Softmax介绍

Softmax回归模型，该模型是logistic回归模型在多分类问题上的推广，在多分类问题中，类标签y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">y</script>可以取两个以上的值。Softmax回归模型对于诸如MNIST手写数字分类等问题是很有用的，该问题的目的是辨识10个不同的单个数字。Softmax回归是有监督的，不过它可以与深度学习/无监督学习方法的结合。

在 logistic 回归中，我们的训练集由 m 个已标记的样本构成：(x(1),y(1)),…,(x(m),y(m))<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">(x^{(1)}, y^{(1)}),\ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) </script> ，其中输入特征x^{(i)} \in \Re^{n+1}。由于 logistic 回归是针对对二分类问题的，因此类标记 y(i)∈0,1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">y^{(i)} \in {0,1}</script>。假设函数(hypothesis function) 如下：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-4">\begin{align} h_\theta(x) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}, \end{align}</script>

我们将训练模型参数θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-5"> \theta</script>，使其能够最小化代价函数 ：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-6">\begin{align} J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right] \end{align}</script>

在 softmax回归中，我们解决的是多分类问题，y<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">y</script> 可以取 k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">k</script> 个不同的值。因此，对于训练集 (x(1),y(1)),…,(x(m),y(m))<script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">{ (x^{(1)}, y^{(1)}), \ldots, (x^{(m)}, y^{(m)}) }</script>，我们有 y(i)∈1,2,…,k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">y^{(i)} \in {1, 2, \ldots, k}</script>。

对于给定的测试输入 x<script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">x</script>，我们想用假设函数针对每一个类别j<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">j</script>估算出概率值 p(y=j|x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">p(y=j | x)</script>。因此，我们的假设函数将要输出一个k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">k</script> 维的向量（向量元素的和为1）来表示这 k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">k</script> 个估计的概率值。 具体地说，我们的假设函数 hθ(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">h_{\theta}(x)</script> 形式如下：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-174">\begin{align} h_\theta(x^{(i)}) = \begin{bmatrix} p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\ p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\ \vdots \\ p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) \end{bmatrix}= \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\ e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\ \vdots \\ e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\ \end{bmatrix} \end{align}</script>

其中 θ1,θ2,…,θk∈ℜn+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-175">\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k \in \Re^{n+1} </script>是模型的参数。1∑kj=1eθTjx(i)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-176"> \frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} } </script>是对概率分布进行归一化，使得所有概率和为 1 。

为了方便起见，我们同样使用符号θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-177">\theta </script>来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时，将 θ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-178">\theta</script>用一个 k×(n+1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-179">k \times(n+1) </script>的矩阵来表示会很方便，该矩阵是将θ1,θ2,…,θk<script type="math/tex" id="MathJax-Element-180"> \theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k</script> 按行罗列起来得到的，如下所示：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-198">\theta = \begin{bmatrix} \theta_1^T \\ \theta_2^T \\ \vdots \\ \theta_k^T \\ \end{bmatrix} </script>

代价函数

现在我们来介绍 softmax 回归算法的代价函数。在下面的公式中，1{⋅}<script type="math/tex" id="MathJax-Element-190">1\{\cdot\}</script> 是指示函数，花括号内是真为1，为假则为0。我们的代价函数为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-191">\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right] \end{align}</script>

值得注意的是，上述公式是logistic回归代价函数的推广。logistic回归代价函数可以改为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-192">\begin{align} J(\theta) &= -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \\ &= - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=0}^{1} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) \right] \end{align}</script>

可以看到，Softmax代价函数与logistic 代价函数在形式上非常类似，只是在Softmax损失函数中对类标记的k<script type="math/tex" id="MathJax-Element-193">k</script> 个可能值进行了累加。注意在Softmax回归中将 x<script type="math/tex" id="MathJax-Element-194">x</script> 分类为类别 j<script type="math/tex" id="MathJax-Element-195">j</script> 的概率为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-196">p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) = \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}} }</script>

对于 J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-197">J(\theta)</script> 最小化问题，目前还没有闭式解法。因此，我们使用迭代的优化算法（例如梯度下降法，或 L-BFGS）。经求导，我们得到梯度公式如下：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-33">\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} \left( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) \right) \right] } \end{align}</script>

让我们来回顾一下符号 ∇θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">\nabla_{\theta_j}</script> 的含义：∇θjJ(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">\nabla_{\theta_j} J(\theta)</script> 本身是一个向量，它的第 l<script type="math/tex" id="MathJax-Element-36">l</script> 个元素 ∂J(θ)∂θjl<script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_{jl}}</script> 是 J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-38"> J(\theta)</script>对θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-39">\theta_j </script>的第 l<script type="math/tex" id="MathJax-Element-40">l</script> 个分量的偏导数。

有了上面的偏导数公式以后，我们就可以将它代入到梯度下降法等算法中，来最小化 J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">J(\theta)</script>。 在梯度下降法的标准实现中，每一次迭代需要进行如下更新: θj:=θj−α∇θjJ(θ)(j=1,…,k)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-42">\textstyle \theta_j := \theta_j - \alpha \nabla_{\theta_j} J(\theta)(\textstyle j=1,\ldots,k)</script>。
当实现 softmax 回归算法时， 我们通常会使用上述代价函数的一个改进版本。具体来说，就是加上权重衰减(weight decay)。我们接下来介绍使用它的动机和细节。

Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点：它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点，假设我们从参数向量θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-43">\theta_j </script>中减去了向量 ψ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-44">\psi</script>，这时，每一个 θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-45">\theta_j</script> 都变成了 θj−ψ(j=1,…,k)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-46">\theta_j - \psi(\textstyle j=1, \ldots, k)</script>。此时假设函数变成了以下的式子：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-47">\begin{align} p(y^{(i)} = j | x^{(i)} ; \theta) &= \frac{e^{(\theta_j-\psi)^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ (\theta_l-\psi)^T x^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{\theta_l^T x^{(i)}} e^{-\psi^Tx^{(i)}}} \\ &= \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)}}}. \end{align}</script>

换句话说，从θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-48">\theta_j </script>中减去 ψ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-49">\psi</script> 完全不影响假设函数的预测结果！这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。换而言之， Softmax 模型被过度参数化了！
进一步说，如果参数 (θ1,θ2,…,θk)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-50">(\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k) </script>是代价函数(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-51">(\theta)</script> 的极小值点，那么(θ1−ψ,θ2−ψ,…,θk−ψ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">(\theta_1 - \psi, \theta_2 - \psi,\ldots, \theta_k - \psi) </script>同样也是它的极小值点，其中ψ<script type="math/tex" id="MathJax-Element-53">\psi </script>可以为任意向量。因此使 J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">J(\theta)</script> 最小化的解不是唯一的。（有趣的是，由于 J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">J(\theta) </script>仍然是一个凸函数，因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的，这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题）。

注意，当 ψ=θ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-56">\psi = \theta_1 </script>时，我们总是可以将 θ1替换为θ1−ψ=0⃗ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">\theta_1替换为\theta_1 - \psi = \vec{0}</script>（即替换为全零向量），并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 θ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-58">\theta_1</script> （或者其他θj<script type="math/tex" id="MathJax-Element-59">\theta_j </script>中的任意一个）而不影响假设函数。实际上，与其优化全部的k×(n+1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-60">k\times(n+1) </script>个参数(θ1,θ2,…,θk)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-61">(\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_k) </script>（其中 θj∈ℜn+1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-62">\theta_j \in \Re^{n+1}</script>），我们可以令 θ1=0⃗ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-63">\theta_1 = \vec{0}</script>，只优化剩余的 (k−1)×(n+1)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-64">(k-1)\times(n+1) </script>个参数，这样算法依然能够正常工作。

但在实际应用中，为了使算法实现更简单清楚，往往保留所有参数 (θ1,θ2,…,θn)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-65">(\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n)</script>，而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动：加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

权重衰减

我们通过添加一个权重衰减惩罚项λ2∑ki=1∑nj=0θ2ij<script type="math/tex" id="MathJax-Element-66">\frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^{n} \theta_{ij}^2 </script>来修改代价函数，这个衰减项会惩罚过大的参数值，现在我们的代价函数变为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-67">\begin{align} J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }} \right] + \frac{\lambda}{2} \sum_{i=1}^k \sum_{j=0}^n \theta_{ij}^2 \end{align}</script>

有了这个权重衰减项以后 (λ>0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-68">\lambda > 0</script>)，代价函数就变成了严格的凸函数，这样就可以保证得到唯一的解了。 此时的 Hessian矩阵变为可逆矩阵，并且因为J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-69">J(\theta)</script>是凸函数，梯度下降法和 L-BFGS 等算法可以保证收敛到全局最优解。

为了使用优化算法，我们需要求得这个新函数 J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-70">J(\theta)</script> 的导数，如下：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-71">\begin{align} \nabla_{\theta_j} J(\theta) = - \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}{ \left[ x^{(i)} ( 1\{ y^{(i)} = j\} - p(y^{(i)} = j | x^{(i)}; \theta) ) \right] } + \lambda \theta_j \end{align}</script>

通过最小化J(θ)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-72">J(\theta)</script>，我们就能实现一个可用的 softmax 回归模型。

Softmax回归与Logistic 回归的关系

当类别数k=2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-73">k = 2 </script>时，softmax 回归退化为 logistic 回归。这表明 softmax 回归是 logistic 回归的一般形式。当 k=2<script type="math/tex" id="MathJax-Element-74">k = 2</script> 时，softmax 回归的假设函数为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-75"> h_\theta(x) =\frac{1}{ e^{\theta_1^Tx} + e^{ \theta_2^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \theta_1^T x } \\ e^{ \theta_2^T x } \end{bmatrix} </script>

利用softmax回归参数冗余的特点，我们令ψ=θ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-76">\psi = \theta_1</script>，并且从两个参数向量中都减去向量 θ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-77">\theta_1</script>，得到:

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-78"> h(x) = \frac{1}{ e^{\vec{0}^Tx} + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \begin{bmatrix} e^{ \vec{0}^T x } \\ e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x } \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \frac{e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x }}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ 1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta_2-\theta_1)^T x^{(i)} } } \\ \end{bmatrix} </script>
因此，用 θ′<script type="math/tex" id="MathJax-Element-79">\theta'</script>来表示θ2−θ1<script type="math/tex" id="MathJax-Element-80">\theta_2-\theta_1</script>，我们就会发现 softmax 回归器预测其中一个类别的概率为 11+e(θ′)Tx(i)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-81">\frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</script>，另一个类别概率的为 1−11+e(θ′)Tx(i)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-82">1 - \frac{1}{ 1 + e^{ (\theta')^T x^{(i)} } }</script>，这与 logistic回归是一致的。

Softmax 回归 与k 个二元分类器比较

如何选择选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声 。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品 ，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器 。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

注：本文参考Ufldl教程