, xd,λ, t)=[ q˙ −A−1(q)h(q, q˙)] +[ 0 −A−1(q)] fc
(12)

其中 ˙x=[˙qT ¨qT] T ∈ R12×1, xd=[qd T ˙qd T] T ∈ R12×1。并且， λ ∈ R7×1是由式(8)和(11)中描述的参数构成的结构‐控制设计变量向量。

λ=[λ T s λ T c] T =[rp φ p rb φb s k p kd] T
(13)

如公式(12)所示，Stewart‐Gough机器人的闭环动力学依赖于结构‐控制设计变量。此外，跟踪位置误差也将取决于结构‐控制参数， λ。

对于机器人的优化设计流程，应建立一个考虑结构‐控制设计变量的目标函数作为优化设计准则，以最小化机器人在期望轨迹上的轨迹跟踪位置。

2.4 目标函数

基于雅可比矩阵的性能指标已广泛应用于串联机器人的优化设计中，以提高其灵巧度和精度[13]。通过使用雅可比矩阵分析，可以确定斯图尔特‐高夫平台的奇异性轨迹。6‐UPS斯图尔特‐高夫平台是一种空间机构。传统雅可比矩阵表达了平移和旋转运动之间的耦合关系。传统雅可比矩阵的元素具有非齐次物理单位。因此，使用诸如雅可比矩阵条件数之类的性能指标可能导致缺乏物理意义 [14]。

运动静力性能指标可用于指示并联机器人接近奇异构型的情况，可作为基于雅可比矩阵[16]的指标的替代方法。借助运动静力性能指标可以表征工作空间中的奇异区域。当并联操作手接近奇异区域时，其刚度和运动传递质量会下降，从而影响机器人的位置精度。

此外，已证明通过此类奇异性轨迹的运动是可行的，并且还可以基于机器人的动力学来研究这些奇异性。然而，在运动过程中的这一特定条件下，位置精度显著下降[17]。因此，基于闭环动力学的性能准则适用于Stewart‐Gough机器人的优化设计。本文选择式(9)中PD位置控制器的跟踪位置误差作为目标函数，因为本研究的目的是提高机器人的位置跟踪精度。

将式(12)沿给定轨迹 xd积分，可得到机器人的实际闭环位置。因此，六条支腿的位置跟踪误差为e(λ)=(qd −q) ∈ R 6×1。需最小化的目标函数是通过六条支腿的均方根误差(RMSE)计算的总跟踪误差：

J= RMSE(e(λ))= 1 6 ∑ 6 i=1 √eTi ei
(14)

3 敏感性分析

前几节介绍了机器人建模、结构‐控制设计变量的参数化以及优化设计的目标函数。评估每个变量对机器人位置精度变化的独立影响将具有重要意义。此外，敏感性分析有助于理解每个设计变量在搜索空间内对满足最优准则的影响。

敏感性分析旨在确定公式(13)中每个结构‐控制变量对动态响应的影响。因此，该分析能够表明每个变量对动态响应变化的影响程度，特别是对机器人位置精度的影响。

在用于分析敏感性的各种方法中，基于方差的敏感性分析将模型输出的方差分解为与每个变量的变化相关的部分[18]。该方法能够通过基于蒙特卡洛模拟方法的概率框架，量化单个变量的变化对机器人动态响应的影响。此外，该方法适用于非线性模型，适合用于量化机器人的敏感性。

考虑如下形式的模型 y= f(λ)，其中 y为标量输出， λ=[λ1… λ7] T ∈ Rk× 1为设计变量向量。这些设计变量在单位超立方体内被视作独立且均匀分布，即 λi ∈[0, 1]，其中 i= 1,…, 7。 f(λ)可分解为：

y= f(λ)= f0+ ∑ 7 i=1 fi(λi)+ ∑ 7 i<j fij(λi, λj)+ ···+ f12…,7
(15)

方差表达式的分解为 [20]：

V(y)= ∑ 7 i=1 Vi+ ∑ 7 i<j Vij+ ···+ V12…7
(16)

其中Vi= Vλi(Eλ∼i(y|λi))、 Vij= Vλij(Eλ∼ij(y|λij))等； λij为从 λi的第 j行中提取的因子 λi的通用值。某一通用设计变量 λi的基于方差的一阶效应为：

Vλi( Eλ∼i(y|λi))
(17)

