DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是基于密度的聚类算法，核心优势是能发现任意形状的聚类、自动识别离群点，无需提前指定聚类数量，这是 K-Means 等基于距离的聚类算法做不到的。

一、核心概念

        DBSCAN 用 “密度” 定义聚类：聚类是空间中密度相连的点的集合，噪声是密度过低的孤立点。

1. 两个超参数

DBSCAN 仅需两个人工设置的超参数，是参数极少的聚类算法：

• ε（Epsilon，邻域半径）：以某个点为中心，半径为 ε 的圆形区域，称为该点的ε- 邻域（二维）和ε- 球（高维）。
• MinPts（最小点数）：一个点的 ε- 邻域内至少包含的点数，其中包括自身，是判断点类型的核心阈值。

2. 三种点的类型

DBSCAN 将数据集中的点分为 3 类，点的类型决定了聚类的生成逻辑：

1. 核心点（Core Point）：若点p的 ε- 邻域内的点数 ，则p为核心点。核心点是聚类的 “种子”，是密度聚类的核心支撑。
2. 边界点（Border Point）：若点q的 ε- 邻域内的点数，但q落在某个核心点的 ε- 邻域内，则q为边界点。边界点是聚类的 “边缘”，依附于核心点存在。
3. 离群点（噪声点，Noise Point）：既不是核心点、也不是边界点的点，即：ε- 邻域内点数 ，且不落在任何核心点的 ε- 邻域内。噪声点是算法自动识别的无效点。

3. 两个密度关系

点与点之间的密度关系，是连接成聚类的 “纽带”，决定了哪些点属于同一个聚类：

1. 直接密度可达：若点q在核心点p的 ε- 邻域内，则称q从p直接密度可达，仅核心点能触发该关系。
2. 密度相连：若存在点o，使得点p和点q都从o密度可达，则称p和q密度相连。

4. 聚类的定义

DBSCAN 中，一个聚类是满足以下两个条件的最大点集：

1. 密度相连性：聚类内任意两点都密度相连；
2. 最大性：聚类外的点与聚类内的点都不密度相连。

        总结：聚类是由核心点及其密度可达的所有点组成的集合，边界点依附核心点存在，噪声点无任何核心点支撑。

二、数学公式

        设数据集为，其中为 d 维空间中的数据点，n为样本数；

        设距离函数为（常用欧氏距离，DBSCAN 可兼容任意距离函数，如曼哈顿、余弦距离）；

        超参数：邻域半径ε>0，最小点数MinPts≥2，可以记作一般 MinPts≥维度 + 1，如二维数据 MinPts≥3）。

1. 点p的 ε- 邻域

解释：表示数据集中所有与p的距离≤ε 的点的集合，集合的元素个数记为∣Nε​(p)∣。

2. 核心点

p 是核心点  ⟺  

解释：ε- 邻域内的点数以及自身点≥MinPts，p即为核心点。

3. 直接密度可达

q 从 p 直接密度可达⟺p 是核心点 且 q∈Nε​(p)；

解释：仅核心点能让其他点直接密度可达，边界点（噪声点）无法触发该关系。

4. 密度可达

        若存在点序列，使得从直接密度可达（i=0,1,...,m−1），则称q从p密度可达。

记为p⟶ε,MinPts​q

解释：直接密度可达的传递闭包，核心点 A 的 ε- 邻域内的核心点 B，其 ε- 邻域内的点 C，从 A 密度可达。

5. 密度相连

        若存在点o∈D，使得p从o密度可达且q从o密度可达，则称p和q密度相连。

        解释：密度相连的点共享同一个 “核心点祖先”，属于同一个聚类。

6. 噪声点

        p 是噪声点⟺∄核心点 o∈D, 使得 p∈Nε​(o)。

        解释：不存在任何核心点，使得p落在其 ε- 邻域内，p即为噪声点。

三、数学计算

模块一：导入必须库

import numpy as np  # 数值计算，处理数组（核心）
import matplotlib.pyplot as plt  # 数据可视化--二维聚类展示

模块二：DBSCAN 类的初始化方法

1. 超参数仅eps和min_pts，是 DBSCAN 的核心；
2. labels_遵循 sklearn 接口规范，方便用户习惯；
3. cluster_id用于标记不同聚类，每生成一个新聚类，ID 自增 1。

def __init__(self, eps, min_pts):
    self.eps = eps  # 保存邻域半径ε
    self.min_pts = min_pts  # 保存最小点数MinPts
    self.labels_ = None  # 存储聚类标签，sklearn风格命名（下划线结尾表示训练后生成）
    self.cluster_id = 0  # 聚类ID计数器，从0开始

模块三:欧氏距离计算

def _euclidean_distance(self, p, q):
    return np.sqrt(np.sum((p - q) ** 2))

