三阶矩阵的特征值计算

01 计算理论基础

(1) 行列式方程

• 设矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$ ，且 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 分别为矩阵 $A$ 的特征值，
• 那么特征多项式为：$|\lambda E-A|=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)=0$ .
• 也可以写作：$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a_{11}& -a_{12}& -a_{13}\\ -a_{21}& \lambda -a_{22}& -a_{23}\\ -a_{31}& -a_{32}& \lambda -a_{33}\end{array}\right|=0$ .

(2) 成比例型

• 满足条件 $|A|=0$ 的三阶行列式大概率是成比例的行列式；
• 于是当行列式中存在参数时，不妨假设行列式的某两行成比例，若有解，则假设成立。

(3) 暴力硬解

• 基本方程

  • $|\lambda E-A|=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)$ .
  • $|\lambda E-A|={\lambda }^3-\mathrm{tr}(\mathrm{A})\cdot {\lambda }^2+\mathrm{tr}({\mathrm{A}}^{\ast })\cdot \lambda -|A|$ .

• 关键等式（利用行列式和特征值的关系）

  • 特征值之和 = 行列式的迹（${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=a_{11}+a_{22}+a_{33}$）
  • 特征值之积 = 行列式的值（${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot {\lambda }_3=|A|$）
  • 特征值两两相积之和 = 伴随行列式的迹（${\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+{\lambda }_2{\lambda }_3=A_{11}+A_{22}+A_{33}$）

02 解题步骤

(1) 判断是否成比例

• 如果行列式成比例，按成比例解出 $\lambda$ 的一个根；
• 然后将这行凑出来，系数提出去，行列式降次为二次方程。

(2) 关键等式

• ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=a_{11}+a_{22}+a_{33}$ .

• ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot {\lambda }_3=|A|$ .

• ${\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+{\lambda }_2{\lambda }_3=A_{11}+A_{22}+A_{33}$ .

三、例题解析

• 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}2& -2& 0\\ -2& 1& -2\\ 0& -2& 0\end{array}\right]$ 的特征多项式.
• 计算可得 $|A|=-8$，$\mathrm{tr}(A)=2+1+0=3$，$\mathrm{tr}(A^{\ast })=-2-4+0=-6$ .
• 则有：${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=3,{\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=-8,{\lambda }_1{\lambda }_2+{\lambda }_1{\lambda }_3+{\lambda }_2{\lambda }_3=-6$ .
• 猜根：${\lambda }_1=-2,{\lambda }_1=4,{\lambda }_1=1$ .
• 验证：代入特征多项式方程进行验证
• 因此特征多项式为: $|\lambda E-A|={\lambda }^3-3{\lambda }^2-6\lambda +8$ .