其中λi为第i个变量，λ∼i表示除 λi外所有变量的矩阵。内层期望运算的含义是，在保持 λi固定的情况下，对 λ∼i所有可能取值计算 y的均值。相应的敏感性度量称为一阶敏感性指数，其定义为：

si= Vλi( Eλ∼ i(y|λi)) / V(y)
(18)

si表示仅由 λi的变化所产生的效应，但需除以其他变量的变化。然而，总效应指数 sTi衡量了 λi对输出方差的贡献，包括其与其他任何输入变量相互作用的所有效应。

sTi= Eλ∼ i( Vλi(y |λ∼i)) / V(y) = 1 − Vλ∼ i( Eλ i(y |λ∼i)) / V(y)
(19)

sTi 衡量了考虑 λi 之间相互作用的总体效应。因此，将 Vλ∼ i( Eλ i( y|λ∼i)) 视为 λ ∼i 的一阶效应，进而 V(y) 减去 Vλ∼ i( Eλ i( y|λ∼i)) 表示方差分解中包含 λi 的所有项的贡献。

结合拉丁超立方采样的蒙特卡洛模拟[21]用于计算总效应指数。蒙特卡洛模拟需要在单位超立方体内生成λ的样本序列，这些随机分布的样本序列被应用于前述表达式中，以计算确定敏感性指数所需的因子。计算总敏感性指数所需进行的模型评估总次数为：

N= ns(k+ 1)
(20)

其中 k= 7为此项贡献，ns为蒙特卡洛样本数量[18]。

4 优化问题

本文的优化设计旨在根据动力学和几何约束，选择最优的结构‐控制设计变量。通过求解优化问题，以最小化在所需工作空间轨迹上的位置跟踪误差。出于实际考虑，将所需工作空间轨迹定义为动平台在 xyz轴上运动的圆形路径。相应的关节空间位置参考轨迹qd通过逆运动学模型获得。关节空间速度参考值 ˙qd与工作空间速度成正比，如[3,19]所述。此外，基于式(10)中定义的关节空间 PD控制器增益，设定关于微分增益的不等式约束 kd，以保证良好阻尼的闭环响应。用于选择并联机器人的结构‐控制设计变量 λ的优化问题如下：

min λ {J= RMSE(e(λ))}
subject to
rp, rb ∈[rmin, rmax]
φp ∈[φmin p , φmax p], φb ∈[φmin b , φmax b]
s ∈[smin, smax]
kp ∈[kpmin , kpmax], kd ∈[kdmin , kdmax]
mi2ξmin√k p < kd< mi2ξmax√k p
fc ∈[fmin c , fmax c]
∀q ∈ q d, ∀ q˙ ∈ q˙ d
(21)

元启发式算法已成功应用于非线性与约束问题的优化，以寻找全局最小值。因此，该优化问题通过使用遗传算法求解 [22]。

4.1 遗传算法

遗传算法（GAs）是基于自然选择和自然遗传机制的启发式搜索算法，最初由 [22]提出。GAs 是用于解决工程问题的高性能且鲁棒的优化方法。

一般来说，遗传算法具有四个基本特征：(i) 问题解的遗传表示；(ii) 创建初始解种群的方法；(iii) 针对下一代种群的选择机制，以及通过评价函数根据适应度对解进行评估；(iv) 在繁殖过程中改变遗传祖先的遗传算子。遗传算法流程图如图4所示。

遗传算法从一组初始的随机解开始，这组解称为种群。种群中的每个个体即为一条染色体，代表问题的一个潜在解。编码是染色体的遗传表示形式。在评估过程中，为每个个体分配一个适应度值。选择某些个体作为父代，这些父代将贡献于下一代种群。种群中的一些个体经历遗传操作，通过随机变换生成新的个体。遗传操作有两种类型：交叉和变异。交叉通过组合两个父代的部分来产生新个体；变异则通过随机改变染色体特征以保证种群的遗传多样性。种群产生的新个体称为后代。通过从当前种群和后代种群中选择适应度更高的个体，形成新的种群。经过称为“代”的连续迭代后，算法收敛至最优个体，该个体有望代表问题的最优解。

