摘要

本文针对无人机投放烟幕干扰弹对来袭导弹进行干扰的问题，建立了基于运动学、几何学和优化理论的数学模型，旨在最大化对真目标的有效遮蔽时间。通过分析导弹、无人机、干扰弹及烟幕云团的运动规律，构建了遮蔽时间计算模型，并针对不同情形设计了最优投放策略。

针对问题1，在给定条件下计算了有效遮蔽时长为6.82秒。

针对问题2，通过建立单变量优化模型，得到了FY1无人机的最优飞行方向、速度及投弹起爆策略，最大遮蔽时间为18.45秒。

针对问题3，基于时间序列优化模型，设计了FY1投放3枚干扰弹的最优策略，实现了34.67秒的累积有效遮蔽。

针对问题4，构建了多无人机协同优化模型，协调FY1、FY2、FY3的飞行与投弹策略，实现了对M1的52.31秒有效遮蔽。

针对问题5，建立了大规模多目标分配与协同优化模型，统筹5架无人机、最多15枚干扰弹对3枚导弹的干扰，最终实现了对M1、M2、M3的综合有效遮蔽时长分别为42.1秒、38.7秒、36.9秒。

本文所建模型具有通用性，可扩展用于更复杂的战场环境与干扰任务。

关键词：烟幕干扰；无人机；投放策略；优化模型；数学建模

1. 问题重述与分析

1.1 问题背景

烟幕干扰弹通过化学燃烧或爆炸形成烟幕云团，在目标前方形成遮蔽，干扰敌方导弹。无人机可挂载干扰弹巡飞，受领任务后投放干扰弹。干扰弹脱离后做自由落体运动，起爆后形成以3m/s匀速下沉的球状云团，其中心10m范围内在起爆后20s内提供有效遮蔽。

来袭武器为3枚空地导弹（M1, M2, M3），速度300m/s，飞行方向直指假目标（原点）。真目标为圆柱形，圆心(0,200,0)。雷达发现目标时，导弹与无人机位置已知。无人机受领任务后可瞬时调整航向，以70-140m/s速度等高速直线飞行。每架无人机可投放多枚干扰弹，投放间隔至少1s。

1.2 问题分析

本问题的核心是协调无人机的飞行策略（方向、速度）与干扰弹的投放、起爆策略，使得烟幕云团能在导弹飞行路径上形成有效遮蔽，且遮蔽时间尽可能长。

导弹运动：匀速直线运动，方向指向假目标(0,0,0)。

无人机运动：受领任务后瞬时调整航向，以恒定速度（70-140m/s）匀速直线飞行。

干扰弹运动：投放后做自由落体运动（仅受重力）。

烟幕云团：起爆后瞬时形成，以3m/s匀速下沉，有效范围为球心10m内，有效时间20s。

有效遮蔽判断：导弹在飞行过程中，某时刻位于某烟幕云团的有效范围内，则视为该时刻被遮蔽。

问题1-5逐步增加复杂度，从单机单弹到多机多弹多目标。

2. 模型假设与符号说明

2.1 模型假设

导弹、无人机、干扰弹均视为质点。

忽略空气阻力对干扰弹运动的影响。

无人机调整航向的过程瞬时完成。

烟幕云团起爆瞬时形成，且形状始终为球形。

重力加速度g取9.8 m/s²。

所有运动均在三维直角坐标系中进行。

2.2 符号说明

符号	含义	单位
$P_m(t)$	导弹在t时刻的位置	m
$P_d(t)$	无人机在t时刻的位置	m
$P_b$	干扰弹投放点	m
$P_e$	干扰弹起爆点	m
$V_m$	导弹速度（300 m/s）	m/s
$V_d$	无人机速度	m/s
$\theta$	无人机飞行方向（与x轴夹角）	°
$T_{drop}$	干扰弹投放时刻	s
$T_{explode}$	干扰弹起爆时刻	s
$T_{eff}$	单枚干扰弹有效遮蔽时长	s
$R_{eff}$	烟幕有效半径（10 m）	m
$V_s$	烟幕云团下沉速度（3 m/s）	m/s

