【计算机系统原理】进制转换全攻略一篇搞定所有进制互转

基数：一个进制里能用的数字个数，N 进制的基数就是 N。
- 十进制：基数 10，能用 0-9 共 10 个数字
- 二进制：基数 2，只能用 0、1 共 2 个数字
- 八进制：基数 8，能用 0-7 共 8 个数字
- 十六进制：基数 16，能用 0-9、A-F（a-f）共 16 个数字，A-F 对应 10-15
位权：每一位数字代表的权重，N 进制的第i位（从右往左，从 0 开始数）的位权是N^i。

举个最熟悉的十进制例子：123.45

整数部分从右往左：个位是10^0、十位是10^1、百位是10^2
小数部分从左往右：十分位是10^-1、百分位是10^-2
展开就是：1×10² + 2×10¹ + 3×10⁰ + 4×10⁻¹ + 5×10⁻²

所有进制转换的底层逻辑，都来自这个「位权展开」，记住这个，后面所有方法都能一通百通。

2. 为什么计算机要用这么多进制？

二进制：计算机硬件只有高低电平两个状态，完美对应 0 和 1，是计算机底层唯一能识别的进制。
八进制 / 十六进制：二进制写起来太长了（比如 1 个字节要写 8 位二进制），而 8=2³、16=2⁴，1 位八进制 / 十六进制能对应 3 位 / 4 位二进制，是二进制的「简写形式」，方便我们阅读、书写和调试。

二、第一大类：任意进制 → 十进制（万能方法：位权展开求和法）

不管是二进制、八进制、十六进制，转十进制的方法完全一样，不用分开记，就用「位权展开，逐项求和」。

通用公式

对于 N 进制数aₙaₙ₋₁...a₁a₀.a₋₁a₋₂...a₋ₘ，转十进制的公式：

十进制值 = aₙ×Nⁿ + aₙ₋₁×Nⁿ⁻¹ + ... + a₁×N¹ + a₀×N⁰ + a₋₁×N⁻¹ + ... + a₋ₘ×N⁻ᵐ

1. 二进制 → 十进制

例子：把二进制数 1011.01B 转十进制（B 是二进制标识，可省略）

基数 N=2，按位权展开：

1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ + 0×2⁻¹ + 1×2⁻²
= 8 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25
= 11.25

结果：1011.01B = 11.25D（D 是十进制标识，可省略）

2. 八进制 → 十进制

例子：把八进制数 127.2O 转十进制（O 是八进制标识，避免和 0 混淆）

基数 N=8，按位权展开：

1×8² + 2×8¹ + 7×8⁰ + 2×8⁻¹
= 64 + 16 + 7 + 0.25
= 87.25

结果：127.2O = 87.25

3. 十六进制 → 十进制

例子：把十六进制数 2A.8H 转十进制（H 是十六进制标识，A 对应 10）

基数 N=16，按位权展开：

2×16¹ + 10×16⁰ + 8×16⁻¹
= 32 + 10 + 0.5
= 42.5

结果：2A.8H = 42.5

三、第二大类：十进制 → 任意进制

十进制转其他进制，整数部分和小数部分的方法完全不同，必须分开计算，最后再合并。

3.1 十进制整数 → 任意进制（万能方法：除基取余，逆序排列）

核心规则

用十进制数除以目标进制的基数 N，得到商和余数
用商继续除以 N，重复步骤 1，直到商为 0
把所有余数 ** 从后往前（逆序）** 排列，就是结果

1. 十进制整数 → 二进制

例子：把十进制整数 53 转二进制

基数 N=2，除 2 取余：

53 ÷ 2 = 26  余 1
26 ÷ 2 = 13  余 0
13 ÷ 2 = 6   余 1
6 ÷ 2 = 3    余 0
3 ÷ 2 = 1    余 1
1 ÷ 2 = 0    余 1

