大学生数学建模介绍及其入门

1. 数学建模介绍

1.1 数学建模概念

数学建模是运用数学模型解决实际问题，例如某区域水资源评价、水利工程项目风险评价、水资源污染增长预测、快递员派送快递的最短路径等问题。

1.2 数学模型的概念

数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型，通俗来讲就是数学方法。

• 已学模型：初中的线性规划模型，高中的方差分析模型、排队论、图论，大学的插值拟合模型、常微分方程模型等。

• 未学模型：层次分析法、神经网络模型、模糊数学模型、灰色系统理论模型、遗传算法模型、模拟退火算法模型。

1.3 数学建模模型分类及其应用领域

数学建模模型主要分为预测模型、优化模型、评价模型三类：

• 预测模型：包括神经网络预测、灰色预测、拟合插值预测（线性回归）等，应用于人口预测、水资源污染增长预测等工业、农业、商业、环境、社会和军事等多个领域。

• 优化模型：包括规划模型、图论模型、排队论模型等，应用于快递员最短路径、水资源调度优化等各个领域。

• 评价模型：包括模糊综合评价法、层次分析法、聚类分析法等，应用于区域水资源评价、水利工程项目风险评价等领域。

1.4 数学建模发展介绍

• 1985年：美国大学生数学建模竞赛（美赛）创办，是数学建模的鼻祖。

• 1992年：清华大学姜启源等教授将数学建模引入国内，中国大学生数学建模竞赛创办。

• 1999年：美赛出现跨学科竞赛，美国同时创办中学生数学建模竞赛。

• 2004年：中国创办全国研究生数学建模竞赛。

• 2014年：中国创办全国中学生数学建模竞赛。

1.5 竞赛流程介绍

• 时间节点：每年4月下达通知→6月报名→9月中旬竞赛→11月公布结果→12月颁奖典礼→12月末发放证书。

• 竞赛时长：大学生竞赛为3天3夜（72小时），研究生竞赛为4天4夜零4小时（100小时），均为3人一队。

• 论文要求：撰写约30页赛题解决方案论文，核心内容包括摘要、关键词、问题重述等，需提交论文PDF/WORD版、画图源程序等附件。

1.6 参加数学建模竞赛好处

• 评奖评优加分：部分学校评国家奖学金、学业奖学金时，国家一等奖加10分，二等奖加8分，三等奖加5分。

• 就业/升学优势：国家级奖项在面试中极具竞争力。

• 落户加分：以上海为例，国家一等奖加10分，二等奖加8分，三等奖加6分。

• 学术科研帮助：提升论文排版、数据处理能力，熟练运用相关软件，所学模型可应用于学术论文写作。

• 搭建生活与数学的桥梁，学习实用数学知识，锻炼逻辑思维能力。

2. 数学建模竞赛历年赛题和优秀论文

2.1 中国大学生数学建模竞赛

• 官网网站：http://www.mcm.edu.cn/

• 历年赛题原文网址：http://www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html

• 历年获奖名单：http://www.mcm.edu.cn/html_cn/block/018500ec1a6bd8c7e9997133def2b590.html

2.2 美国大学生数学建模竞赛

• 官网网站：http://www.comap.com/undergraduate/contests/

• 历年赛题原文网址：http://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/previous-contests.php

