[数学建模从入门到入土] 评价模型

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注：本文仅对所述内容做了框架性引导，具体细节可查询其余相关资料or源码

参考文章：各方资料

评价类问题

针对多个候选对象(方案, 产品, 项目, 政策, 指标集)或多个维度的表现(性能, 成本, 风险, 收益)进行综合比较和衡量, 从而得到合理的等级划分排序

1. 标准化
2. 确定权重

标准化

重要性:

1. 消除量纲影响
2. 统一取值范围

1. min-max normalization

缩放到0-1区间

对于越大越好的:
$$x^{\prime }=\frac{x-x_{\min }}{x_{\max }-x_{\min }}$$
对于越小越好的:
$$x^{\prime }=\frac{x_{\max }-x}{x_{\max }-x_{\min }}$$

• 优点: 简单直观
• 缺点: 异常值敏感

2. mean normalization

缩放到-1-1区间, 均值为0
$$x^{\prime }=\frac{x-\mu }{x_{\max }-x_{\min }}$$

• 优点: 简单直观, 保留数据中心化
• 缺点: 异常值敏感

3. z-score normalization

均值为0, 方差为1的标准正态分布 (适用于消除异常值影响)
$$x^{\prime }=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

• 优点: 适用于正态分布的数据
• 缺点: 不适用于正态分布的数据; 异常值敏感

4. vector normalization

适用于欧几里得空间中的多维数据 (x除以其模长)
$$x^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}}$$

• 优点: 适用于计算欧几里得距离(文本分类, 图像处理)
• 缺点: 不适用于需要保留数据间原有比例关系的场景

5. score normalization

缩放, 用于评分系统
$$x^{\prime }=\frac{x}{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}$$

• 优点: 直观, 用于评分
• 缺点: 不适用于需要保留数据绝对值的场景; 极端值敏感

6. log

适用于数据分布高度偏斜 (+1避免对数零的情况)
$$x^{\prime }=\log (x+1)$$

• 优点: 适用于高度偏斜的数据
• 缺点: 对非正值无效

确定权重

1.主观赋权

专家经验

• 层次分析AHP
• 模拟层次分析
• 德尔菲法

2.客观赋权

数据本身

• 熵权法EWM
• 因子分析
• 变异系数法

3.组合赋权

• 加权平均法
• 乘法融合法
• 优化模型

层次分析AHP

• 建立递阶层次结构模型
  

• 构造出各层次中的所有判断矩阵
  ($a_{ij}$: 第i个指标相对第j个指标的重要程度)
  

• 一致性检验
  

• 求权重后进行评价
  (各指标乘以其对应的权重, 加和得到总分)

例子:

熵权法EWM

对于某个指标, 可以用熵值来判断某个指标的离散程度
信息熵值越小, 指标的离散程度就越大, 该指标的影响/权重就越大
(如果某项指标的值都相等, 则该指标不起作用)
(依据的原理: 指标的变异程度越小, 其反映的信息量越少, 对应的权重越低)

1. 数据标准化
   $$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n}{x}_{ij}^2}$$

2. 计算第j个指标下, 第i个样本所占的比重
   $$p_{ij}=\frac{\widetilde{z_{ij}}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n}\widetilde{z_{ij}}}$$

3. 计算熵权
   $$\begin{gathered} e_j=-\frac{1}{\ln n}\sum _{i=1}^n{p}_{ij}\ln (p_{ij})(j=1,2,...,m) \\ {d}_j=1-e_j \\ {W}_j=\frac{d_j}{{\sum }_{j=1}^m{d}_j} \end{gathered}$$

除以$\ln n$是为了使信息熵始终在[0,1]区间

由于信息熵$e_j$越大, 其信息效用越小, 所以需要用1来减
-> 信息效用$d_j$越大, 其权重$W_j$越大

例子:

组合赋权法

• 线性加权平均法:
  设定参数 $\alpha ,\beta$ 且 $\alpha +\beta =1$，则
  $$W^{\ast }=\alpha W_{AHP}+\beta W_{EWM}$$
  可根据决策者对主客观判断的信任度调节 $\alpha ,\beta$

