前言

• 🎮 GAMES101 是国内相当有名的图形学公开课。这门课以十分生动的方式带我们进入了图形学这个领域的大门。项目相关资源在：https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/games101.html。
• 本 📒笔记为 🖊️笔者在自学过程中整理的 🇨🇳中文版笔记，供各位 📖读者阅读 😼～

一、计算机图形学概述

1.1 什么是计算机图形学？（What is Computer Graphics?）

  计算机图形学（Computer Graphics）是利用计算机合成和处理视觉信息的学科。简单来说，就是通过计算机技术创造、修改和呈现 “看得见的内容”，小到一个像素，大到一个虚拟世界，都属于它的研究范畴。

1.2 为什么要学习计算机图形学？（Why study Computer Graphics?）

  🌟 应用角度（Applications）

  计算机图形学的应用早已渗透到各行各业，以下是典型场景：

• 电子游戏：如《只狼：影逝二度》（2019 年年度游戏）、《无主之地 3》（2019 年），游戏中的角色、场景、光影都是图形学技术的体现。
• 电影与动画：《黑客帝国》（1999 年）的 “子弹时间”、《阿凡达》（2009 年）的潘多拉星球、《疯狂动物城》（2016 年）的动物毛发与场景、《冰雪奇缘 2》（2019 年）的冰雪特效，均依赖图形学实现逼真视觉效果。
• 设计领域：
  • 产品设计：Autodesk 等工具用图形学呈现设计方案；
  • 电商与出版：宜家 75% 的产品目录是通过图形学渲染生成的（而非实拍），节省成本且灵活。
• 数据可视化：将复杂数据转化为直观图表，如 Tableau 软件呈现的 “2005-2011年就业增长数据”，广泛用于科学、工程、医学、新闻等领域。
• 虚拟现实（VR）与增强现实（AR）：Oculus VR 的 VR 头显、微软 Hololens 的 AR 眼镜，通过图形学构建 “虚实融合” 的视觉体验。
• 数字插画：艺术家借助图形学工具创作数字绘画，实现传统画笔难以达到的效果。 模拟仿真：如 “尘暴现象” 的科学模拟、《星际穿越》中 “黑洞” 的视觉呈现（基于物理规律的图形学模拟）。
• 图形用户界面（GUI）：我们每天用的手机 APP、电脑软件界面（如 Calm、Skype、Vimeo），其布局、图标、动画均由图形学技术支撑。
• 字体设计：如 Baskerville 字体的数字化呈现，确保在不同设备上显示清晰、美观。

  🔪 智力与技术双重挑战（Fundamental Intellectual Challenges）

1、基础智力挑战:

• 需构建 “逼真的虚拟世界” 并实现人机交互，这要求理解物理世界的光影、材质、运动规律；
• 需跟进新的计算方法、显示技术（如 VR/AR 设备、8K 屏幕），不断解决 “如何更真实、更高效” 的问题。

2、具体技术挑战：

• 数学基础：透视投影、曲线与曲面的数学表达；
• 物理基础：光照与着色的物理规律；
• 3D 几何：如何表示、操作 3D 形状；
• 动画与仿真：如何让虚拟物体 “动起来” 且符合物理逻辑；
• 软硬件开发：3D 图形学的软件编程与硬件适配。

1.3 Games 101课程主题（Course Topics）

  Games 101课程围绕 “计算机图形学的核心技术” 展开，主要分为 4 个模块，覆盖从 “静态渲染” 到 “动态模拟” 的关键环节：

1. 光栅化（Rasterization）
2. 曲线与曲面（Curves and Meshes）
3. 光线追踪（Ray Tracing）
4. 动画与仿真（Animation / Simulation）

  1️⃣ 光栅化（Rasterization）：将 3D 几何图元（如三角形、多边形）投影到 2D 屏幕上，并将投影后的图元拆分为像素（ fragments ）。光栅化是实时应用（如电子游戏）的 “黄金标准”。

  2️⃣ 曲线与曲面（Curves and Meshes）：解决 “如何在计算机中表示 3D 几何形状” 的问题。

  3️⃣ 光线追踪（Ray Tracing）：模拟 “光线传播” 的物理过程，计算光线从相机出发、经过像素、与物体碰撞、最终到达光源的路径，从而生成逼真的光影效果（如反射、折射、阴影）。特点：效果逼真，但计算量大，是离线应用（如电影、动画）的 “黄金标准”。

  4️⃣ 动画与仿真（Animation / Simulation）：让虚拟物体 “动起来”，且运动符合逻辑或物理规律。典型技术：关键帧动画（Key frame Animation）、质量弹簧系统（Mass-spring System）。