5 仿真结果

本节展示了敏感性分析和优化设计的结果。对于所提出的优化问题，敏感性分析有助于评估设计变量在搜索空间内对目标函数的影响。

表1。模型参数。

ρp	ρl	au	ad	hp	cu	cp	cs
7874 千克/立方米³	2697 千克/立方米³	0.03 米	0.03 m	0.01 m	1×10⁻⁴ Ns/m	0.001 Ns/m	2×10⁻⁴ Ns/m

如第2.2节所述，表1中的模型参数应被施加以完全定义机器人动力学方程的参数，这些参数是结构‐控制设计变量的函数 λ。仿真使用MATLAB实现。

5.1 敏感性分析

基于第2节中提出的受控Stewart‐Gough机器人模型进行敏感性分析。该分析是在给定的圆形工作空间轨迹上进行的（见图6），但也可考虑其他任意轨迹。结构‐控制设计变量 λ （见公式(13)）的总效应指数通过第3节所述的基于方差的敏感性分析方法计算得到。

在结构‐控制设计变量的特定边界内进行敏感性分析 λ。结构变量的边界定义应覆盖最优结构变量可能包含的范围，同时需考虑物理、制造和装配限制来确定这些边界。另一方面，PD控制器的控制设计变量必须为正，以确保机器人稳定；然而，控制增益应加以限制，以约束控制 effort。本文根据第2节中提出的机器人建模以及表1中的模型参数，定义了结构变量的限值。此外，根据式 (10)的定义，针对 ωn= 100rad/s,ξ= 1.2和 mi= 15.2kg设定了控制器增益的上限；因此：

rp , rb ∈[0.2m, 0.6m]
φp ∈[60°, 120°], φb ∈[0°, 60°]
s ∈[0.3, 0.7]
kp ∈[0, 152000], kd ∈[0, 3648]
(22)

为了进行敏感性分析，将 λ的每个设计变量建模为正态分布随机变量。均值 λi 和标准偏差, σi²，中每个正态随机变量的 N（λi， σi²）被选择，以生成位于由公式（22）的边界所定义的限值内的变量随机值。

表2. 正态随机变量的参数。

	rp[米]	φp[°]	rb[米]	φb[°]	s	kp	kd
λi	0.4	90	0.4	30	0.5	75000	1824
σi	0.0667	10	0.0667	10	0.0667	50666	216

进行敏感性分析所需的蒙特卡洛样本计算次数固定为 ns= 100，以确保获得精确解，如先前的收敛性分析所述，该分析验证了增加样本数量 ns后，解的数值精度并未得到改进[21]。考虑到 k= 7个设计变量，模型评估总次数为 N= 800，根据公式(20)。

设计变量的总效应指数 λ在圆形轨迹下的情况如图5(a)所示。可以看出，位置精度对PD位置控制器的比例增益 kp比其他变量更为敏感。这是合理的，因为位置误差与此增益成反比。然而，在结构变量中，动平台半径 rp表现出显著的敏感性（见图5(b)）。

总效应指数。)
缩放。)

为了确定结构变量对于前述分析中相同圆形轨迹的敏感性，将控制变量视为常数。控制的常数值为其均值 kp 和 kd，见表2。图6显示了圆形参考轨迹以及使用蒙特卡洛样本的结构变量所得出的轨迹。这表明，即使控制器增益为常数，位置精度对结构设计变量也非常敏感。

圆形轨迹的结构设计变量总效应指数如图7所示，同时 kp和 kd保持固定。这表明位置精度对动平台半径具有高度敏感性， rp，如图5（b）的敏感性分析所示，因为 rp相较于其他结构设计变量，更直接地增大了动平台的定位误差。定平台半径、动平台与定平台的间距角表现出不重要的敏感性，原因是雅可比矩阵依赖于这些设计变量。支腿的上部和下部构件长度敏感性较低，因此构件长度变化对位置精度的影响较小。

5.2 优化

对式(13)中的结构‐控制设计变量向量 λ进行优化，以在给定的工作空间轨迹 （见图6）上获得最小的均方根误差，即最大化位置精度。设计变量的约束由制造公差和执行器的最大功率限制。该优化问题表述如下：

min λ{J= RMSE(e(λ))}
subject to
rp, rb ∈[0.2m, 0.6m]
φp ∈[60°, 120°], φb ∈[0°, 60°]
s ∈[0.3, 0.7]
kp ∈[0, 152000], kd ∈[0, 3648]
24.32√kp< kd< 36.48√kp
fc ∈[−50N, 50N]
∀q ∈ qd, ∀ q˙ ∈ q˙d
(23)

