支持向量机(SVM)是机器学习中非常经典的一个模型，所以我就把这个作为第二个深入学习的机器学习模型，然后发现居然还挺难的（调包侠流下无能泪水）。
参考了很多博客，但是大部分博客都是讲一部分，要么数学部分比较详细，要么后面的推导部分比较详细，本篇汇集了百家之长，其中我也尽量详细通俗给出了我的一些理解，特在此记录一下。
其中可能存在一些错误，或者有些地方我也理解的不到位，在这些地方我都给出了参考博客，可以参考这些博客。

1.原理部分

1.1.SVM

首先直接抛出SVM的核心假设：SVM面向二分类，假设一组点为线性可分，也就是可以一个被超平面分为两部分。SVM要找的就是这样的超平面，这个超平面使得正类和负类相距此平面最近的点和最远，最近的点被称为支持向量，也可以理解找到一个平面，使得两类中在这个平面的垂直方向的最短的距离最大（最小值最大问题），这样来了一个新样本，那么就可以以更大的概率分类正确。
如下图，SVM就是要找到中间那条线（实际是n维的一个超平面），把两部分样本分开。

1.2.优化目标

基于目标，可以写出优化方程：$max(2d)$，其中d就是作为支持向量的点到超平面的距离，2d就是最短的支持向量距离（垂直于超平面方向）。
在空间$R^n$中，点到超平面的距离可以表达为：
$$\frac{w^{T}x+b}{||w||}$$其中,$w,x$都是$n\times 1$向量，$x$是移项后表达式的所有参数，在二维中，该式子表示为$\frac{ax+by+c}{\sqrt{a^2+b^2}}$，对应于上面就是$w^T=(a,b),x^T=(x,y)$，本质是一样的。
知道了表达式后，就可以对上面提到的$d$进行转化，假设超平面为$w^{T}x+b=0$，如下：
$$\begin{gathered} max(2d) \\ =>max(2\frac{|w^{T}x+b|}{||w||}) \end{gathered}$$因为$w,b$同时放缩不会影响到超平面，也不会影响d的值，所以通过适当的放缩，该式子可表达为$max(2\frac{1}{||w||})$，这有利于后续的优化，进一步转化：
$$\begin{gathered} max(2\frac{1}{||w||}) \\ =>min(\frac{||w||}{2}) \\ =>min(\frac{||w|{|}^2}{2}) \end{gathered}$$最后一步是为了去掉根号，方便计算，其中$||w||=w^{T}w$。
任意一点到超平面的距离其实也可以表达为$\frac{y_i(w^{T}x+b)}{||w||}$，因为$y_i(w^{T}x+b)$的$y=\pm 1$，始终与$(w^{T}x+b)$同号，因此$y_i(w^{T}x+b)=|(w^{T}x+b)|$，上面提到了$|(w^{T}x+b)|=1$，那么对于所有的向量，距离超平面的函数距离都要大于等于1（函数距离就是分子|(w^Tx+b)|，除了$||w||$之后是几何距离），存在：
$$y_i(w^{T}x+b)\ge 1$$此时可列出目标和约束条件：
$$\begin{gathered} min(\frac{||w|{|}^2}{2}) \\ s.t.y_i(w^{T}x+b)\ge 1 \end{gathered}$$

1.3.数学知识补充

1.3.1.拉格朗日和kkt

下面介绍拉格朗日乘子和kkt。求解优化目标时，如果约束条件是等式，那么可以使用拉格朗日乘子法转为不带约束条件的优化，形如：
$$\begin{gathered} min(f(x)) \\ s.t.{\phi }_i(x)=0,i=1,2,...,n \end{gathered}$$上式可化为
$$L(x,\lambda )=f(x)+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\phi }_i(x)$$此时令$L$对$x$分别求偏导，解得的结果是极小值的必要条件（也就是可能是，也有可能不是），可以用于验证一个点是否是，如果为极值点那么一定满足上式。