• 乘法组合法:
  将对应指标的AHP和EWM权重相乘后归一化
  $$w_i^{\ast }=\frac{w_i^{AHP}\cdot w_i^{EWM}}{{\sum }_j{w}_j^{AHP}\cdot w_j^{EWM}}$$
  若两种方法对同一指标权重均高，则综合后该指标权重更突出

1. 准备数据：已有指标数据并通过 AHP 求得 $W_{AHP}$，通过 EWM 求得 $W_{EWM}$
2. 选择组合策略：根据需求选择加权平均法或乘法组合法
3. 计算综合权重
4. 归一化处理：若计算后 $\Sigma w\ne 1$，则归一化使$\Sigma w^{\ast }=1$
5. 验证与分析：比较 $w^{\ast }$ 与 $W_{AHP},W_{EWM}$，分析组合后权重的变化特性

逼近理想解排序法TOPSIS

通过计算各方案与理想解和负理想解的距离, 对多个方案进行排序

核心思想: 最优方案应该同时最接近理想解和最原理负理想解

TOPSIS基于欧几里得距离

e.g. 供应商的选择, 投资策略, 资源分配

1. 数据标准化(x->z)

2. 加权处理(z->v)

3. 确定理想解和负理想解
   (分别计算各指标的最优值和最劣值)
   $$\begin{gathered} \text{理想解:}{A}^{+}=\left(\max (v_{i1}),\max (v_{i2}),\dots ,\max (v_{in})\right) \\ \text{负理想解:}{A}^{-}=\left(\min (v_{i1}),\min (v_{i2}),\dots ,\min (v_{in})\right) \end{gathered}$$

4. 计算距离
   $$\begin{gathered} D_i^{+}:\text{第i个方案与理想解的欧几里得距离} \\ {D}_i^{-}:\text{第i个方案与负理想解的欧几里得距离} \end{gathered}$$

5. 计算贴近度
   (贴近度越大, 方案越优)
   $$C_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

例子:

import numpy as np

def normalize_data(data, criteria_types):
    normalized_data = np.zeros_like(data, dtype=float)
    n, m = data.shape

    for j in range(m):
        column_data = data[:, j]
        if criteria_types[j] == 1:  # 正向指标
            normalized_data[:, j] = (
                (column_data - np.min(column_data)) / (np.max(column_data) - np.min(column_data))
            )
        else:  # 逆向指标
            normalized_data[:, j] = (
                (np.max(column_data) - column_data) / (np.max(column_data) - np.min(column_data))
            )
    return normalized_data

def weighted_normalization(normalized_data, weights):
    # todo
    normalized_data = np.asarray(normalized_data, dtype=float)
    weights = np.asarray(weights, dtype=float)

    if normalized_data.ndim != 2:
        raise ValueError("normalized_data 必须是二维矩阵 (n, m)")
    if weights.ndim != 1:
        raise ValueError("weights 必须是一维向量 (m,)")
    if normalized_data.shape[1] != weights.shape[0]:
        raise ValueError(f"维度不匹配: normalized_data.shape={normalized_data.shape}, weights.shape={weights.shape}")

    w_sum = weights.sum()
    if not np.isfinite(w_sum) or w_sum <= 0:
        raise ValueError("weights 之和必须为正且有限")
    # 如果你希望权重一定归一化，可以保留这句
    weights = weights / w_sum

    return normalized_data * weights
def calculate_ideal_solutions(weighted_data):
    ideal_solution = np.max(weighted_data, axis=0)
    negative_ideal_solution = np.min(weighted_data, axis=0)
    return ideal_solution, negative_ideal_solution

def calculate_distances(weighted_data, ideal_solution, negative_ideal_solution):
    n = weighted_data.shape[0]
    d_plus = np.zeros(n)
    d_minus = np.zeros(n)

