烟幕干扰弹主要通过化学燃烧或爆炸分散形成烟幕或气溶胶云团，在目标前方特定空域

形成遮蔽，干扰敌方导弹，具有成本低、效费比高等优点。随着烟幕干扰技术的不断发展，

现已有多种投放方式完成烟幕干扰弹的定点精确抛撒，即在抛撒前能精确控制烟幕干扰弹到

达预定位置，通过时间引信时序控制起爆时间。

现考虑运用无人机完成烟幕干扰弹的投放策略问题。具有长续航能力的无人机挂载某型

烟幕干扰弹在特定空域巡飞，受领任务后，无人机投放烟幕干扰弹在来袭武器和保护目标之

间形成烟幕遮蔽。每架无人机投放两枚烟幕干扰弹至少间隔 1 s。烟幕干扰弹脱离无人机后，

在重力作用下运动。烟幕干扰弹起爆后瞬时形成球状烟幕云团，由于采用特定技术，该烟幕

云团以 3 m/s 的速度匀速下沉。据试验数据知，云团中心 10 m 范围内的烟幕浓度在起爆 20

s 内可为目标提供有效遮蔽。

来袭武器为空地导弹，该型导弹飞行速度 300 m/s。导弹的飞行方向直指一个为掩护某

半径 7 m、高 10 m 的圆柱形固定目标而专门设置的假目标。以假目标为原点，水平面为 𝑥𝑦

平面，真目标下底面的圆心为 (0, 200, 0)。警戒雷达发现来袭导弹时，3 枚导弹 M1、M2、

M3 分别位于 (20000, 0, 2000)、(19000, 600, 2100)、(18000, −600, 1900)；5 架无人机的位

置信息分别为 FY1(17800, 0, 1800)、FY2(12000, 1400, 1400)、FY3(6000, −3000, 700)、

FY4(11000, 2000, 1800)、FY5(13000, −2000, 1300)。

解题思路参考：

针对烟幕干扰弹投放策略的数学建模问题，我们需要从几何、运动学和优化角度进行分析。

一、问题分析概要

关键假设与模型：

1. 烟幕云团：起爆后形成半径为10m的球，以3m/s匀速下沉。

2. 有效遮蔽：云团中心10m范围内，起爆后20秒内有效。

3. 导弹运动：匀速直线运动，速度300m/s，方向指向假目标。

4. 无人机运动：等高度匀速直线飞行，速度70~140m/s，方向可调。

5. 投放间隔：同一无人机投放两弹间隔至少1秒。

---

二、问题1：单机单弹干扰M1（已知参数）

解题思路：

• 已知FY1速度120m/s，方向朝向假目标，投放后1.5s投弹，3.6s后起爆。

• 计算烟幕云团中心轨迹（考虑重力下落和匀速下沉）。

• 计算导弹M1与云团中心的距离是否小于10m，判断有效遮蔽时间。

伪代码：

1. 定义初始参数：导弹速度、烟幕下沉速度、重力加速度等。
2. 计算FY1投弹时刻的位置。
3. 计算烟幕弹从投放到起爆的自由落体位移。
4. 计算起爆点坐标。
5. 模拟烟幕云团下沉轨迹。
6. 模拟导弹运动轨迹。
7. 计算每个时间点导弹与云团中心的距离。
8. 若距离 ≤ 10m，则记录为有效遮蔽时间。

MATLAB 代码片段（问题1）：

g = 9.8; % 重力加速度
v_missile = 300; % 导弹速度
v_smoke_sink = 3; % 烟幕下沉速度
t_drop = 1.5; % 投放时间
t_explode = 3.6; % 起爆时间

% FY1初始位置
FY1_start = [17800, 0, 1800];
% 导弹M1初始位置
M1_start = [20000, 0, 2000];
% 假目标位置
fake_target = [0, 200, 0];