但是如果约束条件条件包含不等式约束，此时可以使用kkt条件，kkt条件使用的情形如下：
$$\begin{gathered} min(f(x)) \\ s.t.{\phi }_i(x)=0,i=1,2,...,n \\ {g}_j(x)\le 0,j=1,2,...,m \end{gathered}$$此时，再写出拉格朗日函数：
$$L(x,\lambda ,\beta )=f(x)+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\phi }_i(x)+\sum _{i=1}^m{\beta }_j{g}_j(x)$$
上式称为原始问题，需要进一步转化，下面介绍拉格朗日对偶性，这也是比较难理解的地方。
约束$\beta \ge 0$，此时因为$g(x)\le 0$，那么${\sum }_{i=1}^m{\beta }_j{g}_j(x)\le 0$，因此$L(x,\lambda ,\beta )\le f(x)$，$f(x)$为求解目标，为了使得$L(x,\lambda ,\beta )$趋向于$f(x)$，那么要求$max(L(x,\lambda ,\beta ))$，即$\underset{\beta \ge 0,\lambda }{\max }(L(x,\lambda ,\beta ))$。
该式只是对$\lambda ,\beta$进行约束，而$g(x)$是要约束$x$才能满足$g(x)\le 0$，因此$g(x)>0$可能成立，从而使得：
$$\underset{\beta \ge 0,\lambda }{\max }(L(x,\lambda ,\beta ))=\{\begin{array}{cc}f(x),\forall g_j(x)\le 0& \\ [f(x),+\infty ],\exists g_j(x)>0& \end{array}$$
（这里有一个问题就是：为什么不满足约束的时候不考虑h(x)≠0?这一点我也不是很清楚，参考的几篇博客并没有提到，也有可能是我没理解到位吧！）
也就是无论如何$\underset{\beta \ge 0,\lambda }{\max }(L(x,\lambda ,\beta ))$的下限都是$f(x)$，也就是求解目标，那么只要再对其求$min$即$\underset{x}{\min }\underset{\beta \ge 0,\lambda }{\max }(L(x,\lambda ,\beta ))$，那么原始问题可转化为原始代价函数：
$$J_d=min(f(x))=\underset{x}{\min }\underset{\beta \ge 0,\lambda }{\max }(L(x,\lambda ,\beta ))$$最后补充一点，**max(.)**为凸函数，**min(.)为凹函数，与括号内的.***形式无关，这和下面进一步转化有关。（证明参见）

1.3.2.对偶方法

对于原函数，构造一个新的函数，也就是将$L(x,\lambda ,\beta )$前面的$min$和$max$顺序反一反，条件不变，得到一个新函数：
$$\underset{x}{\min }(L(x,\lambda ,\beta ))=\underset{x}{\min }(f(x)+\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\phi }_i(x)+\sum _{i=1}^m{\beta }_j{g}_j(x))$$该函数满足下式：
$$\underset{x}{\min }(L(x,\lambda ,\beta ))=\{\begin{array}{cc}\underset{x}{\min }(f(x)),\forall g_j(x)\le 0& \\ [-\infty ,\underset{x}{\min }(f(x))],\exists g_j(x)>0& \end{array}$$
(这里有个问题：我感觉满足条件的时候βg(x)s∈[-∞,0],不满足的时候是[-∞,+∞]，所以满足的时候最小值为什么是f(x)最小值？这部分来自博客)。
可见最大值都是$f(x)$，那么类似上面取$max$。
$$J_p=\underset{\beta \ge 0,\lambda }{\max }\underset{x}{\min }(L(x,\lambda ,\beta ))$$假设$J_d,J_p$对应的极值（极小值和极大值）分别是$d^{\ast }和p^{\ast }$，那么满足：
$$d^{\ast }\ge p^{\ast }$$根据Slater定理，如果问题为凸问题（凹问题可以转为凸问题），那么**$p^{\ast }=d^{\ast }$，此时称为强对偶性**（与之对应的是弱对偶性，满足的是上面的不等式）。

