卷积操作尺寸计算公式

在深度学习和图像处理中，卷积操作会改变输入图像的尺寸。计算卷积后图像尺寸的通用公式取决于以下几个参数：

• 输入图像尺寸：通常表示为高度 $H_{\text{in}}$ 和宽度 $W_{\text{in}}$（单位：像素）。
• 卷积核大小：通常表示为高度 $K_h$ 和宽度 $K_w$（单位：像素）。如果卷积核是正方形的（常见情况），则 $K_h=K_w=K$。
• 步幅（stride）：卷积核在图像上移动的步长，通常表示为高度方向步幅 $S_h$ 和宽度方向步幅 $S_w$。如果步幅相同，则 $S_h=S_w=S$。
• 填充（padding）：在图像边缘添加的像素数，通常表示为高度方向填充 $P_h$ 和宽度方向填充 $P_w$。如果填充对称，则 $P_h=P_w=P$。填充可以是零填充（常见）或其他方式。

通用公式

卷积后输出图像的高度 $H_{\text{out}}$ 和宽度 $W_{\text{out}}$ 的计算公式如下：

$$H_{\text{out}}=\lfloor \frac{H_{\text{in}}+2P_h-K_h}{S_h}\rfloor +1$$

$$W_{\text{out}}=\lfloor \frac{W_{\text{in}}+2P_w-K_w}{S_w}\rfloor +1$$

其中：

• $\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整（floor 函数），确保结果为整数。
• 公式假设卷积操作是标准的（无膨胀或其他修改）。

通用公式（含Dilation）

当卷积操作包含膨胀率（dilation rate）时，卷积核的感受野会扩大，导致输出尺寸进一步变化。

设：

• 输入图像尺寸：高度 $H_{\text{in}}$，宽度 $W_{\text{in}}$
• 卷积核尺寸：高度 $K_h$，宽度 $K_w$
• 膨胀率：高度方向 $D_h$，宽度方向 $D_w$（通常 $D_h=D_w=D$）
• 步幅：高度方向 $S_h$，宽度方向 $S_w$
• 填充：高度方向 $P_h$，宽度方向 $P_w$

输出尺寸计算公式为：
$$\boxed{\begin{array}{rl}{H}_{\text{out}}& =\lfloor \frac{H_{\text{in}}+2P_h-[(K_h-1)\times D_h+1]}{S_h}\rfloor +1\\ W_{\text{out}}& =\lfloor \frac{W_{\text{in}}+2P_w-[(K_w-1)\times D_w+1]}{S_w}\rfloor +1\end{array}}$$

关键说明

1. 膨胀后的卷积核有效尺寸：

   • 膨胀操作通过在卷积核元素间插入 $D-1$ 个空格来扩大感受野。
   • 膨胀后的有效高度：$K_h^{\prime }=(K_h-1)\times D_h+1$
   • 膨胀后的有效宽度：$K_w^{\prime }=(K_w-1)\times D_w+1$
   • 公式中的 $[(K_h-1)\times D_h+1]$ 和 $[(K_w-1)\times D_w+1]$ 即膨胀后的有效核尺寸。

2. 公式逻辑：

   • 分子部分：
     $H_{\text{in}}+2P_h-K_h^{\prime }$（宽度同理）
     表示输入尺寸加填充后，减去膨胀后的有效核尺寸。
   • 分母部分：除以步幅 $S_h$（或 $S_w$）。
   • 取整操作 $\lfloor \cdot \rfloor$：确保输出为整数像素位置。
   • +1：包含卷积核起始位置对应的输出。

3. 当膨胀率 $D=1$ 时：
   公式退化为标准卷积（无膨胀），因为：
   $K_h^{\prime }=(K_h-1)\times 1+1=K_h$。