函数曲线长度的计算方法

麦克斯韦的妖精

20748人浏览 · 2019-11-14 15:14:52

麦克斯韦的妖精 · 2019-11-14 15:14:52 发布

有些情况下，我们需要知道曲线上两个点之间在曲线上的测地距离。例如，在下图的二次函数曲线中，我们想知道从点（2，4）沿着曲线到点（8,64）要走的路程。

对此，我们可以将对应的函数区间划分为多个小的区间，每个小区间上两个端点之间的函数曲线长度可以用两个端点之间欧氏距离来代替，我们要求的图中两个点之间的曲线长度，就可以近似为划分的小区间端点之间欧氏距离之和。而当我们划分的小区间有无穷多个的时候，二者相等。所以，这个问题可以用定积分来进行求解。

如下图所示，图中蓝色曲线是函数曲线，红色线段是用来近似函数曲线的线段。

则红色线段的长度 $\hat{L}$ 可以近似为

$\hat{L}=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{(dx)^2+(dx\cdot f'(x))^2}=\sqrt{1+(f'(x))^2}\cdot dx$

所以曲线的长度 $L$ 可以表示为

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$

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