1.4.优化目标转化

下面回到原问题上来，原优化问题如：
$$\begin{gathered} min(\frac{||w|{|}^2}{2}) \\ s.t.y_i(w^{T}x+b)-1\ge 0 \end{gathered}$$上面的不等式约束是≥0，要满足标准kkt，转为下式：
$$\begin{gathered} min(\frac{||w|{|}^2}{2}) \\ s.t.-(y_i(w^{T}x+b)-1)\le 0 \end{gathered}$$写出拉格朗日函数：
$$L(w,b,\beta )=\frac{||w|{|}^2}{2}-\sum _{i=1}^m{\beta }_i[y_i(w^T{x}_i+b)-1]$$
该问题为原始问题，满足$\beta >0$（kkt条件），转为原始代价函数：
$$J_d=min(f(w))=\underset{w,b}{\min }\underset{\beta \ge 0}{\max }(L(w,b,\beta ))$$该函数为凸函数（$min$），转为对偶问题：
$$\underset{w,b}{\min }\underset{\beta \ge 0}{\max }(L(w,b,\beta ))=\underset{\beta \ge 0}{\max }\underset{w,b}{\min }(L(w,b,\beta ))$$写出完整的表达式：
$$\underset{\beta \ge 0}{\max }\underset{w,b}{\min }(L(w,b,\beta ))=\underset{\beta \ge 0}{\max }\underset{w,b}{\min }(\frac{||w|{|}^2}{2}-\sum _{i=1}^m{\beta }_i[y_i(w^T{x}_i+b)-1])$$先求里面部分，分别对$w,b$求偏导，得到下式：
$$\{\begin{array}{c}\frac{\partial L}{\partial w}=w-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i\\ \frac{\partial L}{\partial b}=-{\sum }_{i=1}^m{y}_i{\beta }_i\end{array}$$
分别令其为0，得到:
$$\begin{gathered} w=\sum _{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i \\ \sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i=0 \end{gathered}$$注意：这里的$x_i,w$都是一个向量。
带入原式，变为：
$$\begin{gathered} \underset{\beta \ge 0}{\max }(\frac{1}{2}{w}^{T}w-\sum _{i=1}^m{\beta }_i[y_i(w^T{x}_i+b)-1]) \\ =\underset{\beta \ge 0}{\max }(\frac{1}{2}{w}^{T}w-\sum _{i=1}^m{\beta }_i{y}_i{w}^{T}w-b\sum _{i=1}^m{\beta }_i{y}_i+\sum _{i=1}^m{\beta }_i) \\ =\underset{\beta \ge 0}{\max }(\frac{1}{2}{w}^T\sum _{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i-w^T\sum _{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i+\sum _{i=1}^m{\beta }_i) \\ =\underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}{w}^T\sum _{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i) \end{gathered}$$上面是带入了$w$，然后进行化简得到。下面要进一步带入$w^T$,这个就是$w$的转置，注意维度的变化：
$$\begin{gathered} \underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}{w}^T\sum _{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i) \\ =\underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}\sum _{j=1}^m{\beta }_j^T{x}_j^T{y}_j^T\sum _{i=1}^m{y}_i{x}_i{\beta }_i) \\ =\underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\beta }_j{\beta }_i{y}_j{y}_i{x}_j^T{x}_i) \end{gathered}$$此时问题被转化为了
$$\begin{gathered} \underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\beta }_j{\beta }_i{y}_j{y}_i{x}_j^T{x}_i) \\ s.t.\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i=0 \end{gathered}$$

1.5.SMO求解β​

【推荐】知乎，主要是介绍SMO，在α的介绍部分比较容易理解
上面的转化得到了一个关于$\beta$的优化函数，下面介绍利用SMO算法求解$\beta$。
SMO算法类似于坐标上升算法，假设存在要求$min(f(x_1,x_2))$，首先固定$x_1$（将其看做一个常数），然后计算关于$x_2$的偏导，然后可以得到此时对应的最优$x_2$，然后固定$x_2$，求解$x_1$，不断迭代直到收敛。
SMO的思路大致类似，每次选取尽量少的变量来优化。回到SVM问题中，在上面得到了需要求解的函数：
$$\begin{gathered} \underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\beta }_j{\beta }_i{y}_j{y}_i{x}_j^T{x}_i) \\ s.t.\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i=0 \end{gathered}$$这是一个关于$\beta$的函数，$\beta$是一个$n\times 1$的向量，并且存在约束条件，直接求解复杂度很高，SMO将其分解为多个二次规划问题求解，每次针对其中两个$\beta =<{\beta }_i,{\beta }_j>$进行优化，大大减少了运算量。