GAMES101 不学什么？

• 不学图形 API（如 OpenGL、DirectX、Vulkan）：课程聚焦 “图形学原理”，而非 “调用 API 的语法”。掌握原理后，自学 API 会很容易。
• 不学 3D 建模工具（如 Maya、3DS MAX、Blender）和游戏引擎（如 Unity、Unreal Engine）：这些是 “应用工具”，课程不教具体操作，但原理学会后，理解工具的工作逻辑会更轻松。
• 不学计算机视觉（CV）与深度学习相关内容（如语义分割、GAN）：图形学是 “从模型生成图像”，CV 是 “从图像反推模型”，虽有交叉，但本课程专注图形学本身。
  

二、向量与线性代数

2.1 向量（Vectors）

  向量是图形学中最基础的概念，用于描述 “具有方向和长度，但无绝对位置” 的量（如光线方向、位移）。

2.1.1 向量的基本表示

• 符号记法：通常用带箭头的字母（$\vec{a}$）或粗体字母（$\mathbf{a}$）表示；
• 端点表示法：若向量从点A指向点B，则记为$\overrightarrow{AB}=B-A$（即终点坐标减起点坐标）；
• 核心属性：仅包含方向和长度，不依赖于 “起点在哪里”（比如从 (0,0) 到(1,1) 的向量，与从 (1,1) 到 (2,2) 的向量是同一个向量）。
  

2.1.2 向量的模与单位向量（归一化）

• 向量的模（长度）：记为 $||\vec{a}||$，表示向量的 “长度大小”，计算公式在 2D/3D 中分别为：
  • 2D：$\Vert \vec{a}\Vert =\sqrt{x_a^2+y_a^2}$, $x_a,y_a$是向量$\vec{a}$的坐标分量；
  • 3D：$\Vert \vec{a}\Vert =\sqrt{x_a^2+y_a^2+z_a^2}$；
• 单位向量：模为 1 的向量，仅用于表示 “方向”（无长度信息），记为 $\hat{a}$；
• 归一化（求单位向量）：将任意向量转化为单位向量的过程，公式为：$\hat{a}=\vec{a}/\Vert \vec{a}\Vert$（注意：仅当 $\vec{a}$ 不是零向量时有效）。

2.1.3 向量的加法

向量加法是 “组合位移” 的数学表达，有两种直观理解方式：

• 几何意义：
  • 平行四边形法则：以两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为两向量之和 $\vec{a}+\vec{b}$
  • 三角形法则：将 $\vec{b}$ 的起点与 $\vec{a}$ 的终点重合，从 $\vec{a}$ 起点到 $\vec{b}$ 终点的向量即为和；
• 代数意义：对应坐标分量相加，如 2D 中 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
  

2.1.4 笛卡尔坐标系下的向量表示

在笛卡尔坐标系中，任意向量可由 “基向量” 的线性组合表示：

• 例如，2D 中向量 $\vec{A}=4\vec{X}+3\vec{Y}$，其中 $\vec{X}$（通常为 (1,0) ）和 $\vec{Y}$（通常为 (0,1) ）是正交单位基向量（互相垂直且模为 1）；
• 图形学中默认使用 “正交单位基”，因为它能简化后续的点积、叉积计算。

2.2 向量乘法（Vector Multiplication）

2.2.1 点积（Dot Product）

  点积是向量最重要的运算之一，结果是一个标量（因此也叫 “标量积”），在图形学中用于计算角度、投影等。

  🍀 点积的定义与公式：

几何定义：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \cos \theta$，其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

• 推论 1：若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是单位向量（$\hat{a},\hat{b}$），则 $\hat{a}\cdot \hat{b}=\cos \theta$（直接关联夹角余弦值，非常常用）；
• 推论 2：$\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert }$（用于计算两向量的夹角）；
  代数定义（笛卡尔坐标系）：对应分量相乘后求和，如：
• 2D：$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_a{x}_b+y_a{y}_b$；
• 3D：$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$。
  

  🤡 点积的核心性质:

• 交换律：$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$；
• 数乘结合律：$(k\vec{a})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot (k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot \vec{b})$（k为标量）；
• 分配律：$\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$。

  🔧 点积在图形学中的 3 个关键应用:

1. 计算两向量的夹角：例如，计算 “光源方向” 与 “物体表面法线方向” 的夹角，进而确定该点的光照强度（夹角越小，光照越亮）；
2. 计算向量在另一向量上的投影：若要将 $\vec{b}$ 投影到 $\vec{a}$ 上（得到投影向量 ${\vec{b}}_{\perp }$ ），投影的长度 $k=\Vert \vec{b}\Vert \cos \theta =\vec{b}\cdot \hat{a}$（ $\hat{a}$ 是 $\vec{a}$ 的单位向量）；投影向量 ${\vec{b}}_{\perp }=k\cdot \hat{a}=(\vec{b}\cdot \hat{a})\hat{a}$，可用于拆分向量（如将运动方向拆分为 “沿表面” 和 “垂直表面” 的分量）；
   
3. 判断方向关系（正向 / 反向、相近程度）：

• 若 $\vec{a}\cdot \vec{b}>0$：两向量夹角小于 90°，方向 “相近”（如光线从正面照射表面）
• 若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$：两向量垂直（正交）；
• 若 $\vec{a}\cdot \vec{b}<0$：两向量夹角大于 90°，方向 “相反”（如光线从背面照射表面，该点无直接光照）。
  

2.2.2 叉积（Cross Product）

  叉积是向量的另一种核心运算，结果是一个新的向量（因此也叫 “向量积”），在图形学中用于判断方向、构建坐标系。

  🌧️ 叉积的定义与公式:

• 几何定义：$\vec{a}\times \vec{b}$ 是一个与 $\vec{a}、\vec{b}$ 都垂直的向量，其模为 $\Vert \vec{a}\times \vec{b}\Vert =\Vert \vec{a}\Vert \Vert \vec{b}\Vert \sin \theta$，方向由右手定则确定：右手四指从 $\vec{a}$ 绕向 $\vec{b}$ （小于 180° 的角），大拇指指向即为 $\vec{a}\times \vec{b}$ 的方向；
• 代数定义（3D 笛卡尔坐标系）：$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$ 也可通过 “对偶矩阵” 表示为矩阵与向量的乘法（后续矩阵部分会用到）：$\vec{a}\times \vec{b}=A^{\ast }\vec{b}$，其中 $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)$ （$A^{\ast }$是向量 $\vec{a}$ 的对偶矩阵）。

  ☁️ 叉积的核心性质：

• 反交换律：$\vec{a}\times \vec{b}=-\vec{b}\times \vec{a}$（方向相反，模相等，这是叉积与点积最核心的区别）；
• 分配律： $\vec{a}\times (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times \vec{b}+\vec{a}\times \vec{c}$；
• 特殊基向量的叉积（x、y、z 轴单位向量）：$\vec{x}\times \vec{y}=\vec{z}，\vec{y}\times \vec{x}=-\vec{z}，\vec{x}\times \vec{z}=-\vec{y}$（记住这些可快速判断方向）。

   ❄️ 叉积在图形学中的 2 个关键应用：

叉积的核心价值是 “判断空间方向关系”：

• 判断左右：在 2D 平面中，若 $\vec{a}\times \vec{b}$ 的 z 分量为正（假设平面在 xy 平面），则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左侧；若为负，则在右侧；
• 判断点是否在三角形内部（光栅化核心问题）：对于三角形 ABC 和点 P，计算 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP}$、$\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP}$，若三个叉积的符号一致（均正或均负），则 P 在三角形内部；否则在外部。
  

2.2.3 正交基与坐标系（Orthonormal Bases / Coordinate Frames）

  图形学中需要处理 “多个坐标系”（如世界坐标系、物体局部坐标系、相机坐标系），正交基是构建坐标系的基础。

  📏 正交基的定义:

3D 空间中的正交基由 3 个向量（$\vec{u},\vec{v},\vec{w}$）组成，满足以下 3 个条件：

• 单位向量：$\Vert \vec{u}\Vert =\Vert \vec{v}\Vert =\Vert \vec{w}\Vert =1$；
• 两两正交：$\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{w}=\vec{u}\cdot \vec{w}=0$（任意两个向量点积为 0）；
• 右手定则：$\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}$（确保坐标系方向一致，符合物理直觉）。

  ✏️ 坐标系的作用与变换:

• 作用：任何点 $\vec{p}$ 在该坐标系中，都可表示为三个基向量的 “投影加权和”：$\vec{p}=(\vec{p}\cdot \vec{u})\vec{u}+(\vec{p}\cdot \vec{v})\vec{v}+(\vec{p}\cdot \vec{w})\vec{w}$.其中，$\vec{p}\cdot \vec{u}、\vec{p}\cdot \vec{v}、\vec{p}\cdot \vec{w}$ 是点 $\vec{p}$ 在三个基向量上的投影分量（即该坐标系下的坐标）；
• 关键问题：图形学中经常需要 “在不同坐标系间转换点的坐标”（如将物体局部坐标转为世界坐标），这一内容将在第 3 讲 “变换” 中详细讲解。