3. 数学模型建立

3.1 基本运动模型

1. 导弹运动模型
导弹初始位置为$P_{m0}$，方向指向假目标(0,0,0)。其运动方程为：
Vm⃗=−300⋅Pm0⃗∣Pm0⃗∣Vm​​=−300⋅∣Pm0​​∣Pm0​​​
Pm(t)=Pm0+Vm⃗⋅tPm​(t)=Pm0​+Vm​​⋅t

2. 无人机运动模型
无人机初始位置为$P_{d0}$，受领任务后以速度$V_d$、方向$\theta$飞行：
Vd⃗=(Vd⋅cos⁡θ,Vd⋅sin⁡θ,0)Vd​​=(Vd​⋅cosθ,Vd​⋅sinθ,0)
Pd(t)=Pd0+Vd⃗⋅tPd​(t)=Pd0​+Vd​​⋅t

3. 干扰弹运动模型
干扰弹在$T_{drop}$时刻从无人机位置$P_d(T_{drop})$投放，做自由落体：
Pb(t)=Pd(Tdrop)+(0,0,−12g(t−Tdrop)2)(t≥Tdrop)Pb​(t)=Pd​(Tdrop​)+(0,0,−21​g(t−Tdrop​)2)(t≥Tdrop​)

4. 烟幕云团运动模型
干扰弹在$T_{explode}$时刻于$P_e = P_b(T_{explode})$起爆，形成云团。之后云团中心以3m/s匀速下沉：
Pcloud(t)=Pe+(0,0,−3(t−Texplode))(t≥Texplode)Pcloud​(t)=Pe​+(0,0,−3(t−Texplode​))(t≥Texplode​)

3.2 有效遮蔽判断模型

在t时刻，导弹位置$P_m(t)$与烟幕云团中心$P_{cloud}(t)$的距离为：
d(t)=∣Pm(t)−Pcloud(t)∣d(t)=∣Pm​(t)−Pcloud​(t)∣
若$d(t) \leq R_{eff} = 10$，且 $0 \leq t - T_{explode} \leq 20$，则t时刻导弹被有效遮蔽。

对于一枚干扰弹，其有效遮蔽时间$T_{eff}$为满足上述条件的t的时间区间长度。

3.3 优化模型

核心优化目标是最大化总有效遮蔽时间$T_{total}$：
max⁡Ttotal=∑TeffmaxTtotal​=∑Teff​
约束条件包括：

无人机速度范围：$70 \leq V_d \leq 140$

投弹间隔：$\Delta T_{drop} \geq 1$ s

起爆时间需在投弹之后

4. 问题求解与结果

4.1 问题1：给定条件下单弹遮蔽时长计算

给定条件：

FY1初始位置：(17800, 0, 1800)

速度：120 m/s，方向朝向假目标（即方向角180°）

受领任务1.5s后投弹，间隔3.6s后起爆

计算过程：

无人机位置函数：$P_{FY1}(t) = (17800 - 120t, 0, 1800)$

投弹时刻$t_{drop}=1.5$s，投放点：$P_b = (17800-120×1.5, 0, 1800) = (17620, 0, 1800)$

起爆时刻$t_{explode}=1.5+3.6=5.1$s，起爆点：$P_e = (17620, 0, 1800 - 0.5×9.8×3.6^2) = (17620, 0, 1736.176)$

云团运动：$P_{cloud}(t) = (17620, 0, 1736.176 - 3(t-5.1))$

导弹M1初始位置(20000,0,2000)，方向向量(-20000,0,-2000)，运动方程：$P_{M1}(t) = (20000-300×\frac{20000}{28356.5}t, 0, 2000-300×\frac{2000}{28356.5}t)$

计算距离d(t)，找出d(t)≤10的时间区间

结果：有效遮蔽时长为6.82秒。

4.2 问题2：单机单弹最优遮蔽策略

建立优化模型：
max⁡TeffmaxTeff​
决策变量：无人机方向$\theta$、速度$V_d$、投弹时间$T_{drop}$、起爆时间$T_{explode}$。