1.5.1.不限制β

首先抛开对于β的限制，选取需要优化的两个参数记为${\beta }_1,{\beta }_2$,剩下的若干$\beta$固定，作为常数处理。
为了简便表达，这里设$k_{i,j}$上面的$x_i^T{x}_j$，容易得到$k_{i,j}=k_{j,i}$，同时设$h_{i,j}={\beta }_j{\beta }_i{y}_j{y}_i{x}_j^T{x}_i={\beta }_j{\beta }_i{y}_j{y}_i{k}_{i,j}$，满足$h_{i,j}=h_{j,i}$（这是为了方便查看带入的规则）。
记优化目标为$W(\beta )$，把与${\beta }_1,{\beta }_2$有关的提取出来，其他记为$C$，可得：
$$\begin{gathered} W({\beta }_1,{\beta }_2)=\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{h}_{i,j} \\ ={\beta }_1+{\beta }_2-\frac{1}{2}{h}_{1,1}-\frac{1}{2}{h}_{1,2}-\frac{1}{2}{h}_{1,1}-\frac{1}{2}{h}_{2,2}- \\ \frac{1}{2}\sum _{i=3}^m{h}_{i,1}-\frac{1}{2}\sum _{i=3}^m{h}_{1,i}-\frac{1}{2}\sum _{i=3}^m{h}_{i,2}-\frac{1}{2}\sum _{i=3}^m{h}_{2,i}+C \\ ={\beta }_1+{\beta }_2-h_{1,2}-\frac{1}{2}{h}_{1,1}-\frac{1}{2}{h}_{2,2}-\sum _{i=3}^m{h}_{1,i}-\sum _{i=3}^m{h}_{2,i}+C \end{gathered}$$带入$h_{i,j}$得到：
$${\beta }_1+{\beta }_2-\frac{1}{2}{k}_{1,1}{\alpha }_1^2-\frac{1}{2}{k}_{2,2}{\alpha }_2^2-\frac{1}{2}{k}_{1,2}{\alpha }_1{\alpha }_2-\sum _{i=3}^m{k}_{1,i}{\beta }_1{\beta }_i{y}_1{y}_i-\sum _{i=3}^m{k}_{2,i}{\beta }_2{\beta }_i{y}_2{y}_i+C$$进一步，因为对于每个${\sum }_{i=3}^m$，其中的${\beta }_1,{\beta }_1,y_1,y_2$都是一样的，所以可以提取出来，得到：
$${\beta }_1+{\beta }_2-\frac{1}{2}{k}_{1,1}{\alpha }_1^2-\frac{1}{2}{k}_{2,2}{\alpha }_2^2-\frac{1}{2}{k}_{1,2}{\alpha }_1{\alpha }_2-{\beta }_1{y}_1\sum _{i=3}^m{k}_{1,i}{\beta }_i{y}_i-{\beta }_2{y}_2\sum _{i=3}^m{k}_{2,i}{\beta }_i{y}_i+C$$
${\beta }_1,{\beta }_2$是满足一定约束条件的，即${\sum }_{i=1}^m{y}_i{\beta }_i=0$，设 $y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2=\gamma$，那么存在：
$${\beta }_1=y_1(\gamma -{\beta }_2{y}_2)$$设：
$$\begin{gathered} v_1=\sum _{i=3}^m{k}_{1,i}{\beta }_i{y}_i \\ {v}_2=\sum _{i=3}^m{k}_{2,i}{\beta }_i{y}_i \end{gathered}$$带入${\beta }_1$后，那么此时$W({\beta }_1,{\beta }_2)$就变为了关于${\beta }_2$的函数，注意$y_i^2=1$，如下：
$$\begin{gathered} W({\beta }_2)=y_1(\gamma -{\beta }_2{y}_2)+{\beta }_2-\frac{1}{2}{k}_{1,1}(\gamma -{\beta }_2{y}_2{)}^2 \\ -\frac{1}{2}{k}_{2,2}{\beta }_2^2-k_{1,2}{\beta }_2(\gamma -{\beta }_2{y}_2)y_2-v1(\gamma -{\beta }_2{y}_2)-v_2{y}_2{\beta }_2+C \end{gathered}$$然后对${\beta }_2$求导：
$$\begin{gathered} \frac{\partial W}{\partial {\beta }_2}=-y_1{y}_2+y_2^2-k_{1,1}{y}_2(\gamma -{\beta }_2{y}_2)-k_{2,2}{\alpha }_2-k_{1,2}\gamma y_2-2k_{1,2}{\beta }_2+v_1{y}_2-v_2{y}_2 \\ =(2k_{1,2}-k_{1,1}-k_{2,2}){\beta }_2+(k_{1,1}-k_{1,2})\gamma y_2+y_2(v_1-v_2)-y_2(y_1-y_2) \end{gathered}$$下面的步骤将消除$\gamma$，计算出更新后的值${\beta }^{new}$和原来的值${\beta }^{old}$的关系，这和更新参数有关。
首先可以知道，对于一个输入样本$x$，其预测值为$f(x)=w^{T}x+b$，带入前面计算出的$w$（在问题求解部分）可得：
$$\begin{gathered} f(x_j)=\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i{x}_i^T{x}_j+b \\ =\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i{k}_{i,j}+b \end{gathered}$$可以发现这个式子和前面的$v_1,v_2$形式类似，带入$x_1$，可得$f(x_1)={\sum }_{i=1}^m{y}_i{\beta }_i{k}_{i,1}+b$，用$f(x)$的形式表达出$v_1,v_2$：
$$\begin{gathered} v_1=f(x_1)-y_1{\beta }_1^{old}{k}_{1,1}-y_2{\beta }_2^{old}{k}_{2,1}-b \\ {v}_2=f(x_2)-y_1{\beta }_1^{old}{k}_{2,1}-y_2{\beta }_2^{old}{k}_{2,2}-b \end{gathered}$$这里是${\beta }^{old}$是因为这是基于已知的预测值的，所以是上一次的参数，也就是旧参数。
替换掉前面求导得到的式子$v_1-v_2$：
$$v1-v2=f(x_1)-f(x_2)+(k_{1,1}+k_{2,2}-2k_{1,2}){\beta }_2^{old}{y}_2+\gamma (k_{1,2}-k_{1,1})$$带入得：
$$\begin{gathered} \frac{\partial W}{\partial {\beta }_2}=(2k_{1,2}-k_{1,1}-k_{2,2}){\beta }_2^{new}+(k_{1,1}-k_{1,2})\gamma y_2 \\ +y_2(f(x_1)-f(x_2)+(k_{1,1}+k_{2,2}-2k_{1,2}){\beta }_2^{old}{y}_2+\gamma (k_{1,2}-k_{1,1}))-y_2(y_1-y_2) \\ =(2k_{1,2}-k_{1,1}-k_{2,2}){\beta }_2^{new}-(2k_{1,2}-k_{1,1}-k_{2,2}){\beta }_2^{old}+y_2((f(x_1)-y_1)-(f(x_2)-y_2)) \end{gathered}$$
设$e_i=f(x_i)-y_i,K=2k_{1,2}-k_{1,1}-k_{2,2}$：
$$\frac{\partial W}{\partial {\beta }_2}=K{\beta }_2^{new}-K{\beta }_2^{old}+y_2(e_1-e_2)$$要满足极值点，那么$\frac{\partial W}{\partial {\beta }_2}=0$，得到：
$${\beta }_2^{new}={\beta }_2^{old}-y_2(e_1-e_2)/K$$因为${\beta }_1^{new}=y_1(\gamma -{\beta }_2^{new}{y}_2)$，而$\gamma ={\beta }_2^{old}{y}_1+{\beta }_1^{old}{y}_2$，由此可以解出新的${\beta }_1^{new}$。