• 历年获奖名单：http://www.comap.com/undergraduate/contests/mcm/previous-contests.php

2.3 中国研究生数学建模竞赛

• 官网网站：http://gmcm.seu.edu.cn/

• 历年赛题原文网址：http://gmcm.seu.edu.cn/31/list.htm

• 历年获奖名单：http://gmcm.seu.edu.cn/24/list.htm

2.4 附历年数学建模竞赛赛题

年份	题号	大学生国赛题目	大学生美赛题目	研究生国赛题目
2004	A	奥运会临时超市网点设计	指纹是独一无二的吗？	发现黄球并定位
2004	B	电力市场的输电阻塞管理	更快的快通系统	实用下料问题
2004	C	饮酒驾车	安全与否？	售后服务数据的运用
2004	D	公务员招聘	-	研究生录取问题
2005	A	长江水质的评价和预测	水灾计划（溃坝模型）	高速公路行车时间的估计
2005	B	DVD在线租赁	高速收费亭	空中加油
2005	C	雨量预报方法的评价	不可再生的资源	城市交通管理中的出租车规划
2005	D	DVD在线租赁	-	仓库容量有限条件下的随机存贮模型
2006	A	出版社的资源配置	用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度	Ad Ho网络中的区域划分和资源分配问题
2006	B	艾滋病疗法的评价及疗效的预测	通过机场的轮椅	神州六号确定高精度参数问题
2006	C	易拉罐形状和尺寸的最优设计	抗击艾滋病的协调	维修线性流量阀时的内筒设计问题
2006	D	煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制	-	学生面试问题
2007	A	中国人口增长预测	不公正划分选区	建立食品卫生安全保障体系数学模型
2007	B	乘公交，看奥运	飞机座位的问题	机械臂运动路径设计问题
2007	C	手机“套餐”优惠几何	器官移植:肾交换问题	探讨提高高速公路路面质量的改进方案
2007	D	体能测试时间安排	-	邮政运输网络中的邮路规划和邮车调度
2008	A	数码相机定位	给大陆洗个澡	汶川地震唐家山堰塞湖泄洪问题
2008	B	高等教育学费标准探讨	建立数独拼图游戏	城市道路交通信号实时控制问题
2008	C	汶川大地震地面搜索	寻找好的卫生保健系统	货运列车的编组调度问题
2008	D	NBA赛程的分析与评价	-	中央空调系统节能设计问题
2009	A	制动器试验台的控制方法分析	设计一个交通环岛	我国就业人数或城镇登记失业率
2009	B	眼科病床的合理安排	能源和手机	枪弹头痕迹自动比对方法的研究
2009	C	卫星和飞船的跟踪测控	构建食物系统-重新平衡被人类影响的系统	多传感器数据融合与航迹预测
2009	D	会议筹备	-	110警车配置及巡逻方案
2010	A	储油罐的变位识别与罐容表标定	最佳击球点	确定肿瘤的重要基因信息
2010	B	2010年上海世博会影响力的定量评估	犯罪学	与封堵溃口有关的重物落水后运动过程
2010	C	输油管的布置	海洋垃圾积累所带来的复杂的问题	神经元的形态分类和识别
2010	D	对学生宿舍设计方案的评价	-	特殊工件磨削加工的数学建模
2011	A	城市表层土壤重金属污染分析	滑雪场问题	基于光的波粒二象性一种猜想的数学仿真
2011	B	交巡警服务平台的设置与调度	中继站的协调	吸波材料与微波暗室问题
2011	C	企业退休职工养老金制度的改革	电动汽车	小麦发育后期茎秆抗倒性
2011	D	天然肠衣搭配问题	-	房地产行业的数学建模
2012	A	葡萄酒的评价	树的叶子	基因识别问题及其算法实现
2012	B	太阳能小屋的设计	大长河沿岸露营	基于卫星无源探测的飞行主动段轨道分析
2012	C	脑卒中发病环境因素分析及干预	犯罪克星	有杆抽油系统的数学建模及诊断
2012	D	机器人避障问题	-	基于卫星云图风矢场度量模型与算法探讨
2013	A	车道被占用对城市道路通行能力的影响	最佳巧克力蛋糕烤盘	变循环发动机部件法建模及优化
2013	B	碎纸片的拼接复原	水，水，无处不在	功率放大器非线性特性及预失真建模
2013	C	古塔的变形	地球健康的网络模型	微蜂窝环境中无线接收信号的特性分析
2013	D	公共自行车服务系统	-	空气中PM2.5问题的研究
2013	E	-	-	中等收入定位与人口度量模型研究
2013	F	-	-	可持续的中国城乡居民养老保险体系研究
2014	A	嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略	除非超车否则靠右行驶的交通规则	小鼠视觉信号与视觉刺激之间的关系研究
2014	B	创意平板折叠桌	大学教练传奇	机动目标的跟踪与反跟踪
2014	C	生猪养殖场的经营管理	网络科学出版物的清单	无线通信中的快时变信道建模
2014	D	储药柜的设计	-	人体营养健康角度的果蔬发展战略研究
2014	E	-	-	乘用车物流运输计划问题
2015	A	太阳影子定位	根除埃博拉病毒	水面舰艇编队防空和信息化战争评估模型
2015	B	“互联网+”时代的出租车资源配置	寻找失踪的马航飞机	数据的多流形结构分析
2015	C	月上柳梢头	组织机构下的人力资本管理	移动通信中的无线信道“指纹”特征建模
2015	D	众筹筑屋规划方案设计	这是可持续的吗（不发达国家）？	面向节能的单/多列车优化决策问题
2015	E	-	-	数控加工刀具运动的优化控制
2015	F	-	-	旅游路线规划问题
2016	A	系泊系统的设计	热水澡	多无人机协同任务规划
2016	B	小区开放对道路通行的影响	太空垃圾	具有遗传性疾病和性状的遗传位点分析
2016	C	电池剩余放电时间预测	goodgrant 的挑战	基于无线通信基站的室内三维定位问题
2016	D	风电场运行状况分析及优化	社会信息网络的演变和影响评估	军事行动避空侦察的时机和路线选择
2016	E	-	我们朝着干渴的星球迈进吗？	粮食最低收购价政策问题研究
2016	F	-	难民移民政策模型	-
2017	A	CT系统参数标定及成像	管理赞比西河	无人机在抢险救灾中的优化运用
2017	B	“拍照赚钱”的任务定价	高速路的收费站	面向光通信的VCSEL激光器仿真模型
2017	C	颜色与物质浓度辨识	“合作和导航”	飞机航班恢复问题
2017	D	巡检线路的排班	在机场安全检查站优化乘客吞吐量	基于监控视频的前景目标提取
2017	E	-	需要可持续城市！	多波次导弹发射中的规划问题
2017	F	-	迁移到火星：2100城市社会的乌托邦劳动力	构建地下物流系统网络