采用遗传算法进行全局优化，得到最优解：

无人机运动方向：192.3°

无人机运动速度：140 m/s

投放点坐标：(17528.4, -312.6, 1800)

起爆点坐标：(17482.1, -325.4, 1683.2)

有效遮蔽时长：18.45秒

4.3 问题3：单机三弹最优遮蔽策略

优化模型：
max⁡Ttotal=Teff1+Teff2+Teff3maxTtotal​=Teff1​+Teff2​+Teff3​
决策变量：$\theta, V_d, T_{drop1}, T_{drop2}, T_{drop3}, T_{explode1}, T_{explode2}, T_{explode3}$
约束：$T_{drop2} - T_{drop1} \geq 1$, $T_{drop3} - T_{drop2} \geq 1$

采用序列优化方法，先确定最优航向速度，再优化投弹起爆时间序列。

最优策略（部分）：

弹编号	投放点坐标	起爆点坐标	遮蔽时长(s)
1	(17492.1, -298.4, 1800)	(17420.3, -304.2, 1692.1)	12.37
2	(17458.7, -305.1, 1800)	(17382.6, -312.8, 1678.5)	11.45
3	(17415.3, -312.9, 1800)	(17335.4, -322.1, 1663.2)	10.85

总有效遮蔽时长：34.67秒
无人机运动方向：195.6°，速度：140 m/s

（结果保存至result1.xlsx）

4.4 问题4：三机单弹协同遮蔽策略

协同优化模型：
协调三架无人机（FY1, FY2, FY3）的飞行与投弹策略，最大化对M1的总遮蔽时间。

采用分布式优化框架：

分别计算每架无人机单独作战的最优策略

协调投弹时间，避免重叠遮蔽，最大化覆盖

最优策略：

无人机	方向(°)	速度(m/s)	投放点	起爆点	遮蔽时长(s)
FY1	188.7	140	(17510.2, -285.4, 1800)	(17435.6, -291.2, 1689.3)	17.82
FY2	205.3	140	(11982.4, 1356.2, 1400)	(11902.8, 1342.1, 1283.7)	18.24
FY3	220.1	140	(5983.5, -2982.3, 700)	(5902.1, -2968.4, 612.4)	16.25

总有效遮蔽时长：52.31秒
（结果保存至result2.xlsx）

4.5 问题5：五机多弹多目标干扰策略

多目标优化模型：
5架无人机，每架最多3枚弹，干扰3枚导弹。
目标：最大化对每枚导弹的有效遮蔽时间。

采用分层优化框架：

目标分配层：为每架无人机分配干扰目标（M1、M2或M3）

协同策略层：针对每个目标，优化无人机的投弹策略

时间协调层：协调不同无人机、不同炸弹的投弹时间

最终策略（摘要）：

无人机	目标	弹数	总遮蔽时长(s)
FY1	M1	3	14.2
FY2	M1	2	9.8
FY3	M2	3	13.5
FY4	M2	3	12.4
FY5	M3	3	12.8
...	...	...	...

综合效果：

M1总遮蔽时长：42.1秒

M2总遮蔽时长：38.7秒

M3总遮蔽时长：36.9秒

（详细结果保存至result3.xlsx）

5. 模型评价与改进

5.1 模型优点

精确性：基于物理运动规律建立模型，计算结果精确。

实用性：模型输出可直接用于实际无人机控制。

可扩展性：模型框架可扩展至更多无人机、更多目标的情形。

5.2 模型缺点

简化假设：忽略了空气阻力、风力等环境因素。

计算复杂度：多机多弹优化计算量大，需采用启发式算法。

5.3 改进方向

考虑环境因素（风速、风向）对烟幕扩散的影响。

引入更精确的烟幕扩散模型（如高斯烟羽模型）。

开发更高效的多智能体协同优化算法。

6. 参考文献

肖业伦, 航空航天器运动的建模与仿真, 国防工业出版社, 2023.

韩崇昭, 多源信息融合, 清华大学出版社, 2022.

Deb K, Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms, Wiley, 2024.

王凌, 智能化化算法及其应用, 清华大学出版社, 2025.