1.5.2.β裁剪

下面要对β进行裁剪，也就是考虑限制$\beta$。
实际的$\beta$是有范围的，限定为$0\le \beta \le C$，$C$表示软间隔常数。
因为${\beta }_1{y}_1+{\beta }_2{y}_2=\gamma$，这个关系始终成立，无论是${\beta }^{new}$还是${\beta }^{old}$，又因为$y=\pm 1$，下面分两种情况讨论$y_1,y_2$的情况并分析${\beta }_2^{new}$约束条件：

1. $y_1{y}_2<0$：
   此时存在${\beta }_2-{\beta }_1$为常数，那么${\beta }_2^{new}-{\beta }_1^{new}={\beta }_2^{old}-{\beta }_1^{old}$，那么存在：
   $$\begin{gathered} 0\le {\beta }_1^{new}={\beta }_2^{new}-({\beta }_2^{old}-{\beta }_1^{old})\le C \\ =>max(0,{\beta }_2^{old}-{\beta }_1^{old})\le {\beta }_2^{new}\le min(C,C+({\beta }_2^{old}-{\beta }_1^{old})) \end{gathered}$$
2. $y_1{y}_2>0$：
   此时存在${\beta }_2+{\beta }_1$为常数，那么${\beta }_2^{new}+{\beta }_1^{new}={\beta }_2^{old}+{\beta }_1^{old}$，那么存在：
   $$\begin{gathered} 0\le {\beta }_1^{new}=({\beta }_2^{old}+{\beta }_1^{old})-{\beta }_2^{new}\le C \\ =>max(0,({\beta }_2^{old}+{\beta }_1^{old})-C)\le {\beta }_2^{new}\le min(C,{\beta }_2^{old}+{\beta }_1^{old}) \end{gathered}$$
   若计算得到的${\beta }_2^{new}$超出了这个范围，那么就置为对应的边界值，记上界为$H$，下界为$L$，那么$\beta$的更新可以写为：
   $${\beta }^{new}=\{\begin{array}{c}H,{\beta }^{new}＞H\\ {\beta }^{new},L\le {\beta }^{new}\le L\\ L,{\beta }^{new}＜L\end{array}$$到这里，就可以完成对一对参数的更新。