2.3 矩阵（Matrices）

  矩阵是线性代数的另一核心，在图形学中主要用于表示 “线性变换”（如旋转、缩放、剪切），是操作 3D 物体的 “核心工具”。

2.3.1 矩阵的基本概念（What is a matrix）

定义：由m行n列数字组成的 2D 数组，记为 $m\times n$ 矩阵；示例：$\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 5& 2\\ 0& 4\end{array}\right)$（3 行 2 列矩阵）；
基础运算：

• 矩阵加法：仅当两个矩阵维度相同时，对应元素相加；
• 矩阵数乘：将标量与矩阵的每个元素相乘；（这两种运算均为 “逐元素操作”，比较直观）。

2.3.2 矩阵-矩阵乘法（Matrix-Matrix Multiplication）

  矩阵乘法是矩阵运算的核心，也是后续 “变换组合” 的基础，需重点掌握规则：

• 维度要求：左矩阵的列数必须等于右矩阵的行数，否则无法相乘；
• 若A是 $M\times N$ 矩阵，B是 $N\times P$ 矩阵，则乘积AB是 $M\times P$ 矩阵；
• 元素计算：乘积矩阵AB的第 i 行第 j列元素，等于A的第 i 行与B的第 j 列的点积；
• 核心性质：
  • 不满足交换律：$AB\ne BA$（顺序不同，结果通常不同，变换顺序很重要）；
  • 满足结合律：$(AB)C=A(BC)$（可用于组合多个变换矩阵）；
  • 满足分配律：$A(B+C)=AB+AC$。

2.3.3 矩阵-向量乘法（Matrix-Vector Multiplication）

  向量可视为 “列矩阵”（$n\times 1$ 矩阵），矩阵与向量的乘法是 “变换向量” 的核心方式：

• 维度要求：矩阵的列数必须等于向量的维度（如 $2\times 2$ 矩阵可乘 2D 向量，$3\times 3$ 矩阵可乘 3D 向量）；
• 计算示例（2D）：$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right)$. 该例表示 “2D 向量关于 y 轴的反射变换”（x 坐标取反，y 坐标不变）；
• 图形学意义：矩阵与向量的乘法，本质是对向量进行 “线性变换”（如旋转、缩放、反射），后续会结合具体变换场景深入讲解。

2.3.4 矩阵的转置与逆矩阵（Transpose of a Matrix & Identity Matrix and Inverses）

  这两个概念是 “坐标系变换” 和 “逆变换” 的基础：

• 转置矩阵：将矩阵的行与列互换得到的新矩阵，记为 $A^T$（如A是 $M\times N$ 矩阵，$A^T$ 是 $N\times M$ 矩阵）；
  • 性质：$(AB{)}^T=B^T{A}^T$（转置的乘积等于乘积的转置，顺序相反）；
• 单位矩阵：主对角线元素为 1，其余元素为 0 的矩阵，记为 I（如 $3\times 3$ 单位矩阵 $I_{3\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ ）；
  • 性质：对任意矩阵 $A$，有 $AI=IA=A$（单位矩阵是矩阵乘法的 “identity 元素”）；
• 逆矩阵：若存在矩阵 B，使得 $AB=BA=I$，则 B 是 A 的逆矩阵，记为$A^{-1}$；
  • 性质：$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$（逆的乘积等于乘积的逆，顺序相反）；
  • 意义：若A表示某个变换，则 $A^{-1}$ 表示 “逆变换”（如A是旋转 90°，$A^{-1}$ 是旋转 - 90°）。

2.3.5 向量乘法的矩阵表示（Vector multiplication in Matrix form）

  点积和叉积都可转化为矩阵运算，便于后续结合变换统一处理：

• 点积的矩阵表示：将 $\vec{a}$ 视为行矩阵，$\vec{b}$ 视为列矩阵，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}={\vec{a}}^T\vec{b}$（行矩阵 × 列矩阵，结果为标量）；
  • 示例（3D）：${\vec{a}}^T\vec{b}=\left(\begin{array}{ccc}{x}_a& y_a& z_a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)=x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b$；
• 叉积的矩阵表示：如前文所述，$\vec{a}\times \vec{b}=A^{\ast }\vec{b}$，其中 $A^{\ast }$ 是 $\vec{a}$ 的对偶矩阵（将叉积转化为矩阵与向量的乘法）。

三、疑难点整理总结

本节课比较基础，笔者没有什么疑难点，此部分省略。

写在最后

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