% 计算FY1飞行方向向量（朝向假目标）
dir_FY1 = fake_target - FY1_start(1:2);
dir_FY1 = [dir_FY1, 0]; % 保持水平飞行
dir_FY1 = dir_FY1 / norm(dir_FY1);

v_FY1 = 120; % 无人机速度

% 投弹点位置
drop_point = FY1_start + v_FY1 * t_drop * dir_FY1;

% 烟幕弹自由落体时间 = t_explode - t_drop
t_free = t_explode - t_drop;
z_drop = drop_point(3);
z_explode = z_drop - 0.5 * g * t_free^2; % 起爆点高度

% 起爆点水平位置不变（忽略空气阻力）
explode_point = [drop_point(1:2), z_explode];

% 烟幕云团中心随时间下沉轨迹
t_sim = 0:0.1:20; % 模拟20秒
smoke_center = zeros(length(t_sim), 3);
for i = 1:length(t_sim)
    t = t_sim(i);
    smoke_center(i,:) = [explode_point(1:2), explode_point(3) - v_smoke_sink * t];
end

% 导弹M1运动方向（指向假目标）
dir_M1 = fake_target - M1_start;
dir_M1 = dir_M1 / norm(dir_M1);
M1_traj = M1_start + v_missile * t_sim' * dir_M1;

% 计算距离
dist = vecnorm(M1_traj - smoke_center, 2, 2);
effective = dist <= 10;
total_effective_time = sum(effective) * 0.1; % 时间步长0.1s

disp(['有效遮蔽时间: ', num2str(total_effective_time), ' 秒']);

---

三、问题2：单机单弹干扰M1（优化投放策略）

解题思路：

• 优化变量：无人机速度（70~140m/s）、飞行方向、投放时间、起爆时间。

• 目标函数：最大化有效遮蔽时间。

• 约束：投放与起爆时间差 ≥ 0，无人机速度范围。

伪代码：

使用优化算法（如fmincon）求解：
  设计变量：θ（方向角），v（速度），t_drop，t_explode
  目标函数：-遮蔽时间（求最小化负时间）
  约束：v in [70,140], t_explode >= t_drop

MATLAB 代码框架（问题2）：

function total_time = objective(x)
    % x = [theta, v, t_drop, t_explode]
    % 解包变量，计算遮蔽时间（类似问题1）
    % 返回负的遮蔽时间（用于最小化）
end

x0 = [0, 120, 1, 3]; % 初始猜测
lb = [-pi, 70, 0, 0];
ub = [pi, 140, inf, inf];
A = [0,0,-1,1]; b = 0; % t_explode >= t_drop
options = optimoptions('fmincon','Display','iter');
x_opt = fmincon(@objective, x0, A, b, [], [], lb, ub, [], options);

---

四、问题3：单机三弹干扰M1

解题思路：

• 三枚弹投放时间、起爆时间可调，间隔≥1s。

• 可分别优化每弹的参数，或联合优化。

• 总遮蔽时间 = 三弹遮蔽时间的并集（可能重叠）。

伪代码：

定义三组变量：每弹的投放时间、起爆时间
优化目标：总有效遮蔽时间（需合并三弹的遮蔽区间）
约束：投放间隔 ≥1s，起爆时间合理

---

五、问题4：三机各一弹干扰M1

解题思路：

• 三架无人机协同干扰同一导弹。

• 每架无人机可独立调整速度、方向、投放时间、起爆时间。

• 优化变量更多，可分布式优化或联合优化。

---

六、问题5：五机多弹干扰三导弹

解题思路：

• 多目标优化：需同时干扰三枚导弹。

• 可分解为：

  • 分配每架无人机干扰哪枚导弹（或协同干扰）

  • 为每架无人机设计投放策略

• 可使用整数规划（分配问题） + 连续优化（每弹参数）

---

七、通用函数建议

可编写以下函数复用：

• effective_time(smoke_center, missile_traj)：计算遮蔽时间

• missile_trajectory(start, target, v, t)：返回导弹轨迹

• smoke_center_trajectory(explode_point, v_sink, t)：返回烟幕中心轨迹