概述

假设检验分为假设和检验两个步骤：假设是指对事物总体的参数设立成对假设；检验是指检验设定的假设是否成立。即先提出假设，再验证假设是否合理。

基本概念

为了方便描述，引入硬币实验：扔100次硬币，有90次正面，10次反面。
需要对硬币是否均匀做出假设。

原假设

硬币是均匀的

备择假设

备择假设与原假设一般是对立的：硬币不是均匀的

显著性水平

设定好原假设与备择假设之后，再检验之前，需要设定一个标准用以判断是接受原假设还是拒绝原假设。这个标准即是： 给定一个小概率，根据小概率原理做出判断。小概率原理是指如果一个事件发生的概率很小，那么它在一次实验中是几乎不可能发生的。所以如果小概率事件发生了，那我们就可以拒绝原假设，从而接受备择假设。小概率通常用 $\alpha$ 表示，也被称为显著性水平。
常用的显著水平有：10%，5%，1%。

P值

P值是指：当原假设为真时，比所得到的样本观察结果更极端的结果出现的概率。
在上述的硬币实验中，P值就等于X<10或X>90的概率值。当P值小于显著水平$\alpha$时，我们就认为在原假设为真的情况下，出现的事件时如此的极端，于是拒绝原假设。即P值小于显著水平$\alpha$,拒绝原假设。

单侧检验

当判断不得少于/低于时用左侧，比如灯泡的使用寿命不得少于/低于700小时
当判断不得多于/高于时用右侧，比如次品率不得多于/高于5%时

双侧检验

双侧检验通常用于判断在区间范围之内，比如灯泡的寿命不得少于700小时，并且不能大于10000小时。

两类错误

我们判断是否接受原假设的前提是建立在小概率事件原理的基础上，但是小概率事件也是有可能发生的。所以假设检验有时也会出现错误的判断。错误类型分以下两种：

1.原假设实际为真，但根据样本数据判别为拒绝，此类错误被称为“弃真”错误，即将真的当作假的
2.原假设实际为假，但根据样本数据判别为接受，此类错误被称为“取伪”错误，即将假的当作真的

通常用显著性水平$\alpha$来控制假设检验中犯“弃真”错误和“取伪”错误的概率，当显著性水平$\alpha$增大时，“取伪”错误发生的概率就会减小，“弃真”错误发生的概率就会增大；反之当显著性水平$\alpha$减小时，发生“取伪”错误发生的概率就会增大，“弃真”错误发生的概率就会减小。

假设检验的步骤

1.按照实际问题建立原假设和备择假设
2.选择合适的显著性水平$\alpha$（即置信水平1-$\alpha$）
3.选择合适的样本统计量，并确定以原假设为真时的抽样分布
4.确定临界值
5.进行判断，得出结论

单样本假设检验

单样本假设通常时指假设未知的总体参数等于某个具体的值，比如：假设工厂生产的某一批灯泡产品的平均寿命等于1600小时。

两样本假设检验

两样本是指从两个总体中抽取样本，用样本参数检验这两个总体同类型未知参数的关系。
例如：
检验两个总体的均值是否相等，通过检验两个总体的均值差统计量，适用于Z分布或T分布
检验两个总体的方差是否相等，通过检验两个总体的方差比统计量，适用于F分布

例题

某笔记本电池的 生产商最近研发了一种新型笔记本电池，希望能够有效提高笔记本电池 的续航能力。已知该公司旧款的笔记本电池产品的续航时间服从正态分布，均值为100.3分钟，标准差为6.25分钟。而最近研发的改进型笔记本 电池，在理论上可以续航更长的时间，不过还需要测试和分析它们真实 续航能力如何。经过初步在线检验可以认为改进型笔记本电池的续航 时间也服从正态分布，标准差依然等于6.25分钟。现在随机抽取样本容量n=20的新研发电池作为样本，得到续航时间的均值为105.6分钟，在 显著性水平α=0.05的情况下，做原假设H0：μ=100.3分钟的单侧假设检 验，以比较旧款电池和新款电池的续航时间是否存在显著性差异。
第一步：建立原假设和备择假设。 根据题意，该电池生产商认为改进型电池的续航能力比旧款电池有 明显的增强，所以应该设立右侧假设，原假设和备择假设为：
$$H_0:{\mu }_z=100.3$$
$$H_1:{\mu }_z>100.3$$
第二步：选择合适的置信水平（1-α）100%。 由题目可知，该厂商选择的显著性水平为α=0.05，则置信水平为 （1-α）100%=95%。95%是也是常用的置信水平之一，能够比较好地控 制两类错误发生的概率。

第三步：根据已知条件，选择合适的抽样分布及其统计量。 该题是关于电池产品平均续航能力的假设检验，所以适用的抽样分 布是Z分布或T分布。经过测试，该电池厂商新款和旧款电池产品的续 航能力都服从正态分布，且新款电池产品平均续航时间的总体标准差已 知，所以适合使用的抽样分布是Z分布。

第四步：从总体抽取随机样本，计算p值。
首先通过Z统计量的计算公式，计算得到原假设中假设的新款电池 产品平均续航时间所对应的Z统计量的值z1。由于均值抽样分布的均值 等于总体均值，原假设中假定了总体均值为100.3分钟，所以有 μc=μz=100.3。此外，已知新款电池产品平均续航时间的总体标准差为6.25分钟，样本容量是20，因此可以求出均值抽样分布的标准差为：
$${\sigma }_c=\frac{{\sigma }_z}{\sqrt{n}}=\frac{6.25}{\sqrt{20}}=1.398$$
将均值抽样分布的均值，也就是原假设中假定的新款电池产品的平 均续航时间，均值抽样分布的标准差以及样本均值代入Z统计量的计算 公式，求得对应的z1值：
$$Z_1=\frac{\overline{x}-{\mu }_z}{{\sigma }_c}=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{105.6-100.3}{6.25/\sqrt{20}}=3.363$$
查标准正态分布表，z1=3.363所对应的标准正态分布概率为 0.4996，所以相伴概率p值等于0.5-0.4996=0.0004。此外，可以查到显著 性水平α=0.05在标准正态分布表上的对应z0.05值为1.645。

第五步：进行判别，得出结论。
我们可以通过两种方式判别是否接受原假设：一种是对比检验概率 p值与显著性水平α；另一种是比较z1值与zα值，两种判别方式可以得到 相同的结论。
因为z1=3.363＞z0.05=1.645，结果落在拒绝域，所以拒绝原假设， 接受备择假设。
此外，因为p=0.0004＜α=0.05，结果也落在拒绝域，所 以同样拒绝原假设，接受备择假设。
可以发现，这两种判断方式是等价的。因此，我们可以得出结论：该电池厂商新研发的电池产品在显著性 水平α=0.05下，可以认为新研发的电池产品的续航时间比旧款电池产品 有明显的增加。

参考

如何用最通俗易懂的方式理解假设检验
统计学基础–假设检验