该优化问题的约束等于方程(22)中定义的边界。此外，ξmin= 0.8和 ξmax= 1.2用于定义 kd的不等式约束。遗传算法优化算法的参数来源于先前的研究成果[1]。这些参数如表3所示。

表3. 遗传算法中使用的参数。

参数	GA
最大迭代次数	100
种群大小	70
交叉概率	0.5
变异率	0.08

为了评估式(23)优化问题的解，图8展示了使用遗传算法优化算法时目标函数随代的演化情况。当采用遗传算法优化方法时，目标函数在55代后收敛，其值为RMSE(e)= 0.2436×10⁻³ m，目标函数共计算了3920次，其中有394次出现了奇异性条件。

表4. 优化结果：最优结构‐控制设计变量

遗传算法	rp[m]	φp[°]	rb[米]	φb[°]	s	kp	kd
	0.21	88	0.2642	90.106	1.4077	99864	2800.3

优化算法选择了轨迹，以避免接近奇异区域的构型，并考虑了机器人的闭环动力学。因此，优化的结构变量在运动过程中最小化了位置精度的降低。

基于敏感性分析，可以考虑向量中的最敏感的设计变量 Λ=[rp kp kd] T，以便仅使用最敏感的设计变量进行优化。认为其他设计变量取表2中所示的平均值，因此， φp=90°， rb= 0.4m， φb= 30°和 s= 0.5。这样，优化问题被简化为：

min Λ {J= RMSE(e(Λ))}
subject to
rp ∈[0.2m, 0.6m]
kp ∈[0, 152000], kd ∈[0, 3648]
24.32√k p < kd< 36.48√k p
fc ∈[−50N, 50N]
∀q ∈ q d, ∀ q˙ ∈ q˙ d
(24)

通过使用遗传算法求解式（24）的优化问题。目标函数在51代后收敛，其值为RMSE（e）= 0.3010×10⁻³m，在此过程中目标函数共计算了1560次，其中有40次出现奇异性条件。得到的最优设计变量为 Λopt=[0.2710m 98388 2888] T。可以观察到次优解 Λopt，与考虑所有设计参数的表4中的最优解相比是可接受的；尽管次优 RMSE(Λopt) 大于 RMSE(λopt)，但在优化解过程中目标函数的计算次数更少，即通过最敏感的设计变量求解优化问题降低了计算强度。

附加仿真 λ0用于评估机器人在初始 λopt结构‐控制变量（通过遗传算法获得，见表4）以及次优解Λopt下的性能。在这些仿真中，采用图6中的圆形参考轨迹来评估：工作空间误差、关节空间误差以及支腿中的力。

正如预期，图9显示，使用通过遗传算法优化获得的最优结构‐控制设计变量 λopt，相较于初始设计变量 λ0，关节空间误差被最小化。该结果表明式（23）的优化问题已得到正确求解。此外，最优λopt和次优 Λopt设计变量表现出相似的性能。

图10显示，使用最优结构‐控制设计变量可以最小化圆形轨迹上的工作空间误差 λopt。如图10所示，工作空间误差的减小主要体现在动平台的姿态方面。然而，由于工作空间参考轨迹接近奇异构型，工作空间误差的最小化效果小于关节空间误差（见图9）。

最后，利用获得的最优控制‐结构设计变量对执行器力进行了评估， λopt。执行器力即为机器人控制。图11显示，在整个运动过程中，每个执行器力的幅值也有所降低。此外，验证了每个执行器的力均保持在式（23）优化问题所施加的约束范围内。

6 结论

本文提出了一种优化设计流程，旨在最大化在给定轨迹上的跟踪精度。通过该方法，可同时确定Stewart‐Gough机器人的结构‐控制设计变量。采用此方法，综合考虑了机器人的动力学和运动学特性，实现了最优性能，并最大程度地提高了定位精度。

敏感性分析表明，结构‐控制设计变量的变化对机器人位置精度具有影响。特别是，机构的结构变量对机器人位置精度表现出显著的敏感性。

元启发式优化算法已显示出是一种直接的优化工具，可用于求解该最优设计问题中的最优结构‐控制设计变量。

后续工作将涵盖考虑先进控制器（如预测控制）的并联机器人优化。