Sylvester矩阵的应用——结式性质及其计算
【定义】
设FFF是域，非000多项式f、g∈F[x]f、g \in F\lbrack x\rbrackf、g∈F[x]，且deg(f)=n、deg(g)=m\deg(f) = n、\deg(g) = mdeg(f)=n、deg(g)=m。则SylvesterSylvesterSylvester矩阵SSS定义如下：
S=(fn gm fn−1fn gm−1gm ⋮⋮⋱ ⋮⋮⋱ ⋮⋮ fng1⋮ ⋱ ⋮⋮ fn−1g0⋮ ⋱ ⋮⋮ ⋮ g0 gmf0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋱⋮ ⋱⋮ f0 g0)S = \begin{pmatrix} f_{n} & \ & \ & \ & g_{m} & \ & \ & \ & \ & \ \\ f_{n - 1} & f_{n} & \ & \ & g_{m - 1} & g_{m} & \ & \ & \ & \ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ & \vdots & \vdots & \ddots & \ & \ & \ \\ \vdots & \vdots & \ & f_{n} & g_{1} & \vdots & \ & \ddots & \ & \ \\ \vdots & \vdots & \ & f_{n - 1} & g_{0} & \vdots & \ & \ & \ddots & \ \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots & \ & g_{0} & \ & \ & \ & g_{m} \\ f_{0} & \vdots & \ & \vdots & \ & \ & \ddots & \ & \ & \vdots \\ \ & f_{0} & \ & \vdots & \ & \ & \ & \ddots & \ & \vdots \\ \ & \ & \ddots & \vdots & \ & \ & \ & \ & \ddots & \vdots \\ \ & \ & \ & f_{0} & \ & \ & \ & \ & \ & g_{0} \end{pmatrix}S= fnfn−1⋮⋮⋮⋮f0 fn⋮⋮⋮⋮⋮f0 ⋱ ⋱ fnfn−1⋮⋮⋮⋮f0gmgm−1⋮g1g0 gm⋮⋮⋮g0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ gm⋮⋮⋮g0
其中fff部分有mmm列，ggg部分有nnn列。称det(S)\det(S)det(S)为f、gf、gf、g关于xxx的结式，记作res(f,g,x)res(f,g,x)res(f,g,x)
【定理】
设FFF是域，非000多项式f、g∈F[x]f、g \in F\lbrack x\rbrackf、g∈F[x]，且deg(f)=n、deg(g)=m\deg(f) = n、\deg(g) = mdeg(f)=n、deg(g)=m，则下面三个命题等价：
-
gcd(f, g)≠1\gcd(f,\ g) \neq 1gcd(f, g)=1
-
存在非0多项式s、t∈F[x]s、t \in F\lbrack x\rbracks、t∈F[x]，使得
sf+tg=0sf + tg = 0sf+tg=0，deg(s)<deg(g)\deg(s) < \deg(g)deg(s)<deg(g)，deg(t)<deg(f)\deg(t) < \deg(f)deg(t)<deg(f)
- res(f,g,x)=0res(f,g,x) = 0res(f,g,x)=0
【证明】
1⇒21 \Rightarrow 21⇒2：
设h=gcd(f, g)h = \gcd(f,\ g)h=gcd(f, g)，那么可以让s=gh、 t=−fhs = \frac{g}{h}、\ t = - \frac{f}{h}s=hg、 t=−hf，满足2的结果。
2⇒12 \Rightarrow 12⇒1：
由于sf=−tgsf = - tgsf=−tg，若gcd(f, g)=1\gcd(f,\ g) = 1gcd(f, g)=1，那么f、gf、gf、g互素，必然有f∣tf|tf∣t，但这与t≠0t \neq 0t=0且degf>degt\deg f > \deg tdegf>degt矛盾，因此gcd(f, g)≠1\gcd(f,\ g) \neq 1gcd(f, g)=1
2⇒32 \Rightarrow 32⇒3：
令d→=(sm−1⋮s1s0tn−1⋮t0)\overrightarrow{d} = \begin{pmatrix} s_{m - 1} \\ \vdots \\ s_{1} \\ s_{0} \\ t_{n - 1} \\ \vdots \\ t_{0} \end{pmatrix}d= sm−1⋮s1s0tn−1⋮t0 ，那么必然有S∙d→=0→S \bullet \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}S∙d=0。因为d→≠0→\overrightarrow{d} \neq \overrightarrow{0}d=0，所以det(S)=0\det(S) = 0det(S)=0，也就是res(f,g,x)=0res(f,g,x) = 0res(f,g,x)=0。
3⇒23 \Rightarrow 23⇒2：
因为det(S)=res(f,g,x)=0\det(S) = res(f,g,x) = 0det(S)=res(f,g,x)=0，所以存在d→≠0→\overrightarrow{d} \neq \overrightarrow{0}d=0使得S∙d→=0→S \bullet \overrightarrow{d} = \overrightarrow{0}S∙d=0。
将SSS分为两部分：