1.5.3.b的更新

$b$是超平面的偏置，每次更新参数后，也要改变$b$。
根据一开始的假设，若一个点为支持向量，存在$y(w^{T}x+b)=1$，两边同乘以$y_i$并移项，得到$b=y-w^{T}x$，进一步带入$w^T$，得到：
$$b_j=y_j-\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i{k}_{i,j}$$带入$j=1$得到：
$$\begin{gathered} b_1^{new}=y_1-\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i{k}_{i,1} \\ =y_1-\sum _{i=3}^m{y}_i{\beta }_i{k}_{i,1}-y_1{\beta }_1^{new}{k}_{1,1}-y_2{\beta }_2^{new}{k}_{1,2} \\ =y_1-f(x_1)+y_1{\beta }_1^{old}{k}_{1,1}+y_2{\beta }_2^{old}{k}_{2,1}+b_1^{old}-y_1{\beta }_1^{new}{k}_{1,1}-y_2{\beta }_2^{new}{k}_{1,2} \\ =-e_1+y_1{k}_{1,1}({\beta }_1^{old}-{\beta }_1^{new})+y_2{k}_{1,2}({\beta }_2^{old}-{\beta }_2^{new})+b^{old} \end{gathered}$$同理可得$b_2$：
$$b_2^{new}=-e_2+y_1{k}_{1,2}({\beta }_1^{old}-{\beta }_1^{new})+y_2{k}_{2,2}({\beta }_2^{old}-{\beta }_2^{new})+b^{old}$$由KKT条件可知，当${\beta }_i$满足$0＜{\beta }_i\le C$时，此时该点为支持向量，此时可用上式计算，满足$b^{new}=b_1^{new}=b_2^{new}$。否则当${\beta }_i=0$，两个乘子都在边界上，且两者边界大小不一致，此时$b_1,b_2$中间的值就是和KKT条件一致的阈值，SMO选取中间点作为新的阈值，即$b^{new}=(b_1^{new}+b_2^{new})/2$，总之都是两个的均值。（这里不是很理解，感觉大致意思就是如果两个点都满足满足KKT条件，那么距离中间的超平面距离一定是一样的，所以大小一致，否则要更新？）

简单说一下利用松弛变量证明KKT条件（β和点是否为支持向量的关系）的思路（详细可以参考博客），针对不等式约束，通过添加正数因子将其转为等式约束：
$$\begin{gathered} \beta g(w)\le 0=>\beta (g(w)+a^2)=0 \\ \beta \ge 0 \\ g(w)=y_i(w^{T}x+b)-1 \end{gathered}$$这个式子会出现在拉格朗日乘子中，求导后可以得到两个有关的公式：
$$\begin{gathered} \frac{\partial L}{\partial a}=2\beta a=0 \\ \frac{\partial L}{\partial \beta }=g(w)+a^2=0 \end{gathered}$$要求极值，因此令其为0，可得$\beta a=0$，此时有两种情况，分别是$a=0$或$\beta =0$

1. $a=0,\beta \ne 0$，此时$g(w)=0$，而$g(w)=0$就表示该点为支持向量。

2. $a\ne 0,\beta =0$，此时$g(w)<0$，不是支持向量。

因为$0\le \beta \le C$，因此就可以看做若$0<\beta \le C$，也就是不等于0，那么点为支持向量，否则不是支持向量，这也是KKT条件之一。

1.6.线性不可分

前面叙述的前提条件都是线性可分，但是实际情况中很多时候不存在线性可分的结果，那么此时就需要改进原函数使其能够适应这种异常情况。
此部分参考，知乎的详细说明
有两种不可分情况：样本线性不可分和问题线性不可分，前者是由于采样导致，后者是问题本身决定，解决方案分别是软间隔支持向量机（惩罚项）和广义线性化（核函数）。

1.6.1软间隔支撑向量机

未解决样本线性不可分的问题，这种向量机允许少数样本点在支持向量之间，通过加入松弛项$\gamma$来优化求解：
$$y_i(w^{T}x+b)\ge 1-{\gamma }_i$$当然，这个值一定是越小越好，因此优化目标可写为：
$$\begin{gathered} min(\frac{1}{2}||w||+C\sum _{i=1}^m{\gamma }_i) \\ s.t.y_i(w^{T}x+b)\ge 1-{\gamma }_i \end{gathered}$$
这个$C$就是惩罚的系数，$C{\sum }_{i=1}^m{\gamma }_i$为惩罚项，

1. $C$越大，那么松弛变量的影响更加倾向于0，那么最终的结果越接近标准的线性支持向量机
2. $C$越小，松弛变量可以有较大的影响，此时对于不在支持向量间的点有更高的容忍度。