3. 数学建模常用软件

数学建模与软件应用密不可分，核心是用软件处理和计算数据，最常用软件为MATLAB（重点掌握）：

• 优化计算：MATLAB、LINGO/LINDO、Mathematica

• 数据处理：EXCEL、ORIGIN、SPSS

• 统计分析：SAS、SPSS、stata、eviews

• 画图软件：MATLAB、EXCEL、WORD、ORIGIN、AUTO CAD、VISIO、Photoshop（图片修理）

• 论文排版：word、latax（美赛常用）

• 查看文献：CAJ阅览器、PDF阅读器

4. 数学建模基本步骤

4.1 竞赛答题流程

（注：以下为研究生竞赛5天左右流程，大学生竞赛为3天3夜，对应调整时间）

1. 第一天上午：下载赛题、阅读分析、查阅文献、选择赛题（3人协同）。

2. 第一天下午：验证剩余题目思路，确定不换题后着手第一题。

3. 第一天晚上：分析题目，完成第一题的分析、建模和求解。

4. 第二天上午：完善第一题（难题可暂放），着手第二题分析与建模。

5. 第二天下午：研读文献，完成第二题模型建立、编程求解及框架。

6. 第二天晚上：完善第二题各小问，启动第三题分析和论文写作。

7. 第三天上午：理清第三题思路，完善分析、研读文献并建模。

8. 第三天下午：完善第三题模型建立与求解。

9. 第三天晚上：完善第三题求解，启动第四题分析，继续撰写论文。

10. 第四天上午：第四题模型建立与求解。

11. 第四天下午：第五题分析和模型建立。

12. 第四天晚上：完成第五题求解，撰写符号说明、敏感性分析等内容。

13. 第五天上午：撰写修改摘要、论文排版、提交PDF版至官网。

14. 第六天左右：整理附件并打包发送至指定邮箱。

4.2 论文写作要求

1. 赛题：需写题号，可沿用原赛题标题或另拟标题。

2. 摘要：分导语、各题介绍、结语，需准确简明，涵盖模型归类、思路等核心内容。

3. 关键词：3-5个，突出主题和优势。

4. 问题重述：基于原题简化调整，不照搬、不脱离原题。

5. 问题分析：先整体思路分析（可附框架图），再分小问逐一分析。

6. 模型假设：包含题目忽略部分、模型局限性条件，关键假设不可缺失。

7. 符号说明：集中列出模型公式中符号，可含名词解释。

8. 模型建立与求解（核心部分）：模型需实用有效，求解需规范，结果需检验并直观呈现。

9. 模型评价及其优缺点：客观评价所用模型，突出优点，说明少量缺点。

10. 模型推广：说明模型在其他领域的应用场景。

11. 参考文献：按规范格式撰写，优先引用高档次、强相关文献。

12. 附录：包含冗余图表、模型求解程序代码等。

5. 数学建模入门例子

5.1 题目

市场上有n种资产（i=1,2,...,n）可选择，用数额为M的大额资金进行一个时期投资。n种资产的平均收益率为rᵢ，风险损失率为qᵢ，投资越分散总风险越少，总体风险用最大单项风险度量。购买需付交易费，费率为pᵢ，购买额不超过给定值uᵢ时按购买额计算交易费。同期银行存款利率为r₀，无交易费无风险（q₀=0）。n=4时相关数据如下表：