S=[SfSg]S = \begin{bmatrix} S_{f} & S_{g} \end{bmatrix}S=[SfSg]
Sf=(fn fn−1fn ⋮⋮⋱ ⋮⋮ fn⋮⋮ fn−1⋮⋮ ⋮f0⋮ ⋮ f0 ⋮ ⋱⋮ f0)S_{f} = \begin{pmatrix} f_{n} & \ & \ & \ \\ f_{n - 1} & f_{n} & \ & \ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ \\ \vdots & \vdots & \ & f_{n} \\ \vdots & \vdots & \ & f_{n - 1} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ f_{0} & \vdots & \ & \vdots \\ \ & f_{0} & \ & \vdots \\ \ & \ & \ddots & \vdots \\ \ & \ & \ & f_{0} \end{pmatrix}Sf= fnfn−1⋮⋮⋮⋮f0 fn⋮⋮⋮⋮⋮f0 ⋱ ⋱ fnfn−1⋮⋮⋮⋮f0
Sg=(gm gm−1gm ⋮⋮⋱ g1⋮ ⋱ g0⋮ ⋱ g0 gm ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ ⋱⋮ g0)S_{g} = \begin{pmatrix} g_{m} & \ & \ & \ & \ & \ \\ g_{m - 1} & g_{m} & \ & \ & \ & \ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ & \ & \ \\ g_{1} & \vdots & \ & \ddots & \ & \ \\ g_{0} & \vdots & \ & \ & \ddots & \ \\ \ & g_{0} & \ & \ & \ & g_{m} \\ \ & \ & \ddots & \ & \ & \vdots \\ \ & \ & \ & \ddots & \ & \vdots \\ \ & \ & \ & \ & \ddots & \vdots \\ \ & \ & \ & \ & \ & g_{0} \end{pmatrix}Sg= gmgm−1⋮g1g0 gm⋮⋮⋮g0 ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ ⋱ gm⋮⋮⋮g0
则r(Sf)=m、r(Sg)=nr\left( S_{f} \right) = m、r\left( S_{g} \right) = nr(Sf)=m、r(Sg)=n。
将d→\overrightarrow{d}d分为两部分：
d→=[df→dg→]\overrightarrow{d} = \begin{bmatrix} \overrightarrow{d_{f}} \\ \overrightarrow{d_{g}} \end{bmatrix}d=[dfdg]
其中df→\overrightarrow{d_{f}}df是mmm维度的，dg→\overrightarrow{d_{g}}dg是nnn维度的。
由于S∙d→=[SfSg]∙[df→dg→]=[Sf∙df→+Sg∙dg→]=0→S \bullet \overrightarrow{d} = \begin{bmatrix} S_{f} & S_{g} \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} \overrightarrow{d_{f}} \\ \overrightarrow{d_{g}} \end{bmatrix} = \left\lbrack S_{f} \bullet \overrightarrow{d_{f}} + S_{g} \bullet \overrightarrow{d_{g}} \right\rbrack = \overrightarrow{0}S∙d=[SfSg]∙[dfdg]=[Sf∙df+Sg∙dg]=0
当df→=0→\overrightarrow{d_{f}} = \overrightarrow{0}df=0时，Sg∙dg→=0S_{g} \bullet \overrightarrow{d_{g}} = 0Sg∙dg=0，同时又因为r(Sg)=nr\left( S_{g} \right) = nr(Sg)=n，SgS_{g}Sg的列向量线性无关，所以dg→=0→\overrightarrow{d_{g}} = \overrightarrow{0}dg=0；同理，当dg→=0→\overrightarrow{d_{g}} = \overrightarrow{0}dg=0时，Sf∙df→=0S_{f} \bullet \overrightarrow{d_{f}} = 0Sf∙df=0，同时又因为r(Sf)=mr\left( S_{f} \right) = mr(Sf)=m，SfS_{f}Sf的列向量线性无关，所以df→=0→\overrightarrow{d_{f}} = \overrightarrow{0}df=0。又因为d→≠0→\overrightarrow{d} \neq \overrightarrow{0}d=0，所以df→≠0→、dg→≠0→\overrightarrow{d_{f}} \neq \overrightarrow{0}、\overrightarrow{d_{g}} \neq \overrightarrow{0}df=0、dg=0。让向量df→\overrightarrow{d_{f}}df组成sss的系数，向量dg→\overrightarrow{d_{g}}dg组成ttt的系数，从而找到非0多项式s、t∈F[x]s、t \in F\lbrack x\rbracks、t∈F[x]，满足2的结论。
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