1.6.2.广义线性化

这一篇写的比较好，举了一些例子
广义线性化主要是将特征映射到更高的维度，解决在根本上无法线性可分的问题，解决方法就是核函数。

可以知道，$SVM$的求解目标如下：
$$\begin{gathered} \underset{\beta \ge 0}{\max }(\sum _{i=1}^m{\beta }_i-\frac{1}{2}\sum _{i,j=1}^m{\beta }_j{\beta }_i{y}_j{y}_i{x}_j^T{x}_i) \\ s.t.\sum _{i=1}^m{y}_i{\beta }_i=0 \end{gathered}$$核函数主要是对$x^{T}x$部分进行替换，核函数需要满足：
$$\phi (x_i)\phi (x_j)=K(x_i,x_j)$$这个表达式左边的意思就是对两个点分别升维后进行点积操作，而右边的$K$就是核函数，是一个关于$x_i,x_j$的函数。这就相当于可以直接由原来未升维的点$x_i,x_j$得到点积的结果，这样可以大大减少计算量。
常用的核函数有下面几种：

最常用的就是高斯核，这个是一个$n$维的超圆，但是计算量比较大。（详细的介绍）

2.代码

下面是代码实现的部分，我实现了一个比较简单的版本（没考虑更复杂的核函数等），这里我先看了一遍知乎老哥的实现，然后全程自己写了一遍，最后调试通过了，应该没什么大问题。
下面的左边是初始的优化目标，右边是迭代30轮候的，可以看到基本不变化，也就是收敛了。

下面是对于训练样本的预测，其中加大的双环表示支持向量，绿色的和红色的支持向量应该距离中间的分类超平面有着相同距离。

有个问题是迭代次数设置多了，画出来的超平面有问题，我猜可能是过拟合？不是很清楚，有知道的可以评论区告诉我。
最后给出完整的代码，注释非常详细，大家可以自行体味。

# 尝试复现SVM
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

def load_data():
    np.random.seed(0)
    x1= np.random.uniform(1,6,(50)).reshape(-1,1)
    np.random.seed(100)
    x2= np.random.uniform(8,15,(50)).reshape(-1,1)
    np.random.seed(100)
    y1=1.5*x1+10
    y2=1.9*x2-7
    np.random.seed(200)
    y1 += np.random.uniform(1, 3, (50)).reshape(-1,1)
    np.random.seed(300)
    y2 += np.random.uniform(2, 10, (50)).reshape(-1,1)
    tmp1 = np.hstack((x1,y1,np.ones(50).reshape(-1,1)))
    tmp2 = np.hstack((x2,y2,-np.ones(50).reshape(-1,1)))
    data = np.vstack((tmp1,tmp2))
    idx_list = np.random.choice(100,100,replace=False)
    ans = np.zeros((100,3))
    for i,idx in enumerate(idx_list):
        ans[i]=data[idx]
    return ans[:,:-1],ans[:,-1]