模块四：获取 ε- 邻域

• 核心辅助方法：根据索引找到目标点的所有 ε- 邻域点索引，存储索引比存储点本身更高效，尤其高维数据；
• 输入X是n×d的 numpy 数组，n 样本数，d 维度，p_idx是目标点的索引；
• 输出是邻域内所有点的索引列表，列表长度即为∣Nε​(p)∣。

def _get_epsilon_neighborhood(self, X, p_idx):
    neighbors = []  # 存储邻域内点的索引（而非点本身，节省内存）
    p = X[p_idx]    # 取出目标点p
    for q_idx in range(X.shape[0]):  # 遍历所有点
        # 计算p和q的距离，≤eps则加入邻域
        if self._euclidean_distance(p, X[q_idx]) <= self.eps:
            neighbors.append(q_idx)
    return neighbors

模块五：拟合方法

def fit(self, X):
    n = X.shape[0]  # 样本数n
    # 初始化标签数组：全-1（噪声），int类型
    self.labels_ = np.full(shape=n, fill_value=-1, dtype=int)
    # 初始化访问标记数组：全False（未访问），bool类型
    visited = np.full(shape=n, fill_value=False, dtype=bool)

    # 遍历每个点，按顺序处理
    for p_idx in range(n):
        if visited[p_idx]:  # 已访问的点直接跳过，避免重复处理
            continue
        visited[p_idx] = True  # 标记为已访问
        neighbors = self._get_epsilon_neighborhood(X, p_idx)  # 找ε-邻域

        # 情况1：邻域点数<min_pts → 噪声点，标签保持-1
        if len(neighbors) < self.min_pts:
            self.labels_[p_idx] = -1
        # 情况2：邻域点数≥min_pts → 核心点，扩展生成新聚类
        else:
            self._expand_cluster(X, p_idx, neighbors, visited)
            self.cluster_id += 1  # 聚类生成后，ID+1

模块六：聚类扩展方法

        这是 DBSCAN 的核心实现，负责循环吸收所有密度可达的点，用列表模拟队列实现循环扩展，比递归更稳定，避免栈溢出：

def _expand_cluster(self, X, p_idx, neighbors, visited):
    # 第一步：将核心点分配到当前聚类（cluster_id）
    self.labels_[p_idx] = self.cluster_id
    # 用列表实现队列，i为队列指针，从0开始遍历
    i = 0
    while i < len(neighbors):
        q_idx = neighbors[i]  # 取出队列中的第i个点q
        # 若q未访问，先标记为已访问，并检查是否为核心点
        if not visited[q_idx]:
            visited[q_idx] = True
            q_neighbors = self._get_epsilon_neighborhood(X, q_idx)  # 找q的ε-邻域
            # 若q是核心点，将其邻域加入队列，继续扩展（密度可达）
            if len(q_neighbors) >= self.min_pts:
                # 集合去重→列表，避免队列中出现重复索引，节省计算
                neighbors = list(set(neighbors + q_neighbors))
        # 若q未分配聚类（标签-1），分配到当前聚类
        if self.labels_[q_idx] == -1:
            self.labels_[q_idx] = self.cluster_id
        # 指针后移，处理下一个点
        i += 1

模块七：测试代码

if __name__ == "__main__":
    from sklearn.datasets import make_moons, make_blobs
    np.random.seed(42)  # 固定随机种子，结果可复现
    X1, _ = make_moons(n_samples=200, noise=0.05)  # 两个月牙形（非凸）
    X2, _ = make_blobs(n_samples=100, centers=[[1, 1]], cluster_std=0.1)  # 高斯凸聚类
    X = np.vstack([X1, X2])  # 合并数据
    noise = np.random.randn(30, 2) * 0.5 + [0, 2]  # 30个随机噪声点
    X = np.vstack([X, noise])

    # 初始化DBSCAN，训练
    dbscan = DBSCAN(eps=0.15, min_pts=5)
    dbscan.fit(X)
    labels = dbscan.labels_

    # 可视化
    plt.figure(figsize=(10, 6))
    # 绘制聚类点
    for cluster in set(labels) - {-1}:
        mask = labels == cluster
        plt.scatter(X[mask, 0], X[mask, 1], label=f'Cluster {cluster}', s=50)
    # 绘制噪声点（黑色×）
    plt.scatter(X[labels==-1, 0], X[labels==-1, 1], c='black', marker='x', label='Noise', s=50)
    plt.title('DBSCAN Clustering Result', fontsize=14)
    plt.xlabel('Feature 1')
    plt.ylabel('Feature 2')
    plt.legend()
    plt.grid(alpha=0.3)
    plt.show()

    # 输出聚类统计信息
    n_clusters = len(set(labels)) - (1 if -1 in labels else 0)
    n_noise = list(labels).count(-1)
    print(f"检测到的聚类数：{n_clusters}")
    print(f"检测到的噪声点数：{n_noise}")

运行结果

检测到的聚类数：36
检测到的噪声点数：32

四、结语

• DBSCAN 是基于密度的聚类，用ε- 邻域和MinPts定义密度，将点分为核心点、边界点、噪声点；
• 聚类由核心点及其所有密度可达的点组成，边界点依附核心点，噪声点无核心点支撑；
• 核心逻辑是核心点的 ε- 邻域扩展，将所有密度相连的点纳入同一个聚类。

感谢大家的观看！如果有不足，请大家的批评指正！