    for i in range(n):
        d_plus[i] = np.sqrt(np.sum((weighted_data[i] - ideal_solution) ** 2))
        d_minus[i] = np.sqrt(np.sum((weighted_data[i] - negative_ideal_solution) ** 2))

    return d_plus, d_minus

def calculate_closeness(d_plus, d_minus):
    return d_minus / (d_plus + d_minus)

data = np.array([
    [100, 8, 10],
    [150, 7, 8],
    [120, 9, 12]
])

criteria_types = [-1, 1, -1]

weights = np.array([0.4, 0.3, 0.3])

normalized_data = normalize_data(data, criteria_types)
print("标准化后的数据：")
print(normalized_data)

weighted_data = weighted_normalization(normalized_data, weights)
print("\n加权标准化后的数据：")
print(weighted_data)

ideal_solution, negative_ideal_solution = calculate_ideal_solutions(weighted_data)
print("\n理想解：", ideal_solution)
print("负理想解：", negative_ideal_solution)

d_plus, d_minus = calculate_distances(weighted_data, ideal_solution, negative_ideal_solution)
print("\n与理想解的距离：", d_plus)
print("与负理想解的距离：", d_minus)

closeness = calculate_closeness(d_plus, d_minus)
print("\n各方案的贴近度：", closeness)


suppliers=["供应商A", "供应商B", "供应商C"]
ranking = sorted(zip(suppliers, closeness), key=lambda x: x[1], reverse=True)
print("\n推荐排序：")
for i, (supplier, score) in enumerate(ranking, 1):
    print(f"{i}. {supplier}: {score:.4f}")

补充-一致矩阵

对于正互反矩阵A: $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$
$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$$

$$a_{ij}>0,a_{ii}=1,a_{ij}=\frac{1}{a_{ji}}$$

其为一致矩阵的充要条件是:
$$\{\begin{array}{ll}{a}_{ij}>0& \text{所有元素均大于 0}\\ a_{11}=a_{22}=\cdots =a_{nn}=1& \text{对角线元素均为 1}\\ \left[a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in}\right]=k_i\left[a_{11},a_{12},\dots ,a_{1n}\right]& \text{矩阵每行成比例(r(A)=1)}\end{array}$$
故而, 一致矩阵只有一个特征值$n$, 其余为0

特征值为n时, 其特征向量对应为:
$$k\left[\begin{array}{c}\frac{1}{a_{11}}\\ \frac{1}{a_{12}}\\ ⋮\\ \frac{1}{a_{1n}}\end{array}\right],k\ne 0$$
推论: n阶正互反矩阵A为一致矩阵 当且仅当 最大特征值${\lambda }_{max}=n$

若正互反矩阵A的最大特征值${\lambda }_{max}>n$, 则需要一致性检验(判断该矩阵的一致性是否在接受范围内)

补充-层次分析法若未通过一致性检验

1.算术平均法求权重

1. 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
2. 第二步：将归一化的各列相加（按行求和）
3. 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

假设判断矩阵:
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$$

那么算术平均法求得的权重向量:
$$w_i=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n\frac{a_{ij}}{{\sum }_{k=1}^n{a}_{kj}}(i=1,2,3,...,n)$$

2.几何平均法求权重

1. 第一步：将判断矩阵的各行元素相乘得到的值组成一个列向量
2. 第二步：将得到的列向量的每个分量开n次方
3. 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

假设判断矩阵:
$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$$

那么几何平均法求得的权重向量:
$$w_i=\frac{{\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{ij}\right)}^{\frac{1}{n}}}{{\sum }_{k=1}^n{\left({\prod }_{j=1}^n{a}_{kj}\right)}^{\frac{1}{n}}}(i=1,2,...,n)$$

3.特征值法求权重

一致矩阵有一个特征值$n$，其余特征值均为$0$
另外，我们很容易得到，特征值为$n$时，对应的特征向量刚好为权重向量
假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法

1. 第一步：求出矩阵$A$的最大特征值${\lambda }_{max}$以及其对应的特征向量$x$
2. 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

$$(A-{\lambda }_{max}E)x=0$$