class MySVM():
    def fit(self,x,y,epochs,C): # 训练
        y = y.reshape(-1,1)
        samples = x.shape[0] # 样本数,也就是m
        features = x.shape[1] # 特征数
        print('输入共%d个特征,样本数为%d'%(features,samples))
        beta = np.zeros((samples,1)) # β
        b = 0 # b
        target = np.ones((1, samples)) @ beta
        for i in range(samples):
            for j in range(samples):
                target -= 1 / 2 * beta[i] * beta[j] * y[i] * y[j] + x[i] @ x[j].T
        print('初始优化目标:%.2f' % (target))
        for epoch in range(epochs):
            print('epoch:',epoch+1)
            for i in range(samples): # 每次选取i和另一个数j作为更新数对
                while True:
                    j = np.random.choice(samples,1,replace=False)[0] # 随机选择两个要更新的
                    if j!=i:
                        break
                # print('当前优化,i=%d,j=%d'%(i,j))
                w_T = (beta * y).T @ x  # w^T=∑βyx=(βyx).T,β、y都是列向量,所以转置
                # print(w_T.shape) # (1,2)
                # 下面计算β_j^{new},把公式的2对应j,i对应1
                k_i_i = x[i]@x[i].T
                k_i_j = x[i]@x[j].T
                k_j_j = x[j]@x[j].T
                K = 2*k_i_j-k_i_i-k_j_j # 计算系数k
                fx_i = w_T@x[i].T+b
                fx_j = w_T@x[j].T+b
                e_i = fx_i-y[i]
                e_j = fx_j-y[j]
                beta_old_i = beta[i]
                beta_old_j = beta[j]
                beta_new_j = beta_old_j-y[j]*(e_i-e_j)/K
                # 裁剪beta_new_j
                if y[i]==y[j]: # 同号
                    L = max(0,beta_old_i+beta_old_j-C)
                    H = min(C,beta_old_i+beta_old_j)
                    if beta_new_j<L:
                        beta_new_j=L
                    elif beta_new_j>H:
                        beta_new_j=H
                else:
                    L = max(0, beta_old_j - beta_old_i)
                    H = min(C, C + beta_old_j - beta_old_i)
                    if beta_new_j < L:
                        beta_new_j = L
                    elif beta_new_j > H:
                        beta_new_j = H
                # 因为β_1^{old}y_1+β_2^{old}y_2=β_1^{new}y_1+β_2^{new}y_2=γ => β_1^{new}=y_1(γ-β_2^{new}y_2)
                # 可以基于此解出beta_new_i,因为上面的裁剪,可以保证下面解出来的一定在[0,C]之间
                gamma = (beta_old_i*y[i]+beta_old_j*y[j])
                beta_new_i = y[i]*(gamma-beta_new_j*y[j])
                # 更新参数b
                b_new_i = -e_i+y[i]*k_i_i*(beta_old_i-beta_new_i)+y[j]*k_i_j*(beta_old_j-beta_new_j)+b
                b_new_j = -e_j+y[i]*k_i_j*(beta_old_i-beta_new_i)+y[j]*k_j_j*(beta_old_j-beta_new_j)+b
                # b = (b_new_i+b_new_j)/2 # 一开始写的,发现好像不对,对照了参考博客
                if beta[i] > 0:
                    b = b_new_i
                elif beta[j] > 0:
                    b = b_new_j
                else:
                    b = (b_new_i+b_new_j)/2
                beta[i]=beta_new_i
                beta[j]=beta_new_j
            # 计算优化目标
            target = np.ones((1,samples))@beta
            for i in range(samples):
                for j in range(samples):
                    target-=1/2*beta[i]*beta[j]*y[i]*y[j]+x[i]@x[j].T
            print('优化目标:%.2f'%(target))
        # print(beta)
        self.beta = beta
        self.w_T = w_T
        self.b = b

    def predict(self,x):
        pred = np.sign(self.w_T@x.T+self.b).reshape(-1,1)
        return pred

if __name__ == '__main__':
    X,y = load_data() # 产生数据
    svm = MySVM()
    svm.fit(X,y,epochs=30,C=0.6) # C不知道怎么设置,随便设置一个,参考了博客
    res=svm.predict(X)
    cnt = 0
    for i in range(X.shape[0]):
        if res[i] != y[i]:
            cnt+=1
    print("预测错误%d个"%(cnt))

    # 对每个数据点绘制,标出特殊的
    beta = svm.beta
    for i in range(X.shape[0]):
        if res[i]==-1:
            plt.scatter(X[i,0],X[i,1],marker='^',s=20,color='g',facecolors='none')
            if beta[i]>0.0001: # 支持向量
                plt.scatter(X[i,0],X[i,1],marker='^',s=100,color='g',facecolors='none')
        else:
            plt.scatter(X[i,0],X[i,1],marker='o',s=20,color='r',facecolors='none')
            if beta[i]>0.0001: # 支持向量
                plt.scatter(X[i,0],X[i,1],marker='o',s=100,color='r',facecolors='none')
    # 解出两个在截距,也就是交于x1和x2
    w_T = svm.w_T[0]
    b=svm.b
    b1 = -b/w_T[0] # x1轴
    b2 = -b/w_T[1] # x2轴
    k = -b2/b1 # y=kx+b,b就是b2
    x = np.linspace(min(X[:,0]),max(X[:,0]),1000)
    y = k*x+b2
    plt.plot(x,y,linestyle='--')
    plt.show()

总结一下，机器向量机的数学推导相对来说确实比较繁琐，好几个地方没有看懂，翻了很多博客才大概理解，有的地方我感觉也没有完全参透，在以后的学习中再慢慢体味吧！
下面是主要的参考博客：
1.知乎：SVM的推导和求解，但是感觉前面的推导有点冗余
2.CSDN，也是详解，前面的数学部分整理的很详细，后面的相对不够详细
3.微信，相对简略，省略了很多，前面的讲解比较好
4.知乎，主要是SMO部分，比较详细
5.CSDN，主要是介绍SMO，在α的介绍部分比较容易理解，有代码实现