逆序排列余数：110101
结果：53 = 110101B

2. 十进制整数 → 八进制

例子：把十进制整数 53 转八进制

基数 N=8，除 8 取余：

53 ÷ 8 = 6  余 5
6 ÷ 8 = 0   余 6

逆序排列余数：65
结果：53 = 65O

3. 十进制整数 → 十六进制

例子：把十进制整数 314 转十六进制

基数 N=16，除 16 取余：

314 ÷ 16 = 19  余 10（对应A）
19 ÷ 16 = 1    余 3
1 ÷ 16 = 0     余 1

逆序排列余数：13A
结果：314 = 13AH

3.2 十进制小数 → 任意进制（万能方法：乘基取整，顺序排列）

核心规则

用十进制小数乘以目标进制的基数 N，得到结果，取出整数部分
用剩下的小数部分继续乘以 N，重复步骤 1，直到小数部分为 0，或达到指定精度
把所有取出的整数部分 ** 从前往后（顺序）** 排列，就是小数部分的结果

⚠️ 注意：很多十进制小数无法用二进制 / 八进制精确表示（比如 0.2），所以一般会保留指定位数的精度。

1. 十进制小数 → 二进制

例子：把十进制小数 0.6875 转二进制

基数 N=2，乘 2 取整：

0.6875 × 2 = 1.375  取整 1
0.375 × 2 = 0.75     取整 0
0.75 × 2 = 1.5       取整 1
0.5 × 2 = 1.0        取整 1

小数部分为 0，停止计算，
顺序排列整数：0.1011
结果：0.6875 = 0.1011B

再举一个非精确的例子：把0.2转二进制，保留 4 位精度

0.2 × 2 = 0.4  取整 0
0.4 × 2 = 0.8  取整 0
0.8 × 2 = 1.6  取整 1
0.6 × 2 = 1.2  取整 1

结果：0.2 ≈ 0.0011B（保留 4 位小数）

2. 十进制小数 → 八进制

例子：把十进制小数 0.71875 转八进制

基数 N=8，乘 8 取整：

0.71875 × 8 = 5.75  取整 5
0.75 × 8 = 6.0       取整 6

顺序排列整数：0.56
结果：0.71875 = 0.56O

3.3 带整数和小数的十进制 → 任意进制

方法很简单：整数部分和小数部分分开转换，最后合并即可。

例子：把十进制 53.6875 转二进制

整数部分53 → 110101B
小数部分0.6875 → 0.1011B
合并结果：53.6875 = 110101.1011B

四、第三大类：二进制 ↔ 八进制 ↔ 十六进制（快捷转换法）

因为 2、8、16 都是 2 的幂次，所以它们之间的转换完全不用先转十进制，有很好的分组法，记一句口诀：3 位二进制对应 1 位八进制，4 位二进制对应 1 位十六进制（简称 3 八 4 十六）。

4.1 二进制 ↔ 八进制

规则

二进制 → 八进制：整数部分从右往左，小数部分从左往右，每 3 位分一组，不足 3 位补 0，每组对应 1 位八进制数。
八进制 → 二进制：把每 1 位八进制数，转换成 3 位二进制数，不足 3 位补 0，按顺序拼接即可。

例子 1：二进制 → 八进制

把二进制 110101.1011B 转八进制

分组补 0：
- 整数部分（右→左）：110 101（刚好 2 组，不用补 0）
- 小数部分（左→右）：101 100（最后 1 位不足 3 位，右侧补 2 个 0）
每组转八进制：
- 110=6、101=5、101=5、100=4
- 结果：110101.1011B = 65.54O

例子 2：八进制 → 二进制

把八进制 127.56O 转二进制

每 1 位转 3 位二进制：
- 1=001、2=010、7=111、5=101、6=110
拼接起来：001010111.101110，去掉前导多余的 0
结果：127.56O = 1010111.10111B

4.2 二进制 ↔ 十六进制

规则

二进制 → 十六进制：整数部分从右往左，小数部分从左往右，每 4 位分一组，不足 4 位补 0，每组对应 1 位十六进制数。
十六进制 → 二进制：把每 1 位十六进制数，转换成 4 位二进制数，不足 4 位补 0，按顺序拼接即可。

例子 1：二进制 → 十六进制

把二进制 110101.1011B 转十六进制

分组补 0：
- 整数部分（右→左）：0011 0101（左侧补 2 个 0，凑够 4 位一组）
- 小数部分（左→右）：1011（刚好 4 位，不用补 0）
每组转十六进制：
- 0011=3、0101=5、1011=B
- 结果：110101.1011B = 35.BH