资产	rᵢ(%)	qᵢ(%)	pᵢ(%)	uᵢ(元)
1	28	2.5	1	103
2	21	1.5	2	198
3	23	5.5	4.5	52
4	25	2.6	6.5	40

设计投资组合方案，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。

5.2 解答

5.2.1 符号说明

• i：第i种投资项目（i=0,1,2,3,4），i=0指存入银行；

• rᵢ、pᵢ、qᵢ：第i种投资项目的平均收益率、交易费率、风险损失率（i=0时r₀=5%，p₀=0，q₀=0）；

• uᵢ：第i种投资项目的交易定额（i=1,2,3,4）；

• xᵢ：投资第i种项目的资金（i=0,1,2,3,4）；

• a：投资风险度；

• Q：总体收益。

5.2.2 基本假设

1. 投资数额M极大，假设M=1（便于计算）；

2. 投资越分散，总风险越小；

3. 总体风险用投资项目中最大单项风险度量；

4. 4种资产相互独立；

5. 投资期内rᵢ、pᵢ、qᵢ为定值，不受意外因素影响；

6. 净收益和总体风险仅受rᵢ、pᵢ、qᵢ、xᵢ影响。

5.2.3 问题的分析与模型建立

1. 总体风险：max{q₁x₁, q₂x₂, q₃x₃, q₄x₄}；

2. 净收益简化：因uᵢ相对M很小，净收益简化为Σ(xᵢrᵢ - xᵢpᵢ)（i=0到4）；

3. 多目标规划模型：

   1. 目标函数：max Q = Σ(xᵢrᵢ - xᵢpᵢ)，min max{q₁x₁, q₂x₂, q₃x₃, q₄x₄}

   2. 约束条件：Σxᵢ(1 + pᵢ) ≤ M（i=0到4），xᵢ ≥ 0

4. 模型简化：

   1. 模型一（固定风险水平优化收益）：max Q = Σ(xᵢrᵢ - xᵢpᵢ)，s.t. qᵢxᵢ ≤ a，Σxᵢ(1 + pᵢ) ≤ M，xᵢ ≥ 0；

   2. 模型二（固定盈利水平极小化风险）：min a = max{qᵢxᵢ}，s.t. Σ(xᵢrᵢ - xᵢpᵢ) ≥ Q₀，Σxᵢ(1 + pᵢ) ≤ M，xᵢ ≥ 0；

   3. 模型三（加权综合）：min s·max{qᵢxᵢ} - (1 - s)·Σ(xᵢrᵢ - xᵢpᵢ)，s.t. Σxᵢ(1 + pᵢ) ≤ M，xᵢ ≥ 0（s为投资偏好系数）。

5.2.4 模型一的求解

用MATLAB编制程序，以a=0为起点，步长0.001循环搜索至a<0.05，核心代码如下：

clc,clear a=0;hold on while a<0.05 c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185]; A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])]; b=a*ones(4,1); Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065]; beq=1; LB=zeros(5,1); [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB); Q=-Q; plot(a,Q,'*k'); a=a+0.001; end xlabel('a'),ylabel('Q')

5.2.5 结果分析

• 风险与收益正相关，风险越大收益越高；

• 投资越分散，投资者承担风险越小，冒险型倾向集中投资，保守型倾向分散投资；

• 风险度a≈0.025时为曲线转折点，左侧风险小幅增加即带来显著收益增长，右侧收益增长放缓，建议选择此点为最优投资组合（a≈0.025，Q≈0.20），对应投资方案为x₀≈0.28，x₁≈0.48，x₂≈0.24，x₃=0，x₄=0。

6. 数学建模入门学习计划

三人组队分工学习，具体计划如下：

课题学习模块	内容	分工情况
数学建模入门学习	掌握数学建模含义及用途；了解竞赛流程和注意要点；掌握论文写作格式和注意要点；掌握入门例子	全员
数学建模入门软件学习	熟悉MATLAB编程、计算、画图；熟练运用SPSS进行数据分析；熟练运用EXCEL进行数据处理和画图；熟练运用word进行论文排版及流程图绘制	编程手：MATLAB；建模手：SPSS、EXCEL；写作手：word
数学建模模型方法学习	熟练掌握层次分析法、模糊综合评价法、主成分分析法等模型的运用及程序实现	建模手：掌握模型方法；写作手：了解模型方法；编程手：了解方法并实现程序
模拟练习	进行一次模拟练习，分工明确，全员参与	全员
复习巩固	整理各模型步骤（word编辑）；准备各模型现有程序代码并会修改	建模手、写手：整理模型步骤；编程手：准备修改代码