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MATLAB实现基于贝叶斯多项式的曲线拟合

MATLAB实现基于贝叶斯多项式的曲线拟合

基于贝叶斯多项式模型 (Bayesian Polynomial Model)，可以在MATLAB中实现曲线拟合。

以下是实现步骤：

% 准备数据集
load('pressure.mat');
x = pressure(:, 1);
y = pressure(:, 2);

% 定义模型参数
M = 9;           % 多项式阶数
alpha = 1e-6;    % 先验分布超参数
beta = 50;       % 噪声方差超参数

% 构造设计矩阵 Phi
Phi = zeros(length(x), M+1);
for i = 0:M
    Phi(:, i+1) = x.^i;
end

% 计算后验概率分布 p(w|D,alpha,beta)
Sigma = inv(alpha*eye(M+1) + beta*(Phi'*Phi));
mu = beta * Sigma * Phi' * y;

% 预测
x_new = linspace(min(x), max(x), 100)';
Phi_new = zeros(length(x_new), M+1);
for i = 0:M
    Phi_new(:, i+1) = x_new.^i;
end
S = 100;   % 蒙特卡罗积分次数
y_new = zeros(length(x_new), 1);
for i = 1:S
    w_sample = mvnrnd(mu, Sigma)';
    y_new = y_new + Phi_new * w_sample / S;
end

% 可视化结果
figure;
plot(x, y, 'bo', 'MarkerSize', 6, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
plot(x_new, y_new, 'r-', 'LineWidth', 2);
xlabel('x');
ylabel('y');
legend('Data points', 'Bayesian polynomial model');

在上述代码中，我们使用pressure数据集（来源：MATLAB自带示例）演示了如何使用贝叶斯多项式模型进行曲线拟合。我们选择一个9阶多项式模型来逼近数据集，并使用高斯分布作为先验概率分布和似然函数。

我们首先计算系数的后验概率分布，然后使用蒙特卡罗积分方法来预测新的因变量值。最后，我们将数据点和预测结果绘制在同一张图上进行比较。